В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Но если все же Ч2»вЂ” : РУ', то равенство (42) можно сколько угодно раз дифференцировать почленно по аргументу х, получая как следствие новые соотношения между р, в', ... и ф. д. Теорема Котельниковае). Этот пример, основанный, как и предыдущий, на красивом комбинировании ряда и интеграла Фурье, имеет прямое отношение к теории передачи информации по каналу связи. Чтобы он не показался искусственным, напомним, что в силу ограниченных возможностей наших органов чувств мы способны воспринимать сигналы. только в определенном диапазоне частот. Например, ухо «слышит» в диапазоне от 20 герц до 20 килогерц. Таким образом, какие бы ни были сигналы, мы, подобно фильтру.(см. и.
1), вырезаем только ограниченную часть их спектра и воспринимаем их как сигналы с финитным спектром. Будем поэтому сразу считать, что 'передаваемый, или получаемый нами сигнал )(1) (где 1 — время, — со<1(оо) имеет финитный спектр, отличный от нуля лишь для частот в, величина которых не превышает некоторого критического значения а ь О. Итак, 1(в) 0 при 1в ! ) а, поэтому предотавление 1(1) = — '' ~ 7»(в)е'"'дв уг2п .1 о) В. А. Ковльиикон (1908) — 'созетскнй ученый. известный сненналнст н теории раниосеязн. 677 $ 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 676 ГО ХУП! РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОВРАЗОВАНИЕ Ф~~ЬЕ для функции с финитным спектром сводится к интегралу лишь по промежутку ( — а, а); О и)= — ',„1 п ) "й.
1/2п (43) На отрезке 1 — а, а) функцию 1(ш) разложим в ряд Фурье 7(ш) = ~, са'(7)е (44) г — а по системе )е '; Й ее 2~~, ортогональной и полной на этом отрезке. Учитывая формулу (43), для коэффициентов са()) этого ряда получаем следующее простое выражение: СА()):= 2- ) 1(ш)Е - г(ш= 7( — — й). ' (45) Подставляя ряд (44) в интеграл (43), с учетом соотношений (45) находим но- —,,' ((~г; 2; 1(,"«) " ' ° ")«.= О а «О «О Л О и ,,', '~ Яй) ~е'"'--"")й..
О «О (46) Формула (46) показывает, что для восстановления сообщения, описываемого функцией 1(1) с финитным спектром, сосредоточенным в полосе частот ~ ш ~ ~а, достаточно передать по каналу связи лишь значения )(йЛ) (называемые отсчетными эначениялш) данной функции через равные промежутки времени А =и/а.
Это утверждение в совокупности с формулой (45) принадлежит В. А. Котельникову и называется теоремой Котельникова или теоремой отсчетов. 3 а м е ч а н и е 6. Сама по себе интерполяционная формула (46) была известна в математике еще до работы В. А. Котельникова (1933 г.). Но в этой работе впервые было указано фундаментальное значение разложения (46) для теории передачи непрерывных Вычислив эти элементарные интегралы, приходим к 4юрмуле Котельникова сообщений по каналу связи. Изложенная выше идея вывода формулы (46) также принадлежит В.
А. Котельникову. Замечание 7. Реально время передачи и приема сообщения ограничено, поэтому вместо всего ряда (46) берут некоторую его частичную сумму У,' «Специальные исследования посвящены оценке возникающих при этом погрешностей. Заме ча н не 8. Если известно, сколько времени занимает передача одного отсчетного значения сообщения ) (1) в данном канале связи, то легко оценить количество таких сообщений, которые можно параллельно передавать по этому каналу связи. Иными словами, появляется возможность оценить пропускную способность канала связи (более того, еще и в зависимости от информационной насьпценности сообщений, которая сказывается на спектре сигнала ) (1)). Задачи и упражнения !. а, Запишите подробно доказательства соотношений (16) †(19).
у Ь, Рассматривая преобразование Фурье как отображение 1« — » 1, покажнте, что оно обладает следующими часто используемыми свойствами: (правило изменения масштаба); ) р — 1О) О 1(«о) е (сдвиг входного сигнала — фурье-прообраза — по времени, илн теорема о переносе); ( 1 (ы) 2 соз шго, () (1+1.) ) Р— 661 — ~ . ) (ю) 2 Мп м1« ) (1) е — '~' ~-ю. 1 '1«о.«- ме) (сдвиг преобразования Фурье по частоте); 1 )(1) поз ю«1 ' (1(ю юе)+1(ы+ме)1' 2 ! )(1) з!им«1 ~-~ — (7(ю — ыо' — 1(м+ ыо)1 (амплитудная модуляпия гармопичссного сигнала); ., ю,~ 1 (1) мп — « ~ А — (21 (ю) — 1 (ы — ыо) «(ю+юо)] с. Найдите преобразования Фурье Эс (нлн, кав говорят, Фурье-образа11 следующих фунипнй: ! А () — орн !1! ~А, О прп 1~)А 19 В.
А. Зорич, ч. ц 578 Гл. ХУП!.'Ряд ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ $ 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ (прямоугольный импульс), ' ПА (/) сов соо! (гармоннческий снгнал. промодулированный прямоугольным импульсом): П, (/+2А)+ П, (/ — 2А) (два прямоугольных импульса одинаковой полярности); П (/ — А) — П (/+ А) (два прямоугольных импульса'разной полярности); ! ! 1 ( (/) А ! А / — (1 — 11 прн )/(~А, 0 при //() А (треугольный импульс); с!мах! и а(па/з (а) О); ! ! н (/( зе О!';а»0).
б. Найдите фурье-прообразы следующих функций: вА Мпз вА . ФА 5!Пс —, 2! 25!исав и' вА ' п х мпх где ппс —:= —.— функция опичетов. п х е, Используя прельсдущие результаты, найднте значения уже встречавшихся нам интегралов. ОЭ ОЭ мпх Г з(цэх со — йж ~ ~оз х~ йк, ) з1п Хэ йм — ОЭ со СΠ— ОЭ 1. роверьте, что интеграл Фурье функции /(/) можно записать в любом . П нз следующих видов: СО СО ОЭ /(/) ~ /(в) гсиэйв ~ йв ~ / (к) г-!иск-сс йк — со — ОЭ вЂ” СО 1 Р— св ~ /(х)ссм2в(х — /)сх 2. Пусть / ! (х, у) — решение двумерного уравнения Лапласа — ' -1- — /=0 дс! дт' дуэ в полуплоскостн у» О, удовлетворяющее условням /(х, О) й (х) н /(х, )-» 0 прн у-»-+со для любого хсм)ч.
а Проверьте, что преобразование Фурье / (В. у) функции / по переменной х имеет внд у(В)е Ь Найднте фурье-прообраз функция е "15! по переменной 5. с. Получите теперь уже. встречавшееся нам (гл. ХЧП, 4 4, пример 5) представление функцнн / в анде интеграла Пуассона + СО ! (' у и д (х — Да+уз й(~ ~' 3.
Напомним, что л-м иомгплюм фуикпии /: П-»С называется велнчнна Мл(/) = ) хл/(х) йх. В частностн, если / — плотность распределения вероятностей, т. е /(х)»0 и ~ /(х)ах=1, то хэ=М5(/) есть математическое ожнданне случайной величины к с распределеннем /, а дисперсия оз ! (Х вЂ” КЭ)5/(Х)йк Этсй случайнОй ВЕЛИчИнЫ пРеДставляется з внДе пз = М (/) — М((/) Рассмотрйм следующее преобразование Фурье.
/(В)= )с /(к) е с)рсйк функцнн /. Раскладывая е-сьл в ряд, покажите, что: а. /($)эо г вл, еслн. напрнмер, /сно9' и! =о Ь. И.(/)=(/)л/л (О), П=О,.!, ... с. Пусть теперь / вещественнозначна, тогда /(о!) А ($) его сйс, еде А (5)— модуль, а ф(э) — аргумент /5($), причем А(в)=А ( — э) н .ср( — $) — ф(»в!. Положнм для нормнровки, что $ /(х) ох 1 Проверьте, что тогда / ($) = 1 + !ф (0) $ + Ор ' 55+о (;з) (5 -. 0) А» (О) — (р (О))5 2 ко;=МЭ(/) — ср'(О), а пз=М',(/) — Мз(/)= г( (О). 4,а.
проверьте, что функция г О1*!(а) 0), как н все ее производные, определенные при х ~ О, убывает на бесконечности быстрее любой отрнцательной степенн пеРеменной ! х! и тем не менее эта фУнкЦнп непРннаДлежнт классУ ох'. Ь. Убеднтесь в том, что преобразование Фурье этой функции бесконечно днфференцнруемо на (б но не принадлежит классу рсгэ (и все потому, что г не дифференпнруема прн к 0). 5. а. покажите, что функпни класса рк» плотны в пространстве оэхэ (Пл, !В) абсолютно интегрвруемых с квадратом функцнй /: Пл- С, наделенном скалярным произведением (/, й) ) (/.у) (к) йх н порожденными нм нарвой '", /1 = ил = ( ~ (/ !5 (х) йк) ~ н метрикой й (/, й) = ! / — у ,'.
!Ел Ь. Рассмотрим теперь рк' как метрическое пространство (О9', й) с указанной метрикой й (сходимостн в смысле среднего квадратичного уклонения на Пл), пусть (.5(Пл,сВ) нлн, короче, 55 †пополнен метрнческого пространства (ркэ, й) (см гл. !Х, 4 5). Каждый элемент / сн /.э определяегся последовательностью (фа) фуннцнй сра рл рк", которая является последовательностью Коши в смысле метрикн йг Покажите, что тогда н последовательность (сра) фурье. образов функций сра является последователвносгью Коши в оу" и, следовательно, задает определенный элемент /щ /н который естественно назвать преобразованием Фурье элемента / щ /-в.
Я» 581 686 Гл. ХУНГ, Ряд ФУРЬИ Н ПРЕОВРАЗОВАННВ ФУРЬП 4 3 пРиоьРАЗОВАннн ФуРье с. Покюките, что в 1, стественпым образои вводится линейная структура 1» -« и скалярное произведение, относительно которых преобразование Фу г 1 рье , -«Е«оказывается линейным изометрическим отображением 1.» на себя 1 б. На примере Функции ((х) = можно видеть, что если )«магг, ()г, С), )г! +х' » то не обязательно ) «меж((2, С) Тем не менее, если )сна»в»Щ 4)), то, по- скольку 1 — локально интегрнруеиа, можно рассмотреть функцию А 1 1л (Е == ~ ! (х) г"»Ь«дх, )» 2п ) Проверьте, что ~л «и С((2, С~ и )л шар«»((2 6).
е. Докажите, что )л сходится в Е» к некоторому элементу 1ш Е» и 1)1 при А-»+со (это — теорема Планшереля ")) 6. . Принцип неопределенности., Пусть Ф(х) и Ф(р) — функции класса е9' »или элементы пространства 1., из задачи 6), причем « =гр и ) )4»1'(х) ах= «» — ~»рр(р) р ! В ~аким случае функции;гр(» и )ФР можно рассматри. вать как некоторые плотности распределения вероятностей случайных величин х и р соответственно а. Покажите, что сдвигом по аргументу (специальным выбором начала отсчета аргумента) функции Ф, не меняя величины 14» ь можно получить новую функцию ч, такую, что Мд(ср) ) х!Ф!«(х)ух=о, а затем, не меняя М 1 )= гр = = О, можно аналогичйым сдвигом по аргументу функции Ф добиться того, что М» (Ф) ) р ' Ф(» (р) дР= Π— «« Ь Рассмотрите при вещественном параметре а величину ахц ~х)+гр' (х) )»г(к~ О и, опираясь ва равенство Парсеваля и формулу ц»' (р) =1р~р (р), покангите, что а~М»(Ф) — а+М» (Ф) =» О, (Определения М, и М» см в задаче 3.) с.
Получите отсюда соотношение М," (а) ° М ! (Ф) ) ! 14 Зто соотношение показывает. что чем более «сосредоточена» сама функция ц», тем «размытие» ее преобразование Фурье и обратно (см, в этой связи пример ! и задач 7Ь) В квантовой механике это соотношение, называемое»риицилам лгопрвдглгииссти, приобретает конкретный физический смысл Например, нельзя одновременно измерить точно и координуту квантовой частицы, и ее импульс. Зтот фундаментальный факт (называемый принципам неопределенности Рейз«нберга '*)), в математическом отношении совпадает с найленным выше соотноше'нием между М.
(Ч») н М» рф) «) М Планшерель (1886 — 1967) — швейцарский математик. .«') В Гейзенберг (1961 — !976)-немецкий физик, один из создателей квантовой механики Следующие три задачи дают начальное представление о преобразовании Фурье обобщенвых функций. 7. а, Используя пример 1, найдите спектр сигнала, вырэжаемого Функцией 1 А„П) = 2а — при ~1)»аа, О при 1,'~а. Ь. Проследите за изменением функции йа(1) и ее спектра при а-«+О и скажите, каким, по вашему мнению, слелует считать спектр единичного импульса, выражаемого б-функцией. с. Используя пример 2, найдите теперь снш.ал Ф (1) на выходе идеального фильтра низкой частоты (с верхней граничной частотой а), возникающий как ответ на единичный импульс 6 (1). д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
