В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 117
Текст из файла (страница 117)
% З ПГИОВЬАЗОВАНИЕ Ь»ГЬВ 559 Г». . ХЧШ. ГЯД ЬГЬЬЕ И ПГЕОВГАЗОВАНИВ Ь»ГЬЕ с. Достаточные условия представимости функции интеграломурье. Теорема 1. Если абсолютно интегрируемая на Я и локально кусочно непрерывная функция 1: К -!- С удовлетворяет в точке х ~ Р условиям Лини, то ее интеграл Фурье сходшпся в втой точке, 1 причем к значению — [)'(х )+Г(х,)], равному лолусумме левого и правого пределов значений функции в втой тачке. непре ывно на Р и, 4 По лемме ! преобразование Фурье с($) У [)] ($) ф ункции ) [ — А, А.
По обно о р ' Р и, значит, интегрируемо на любом отрезке — д т му, как мы преобразовывали частичную сумму ряда Фурье, проведем теперь следующие преобразования частичного интеграла Фурье: А А! -)-оэ »„! ! ),!!!»)и! [(,' ( !!~!~»'»)» !! — А 1. ( 1 Г Е!» — )А — )!» — О 2й,) ! (х — !) [[ (х —, и) + ) (» )] ' "„ П оизве е р изведенное во втором от начала равенстве изменение по- рядка интегрирования законно. В самом деле, поскольку ) локально кусочно непрерывна на Р, то для любого конечного В ) 0 сп а- ведливо равенство г спра- А( ~~-' ~ ' " )»т ='-. В У А )~,-'„! !!!! -е~»)»:!!=„' (!!о!( ).«* +~, — А — ' —  — А из которого ввиду равномерной сходимост и по с интеграла ( ) -" р +со получаем нужное нам равенство, [(1)е-ньй( п и В-!- Т еперь воспользуемся интегралом Дирихле (20) и наши преобразования: ихле ( ) и завершим — +') ) (х )+) (х.,! ) 2 » 1 [' [) (х — и) — ) [х ) ! (»+и) — /(х.„)1 после чего становится ясно что и он ст Из доказанной теоремы получаем, в ча тности, Следствие 1.
Если н ия фу кция ): Р ~. непрерывки, и~ест а о точке х ен конечные односто онние и и и) ~ р п)3оизводные и ибсор и й ~~зим ми на, то она п едЖпа ((х)= 1 с($)е(»ьй$, 21 1) где с ($) = Х И (9) — преобразование Фурье функции Г. чения интеграл означим символом г"[!р] понимаемый в смысле главного зна- Р[р](х):= ~ р(9)е'"(с!9. Сравнивая его с преобразованием Фурье (9), видим, что г [<р](х) =2п К[<р]( — х).
(23 ) Доказанная нами формула (21) означает, что р[ р'И]=р Проверим теперь, что и ~[РЩ=). (22) Докажем, что при А- со посл П ° п ледний интегРал стреми я ю- роверим зто лишь для одного из его слагаемых скольку для второго слагаемого в се делается аналогично. м х, по-!- со ) ! ' ! ( — !Π— ) (» ) з!.п А ' ) (» — ь) — ) (х ! !п Аийи = зш Аийи+ + ], »!и Аийи — 1'(х ) ~ "ии. ) (х — и) И ! Первыи из интегралов, стоящих в п авой част ства стремите к нулю п и А ольку,' удовлетворяет в точке х условиям Дини; второй инте- ' грал по той же лемме Римана стремится к А так как функция ~( я абсолютно интегрируема на рассматриваемом п омеж тке; н о разовать р у; наконец, последний интеграл мож н но пре- йи= ~ —,сЬ, ! А $ 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 660 В самом деле, [ И]= [РИ]=) (24) -!- СО 2л,! а -)-!Б — .йх= + СО ! ае"! —,й$ =е если х) О, если х =0„ если х ( О.
-1- со Е-ОХ 2,!х! й,= о — ОС ЕОХ откуда находим с (в) р (в) = у [о] (в), с= У[!]=— е-'" при х) О, 1(х) = 0 при х~0; тогда ГО. ХУП! РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [(х) РЯ($)=2П,У Щ( — 6)— У ОО ОЭ 1 =2пс( — 4) ~ 2— ~ 2лс( — $)~-'хьй~ = ~ с(ЦЕ!хь<$ — 1(х) Итак, получено важное Следствие 2. Для любой функции 1: !х-О-С, удовлетворюощей условиям следствия 1, существуют все преобразования У [~], Г[)], У[К[)]], .У[Р[1]] и имеют место равенства Имея в виду эти соотношения, преобразование (22) часто называют обратным преобразованием Фурье и вместо Р пи!Пут У-', а сами равенства (24) называют формулой обращения преобразования Фурье.
Рассмотрим некоторые примеры. П р и м е р 5. Предположим, что известен сигнал о (1) на выходе прибора Р, 'рассмотренного в примере 2, а мы хотим найти сигнал 1((), поданный на вход прибора Р. В примере 2 мы показали, что ! и о связаны соотношением о(П= ~ с(в)р(в)е' 'йв, '! где с=,У [!] — спектр сигнала 1 или преобразованиь Фурье функции '1, а р — спектральная характеристика прибора Р. Считая все эти функции достаточно регулярными, из соотношения (24) заключаем, что и затем по формуле (2!) или (24) (=Р[ — ("~]. Пример 6. Пусть а)0 н У [Д (Б) = — е-'"е-!"! с$'= — .
1 Г . 1 1 2л 2."! а+ сй Заметим,' что если ! (х):=г( — х), то при любой функции ! У[Ц($) = — „~ 1( — х)е ' ьйх= — ~ )(х)е!хЬйх= T[Д( — $). Возьмем теперь функцию е —"" ! = ср (х) =1(х) + ! ( — х). Тогда .У[ ]6) = ~[ЛЯ)+ УИ( — ~) =-„'.,+,, Если же взять функцию ф(х)=[(х) — [( — х), являюшуюся нечетным продолжением функции е, х) О, на всю числовую Ось, то -УИ]К) =У У]($) — У'И( — Р= — „-,*+ ~ . Используя теорему 1, получаем, что е ", если х)О, 1 если х=О, О, если х(0, Все интегралы здесь понимаются в смысле главного значения, хотя второй, ввиду его абсолютной сходимости, можно понимать и в смысле обычного несобственного интеграла.
Отделяя в двух последних интегралах действительные и мнимые части, находим уже встречавшиеся иам интегралы Лапласа ссе х$ л ас! Бс О 2а + ОΠ— й$ = — е —" " ' Бдп х. ялхс л ас -~-йс 2 о Заканчивая обсуждение вопроса о возможности представления функции инте~ралом Фурье, отметим, что, как показывают совместно примеры 1 и 3, сформулированные в теореме ! и следствии ! условия на функцию 1 являются достаточными, но не являются необходимыми для возможности такого представления. г . кчпь »яд еэгьв и пгзоввлзовлнив Фэиьв ббз 1(з):== ~ 1(х).
Ь д у'2л з — ОЭ (25) и интеграл Фурье ((х) = — ~ ~($) е~хлд г 2л (25) отличающиеся от рассмотренных выше лишь нормировочным множителем. В симметричных формулах (25), (26) практически сливаются «коэффициент» Фурье и «ряд» Фурье, поэтому в дальнейш уд, по существу, интересоваться только свойствами интегрального преобразования (25), называя его нормированным преобразованием Фурье или, если не возникает недоразумений, просто ареобразованием Фурье функции (. Вооб ообще интегральным оператором или интегральным преобразованием принято называть оператор А, действующий на ф йкции ~ по закону и на функ- А (~) (у) = ~ К (х, у) ~ (х) дх, к 2. Регулярность функции н скорость убывания ее преобразои интег ал Ф ье а. Нормировка преобразования Фурье. Преобразование Ф ье (3) р ур (5) мы получили как естественные континуальурье ые аналоги коэффициентов Фурье с = — Г,'( )е-'л"дх СО Фурье ~ еле'"" периодической функции 7' в тригонометрической системе [е"".
7« ~ Е . [; 'х). Эта система не является ортонормированной, и' лишь простота записи в ней тригонометрического ряда Фурье заставляет по традиции рассматривать ее вместо о значительно более естественной ортонормированной системы — емх' я е= = Е~. В этой нормированной системе ряд Фурье имйет у 1 вид У~ с„=е'"", а коэффициенты Фурье определяются формул 1 г лами с»==- 1 1(х) е-и"с(х. )' хл А налогом таких естественных коэффициентов Фурье и такого ряда Фурье в коитинуальном случае были бы преобразование Фурье Э з пгвовялзовлние еэььв (24') (24") По этой причине, если оператор У мы будем называть преобразованием Фурье, то оператор У естественно называть обратным преобразованием Фурье. Ь. Гладкость функции и скорость убывания ее преобразования Фурье. Уже из леммы Римана следует„что преобразование Фурье любой абсолютно интегрируемой на й функции стремится на бесконечности к нулю.
Это уже 'отмечалось и в доказанной выше лемме 1. Теперь мы покажем, что, подобно коэффициентам Фурье, преобразование Фурье тем быстрее стремится к нулю, чем глаже функция, от иоторой оно берется. Взаимный с этим факт будет состоять в том, что чем быстрее стремится к нулю функция, от которой берется преобразование Фурье, тем глаже ее преобразование Фурье.
Начнеы со следующего вспомогательного утверждения. Лемма 2. Пусть (: Р-».С вЂ” 'непрерывная функция, обладаю- и(ая локально кусочно непрерывной производной )' на й. Если ари этом: где К(х, у) — заданная функция, называемая ядром интегрального оператора, а Хс:й" множество, по которому происходит инте- грирование и на котором считаются определенными подынтеграль- ные функции. Поскольку у — свободный параметр из некоторого множества )х, то А(~) есть функция на этом множестве г'.
В математике существует ряд важных интегральных преобра- зований, и среди них преобразование Фурье занимает одну из самых ключевых позиций. Это обстоятельство имеет довольно глу- бокие корни и связано с замечательными свойствами преобразо- вания (25), которые мы в какой-то степени опишем и продемон- стрируем на деле в оставшейся части параграфа. Итак, будем рассматривать нормированное преобразование Фурье (25). Введем для удобства следующие обозначения: (($):= = ~ )(х)е'«хЙх, 'г' 2л (27) .'и Я:=~, У[Д:=( (т. е. ((в)=(( — $)). В сравнении с прежними обозначениями это всею лишь пере- нормировка: Р[)'1=)~2л У [[], /Я==с [Д. Значит, в частноу'ь сти, соотношения (24) позволяют заключить, что у'Фл=~Ф[л1=~ или, в более короткой записи, 665 Г .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
