В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 114
Текст из файла (страница 114)
Заменяя теперь функцию у м1~л иа отрезках [хь — 6, х,+6], '1=1, ..., и, линейной функцией, интерйолирующей значения у(х, — 6) и у(х1+6), которые функция д принимает на концах соответствующего отрезка', мы получим кусочно линейную непрерывную и' финитную на [ — 'и, и] функцию уь.
Т1о построению ~уь(х) < =.М на [ — и, и], значит, л ' л ~ (у-.дь)'(х)дх~2М ~ <у-у61(х)дх , Л,+6 ='2М ~ ] <у — у61(х)дх(2М.(2М.26) п(4МЛ 1л;,— 6 и возможность аппроксимации доказана. б) Осталось показать, что тригонометрическим полиномом можно в среднем иа'бтрезке [ — и, п] приблизить любую функцию класса с). Но ведь йри любом а)0 для любой функции типа уь по теореме 5 найдется тригонпметрический многочлен Т„, равномерно с точностью до Б аппрокоимирующий. дь на отрезке [ — 'и, и], Значит ~ (уь-Т„)я-(х)бк 2па' и возможность сколь угодно точной аппроксимации в среднем на отрезке [-и, п] любой функции класса с) посредством григонометрическйх полииомов установлена. Ссылаясь иа неравенство треугольника в льгя[ — и, н], можно т:перь заключить.
что и вся теорема б о полноте в ФЯ'я[ — и, п] указанных класеов функций тоже доказана. Ь. Скалярное' произведение и равенство Парсеваля. После доказанной полноты в Бж,([ — и, и], $) тригонометрической систе- 539 2 2. тгигонометеическии Ряд Ф~Рье Парсеваля (33) ! ()(2= Х(с ())(2.. (38) ) = Яс»(~)е'"", (33') (34') ' (36) где, как всегда, 2 (г, д) ~ г(х)д(х) дх. ОЗВ Г» ХУ1П РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ мы на основании теоремы 1 можем утверждать, что для любой функции ! ЕеьЯ'2([ — п, и(, !Ь) имеет место равенство — + ~~! аь (() соз Ъх+ Ь, (() 2)п йх или, в комплексной записи, равенство где сходимость понимается как' сходимость по норме пространства ФЯ'2[ — и, п1, т. е.
в среднем, а предельный переход в (34) » совершается при и-~со по суммам вида З„(х)= ~с»(~)е*"'. Если переписать равенства (33), (34) в виде =~===+ 1, а»(!)=+ЬАД)=, ! аау) 1 'Е2 . соьь» ' 2!Еьх ! ЧЗ Е!2» =1= Х сь(0=, У 2п )'2л то в левых частях окажутся ряды по ортонормированным систе, ! 1 мам !=,=созкх, =з!пйх; Ь ее(4), !=е'2»; йене~. Значит, на„основании общего закона вычисления скалярного произведения векторов, по их координатам в ортонормированном базисе (см. лемму 5 из $ !) можно утверждать, что для любых функций ! и д из 2$,'2([ — и, и), 1[)) справедливо равенство д д) 2 22(Е + ~ а»()).д» (у)+ Ь» ()) Ь» ((т) (35) 2-1 или, в иной записи, равенство ! ,— „(Г, У) =,~, сьйс»(У).
В частности, при !'=й из (35) и (36) получаем записанное в двух эквивалентных межд) собой формах классическое равенство — () [' = +,У, а, (!) !2+1Ь, (!) (', (37) 2=! Мы уже отмечали, что с геометрической точки зрения равен- стао Парсеваля' можно рассматривать как бесконечномерный вариант теоремы Пифагора. На основе равенства Парсеваля легко доказауь следующее полезное Утверждение 3 (о единственности ряда Фурье). Пусть !' и д — функции из ФЯ'2[ — и, п).
Тогда: а) если тригонометрический ряд Ъ-! ~, »~ .!Ь РФЬ 2-1 -СО сходится к ! в- средн м на отрезке [ — я, и(, то он является рядом Фурье функции ); Ь) если функции (' и у имеют один и тот же.ряд Фурье, то они совпадают почти всюду на отрезке [ — и, и],-т. е. ~='д в 2[ и 4 4 На самом-то деле речь, конечно, идет о частном случае общего факта единственности разложения любого вектора х~ Х линейного пространства Х, наделенного скалярным произведением (, ) по ортонормированиой системе (е„ е,, ..., е„, векторов Х.
Мы и докажем этот общий факт. СО » Пусть х= ~ а,ер Тогда [х['=(х, х) = ), (а~(2, и если х=О, !=1 ! ! то а)=О при любом /~(4. Значит, если х= Я азе! = 4~ ~!ем 1=1 1=! то О = У, '(а! — ~!)е! и а! — ()У=О прн любом ) ее(!4. Мы доказали 1=1 тем самым, что если разложение вектора по ортонормированиой системе вообще существует, то оно единственно. В том случае, когда система (е,, ем ..., с„, ...[ полна в Х, разложение х = У', а!ет заведомо существует для любого- вектора 1=! х ее Х, причем а! = (х, е!) — козффициенты, Фурье вектора х в системе (е„ е,, ..., е„, ...[.
Значит, если два вектора х и у имеют одинаковые рядьь Фурье по полной ортонормц~ованной 54! 4 1 тРЯГОнОметРический Ряд ФуРье ГФ ХУП!, РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ систеь1Е (т. е. «1'~(1((х, е!)=(у, е1)), то х=~ (х, е)е,= 1 1 =,У~ (У, ЕУ)Е,=У. 1 ! В условиях утверждения 2 тригонометрическая система ортогональна, но не ортонормирована, однако мы уже видели в (33'), (34'), что это фора!альное затруднение несущественно. а 3амеч.ание 11. Рассматривая в свое-время ряды Тейлора Х ' 1«Р (а) — (х — а)", мы отметили что различные функции класса «-о С!"1(Я, .Р) могуу иметь одинаковые ряды Тейлора (в некоторых точках а е= Р).
Этот контраст с .только что доказанной теоремой единственности рядов Фурье не следует слишком абсолютизировать, поскольку всякая теорема единственности относительна в.том смысле, что она относится к определенному пространству и определенному виду сходимости. †Наприм' в пространстве аналитических функций (т. е. функций, допускающих локально представление в виде поточечно СО *,д ~~ ° ° ~~л~ Х а!*=*')') д р «о ные функции в любой точке имеют не совпадающие тейлоровские разложения. Если в свою очередь при изучении тригонометрических рядов отказаться от пространства ЕЯ'«[ в и, п) и-рассматривать поточечную сходнмость тригонометрического ряда, то, как 'уже отмечалось (см.
стр. †5), можно построить тригонометрический ряд, не все коэффициенты которогр равны нулю и который тем не менее почти всюду сходится к нулю. По. утверждению 2 такой нуль-рид, конечно, не сходится к нулю в смысле среднего квадратичного уклонения. В заключение в качестве иллюстрации использования свойств тригонометрических рядов Фурье, рассмотрим следующий принадлежащий Гурвицу *) вывод классического изопериметрического неравенства в двумерном случае. Чтобы избавиться от громоздких выражений н случайных технических трудностей, мы будем пользоваться комплексной записью.
Пример У.,Между Объемом У Области в евклидовом пространстве- Е", а~2 и (и — 1)-мерной площадью Р, ограничиваю. щей область гнперповерхности, имеется соотношение л«о 11«-1 Ра (39) ') А. Гуэайе (1339 — ٠— аеиечкэй ца)«матче, учеаак ф. клейка. х(- п) =х(п), у( — п) =у(п). ' (42) Соотношения (41) запишем в виде одной комплекснозначиой функции г=г(11, — п(1 а:и, где г(1) =х(1)+1у(1) и ввиду (42) г( — п) =г(п). Заметим, что 1г' (1),а = (х' (1))а+ (у' (1))а = ( — )' и, значит, ири нашем выборе параметра 1 1'(1) !'=~4„-',. (43) (41') Учитывая далее, что гг' = (х — !у)(х'-1- (у') =(хх'+уу')+ + 1(хд' — х'у), и пользуясь равенствами (42), запишем в комплексном виде формулу площади области, ограниченной, замкнутой кривой (411: Е='- ~(хр'-ух')(1)1(1 —; ~г'(1)г(1)1(1 (44) — а -а Напишем теперь разложение функции (41') в ряд Фурье г (1) ~~ еа«1а1, называемое изопериметрическии неравенством; здесь ΄— Объем едицичного п-мерного.
шара в Е". Равеиатво в нзоперимьгрическом неравенстве (39) имеет место только для шара. Название «изопериметрическое». связано с классической геометрической задачей отыскания среди' замкнутых плоских кривых данной длины Е'той кривой, которая ограничивает наибольшую площадь 3. В этом случае неравенство (39) означает, что 4ИЯ(Е (40) Именно это неравенство мы .теперь. и докажем, считая, что рассматриваемая кривая является гладкой и задаяв параметрически в виде х= 1р(з), у= ф(з), где а-натуральный параметр (длина) вдоль. кривой, а функции '1р и 1р принадлежат классу .' С!11[10, Ц.
Условие замкнутости кривой означает, что 1р(0) =<у(ь), Ф(0) =ф(Е) Перейдем от а к параметру 1=2п — ' — и, изменяющемуся от — и до и, и будем считать, что цаша кривая Задана в параметрическом виде х = х (1), (1 = у (1), — п «-1 ( л, (41) 543 4 г. гвигонометпичвскип ряд окпьв 542 г, хни!.
ряд оупьв и прновпдзовднив оьиья тогда г' (!) ~ глс»егы. Равенства (43) и (44) означают, в частности, что ?' л 1, 1 /с 2л 2л,) 2 ] [ 2,)~ ()[ 4з' 4л ' 2л ( ' С 2л а ( ) ( ) л -я В терминах коэффициентов Фурье, как следует из равенств (36), (38), полученные соотношения приобретают вид СО г'.Я = 4пз г,' ] лс» ]', СО Я=п 'Я лс»с», Таким образом, ~Я вЂ” 4п5 = 4пз ~ (йз — й) ] с» ]Я.
Правая часть этого равенства, очевидно, неогрицательна и обращается в нуль только при условии, что с»=0, когда л~Е и ЙФО, 1. Итак, неравенство (40) доказано и заодно получено уравнение г (() =се+с!егс, — и «(:а= и, той кривой, для которой оно превращаатся в равенство. Это комплексный вид йараметрического.уравнения окружности с центром в точкЕ са комплексной плоскости и РадиУс4 ]с,]. Задачи и упражнения 1. а, Пока!ките, что ч Ип лх Нч.х = — при ОО:,х С2л„ л 2 »=1 и найдите сумму этого ряда е остальных точках хаз 1]. Используя предыдущее разложение н поньзуясь правйлами действий с три.
гонометрическими рядами Фурье. покажите теперь, что! Ъ~ ип с»х л х Ь вЂ” — — — при Осхси. ~ы 2» 4 2 »-1 СО я!п (2» — 1) х и с ь С» ! 4 при О с х с л »=1 Ъ~ ( — 1)«'. х 4. ~~ — мп лх —. прн 'х[ (л. л . 2 «=1 и' 'Яч ( — 1)» е. хе= . +4 'с — ~ — соялх при х!(и.
л »=! и 4 Ъ' соя(2» — 1) х 1.. х=-~ — — ~~~, при О~хщл. »=! Зхс — бпх+ 2л' чд соя лх й. = у, 'при О:ах~и. ля «=1 Ь. На;исуйте графики сумм встретившихся здесь тригонометрических ря дов над всей осью ];с. Используя полученные .результаты, найдите суммы следующих числовых рядов: «« 1=' ~- ~ ( — 1)« .~% ! % ( —.1)« 2л+! ' Сьа ля ' а~а лх «-е «1 л 1 2.
Покажите, что: а) если й [ — л, л]-ОП нечетная (четная) функция, то ее коэрсфнциенты Фурье имеют следующую особенность: а» (]) О (Ь» (0=0) при л=о, 1, 2, ...; Ь) если й Р-ОС имеет период 2л/т, то.ее коэффициенты Фурье с»0] могут быть отличны от нуля, лишь когда А кратно ьп с) если й [ —.л, л]-С.Д вещесгвеииозначна, то при любом» ш)4 ср([] = =с»(В- б) [а»(])[щ2 яир !)(х)Ь [Ь»Щ1с2 яир П(х)1, )с»О)]( !х!(л .
!х!(л япр [[(х),. !»!Сл 3. а. Покажите, что каждая из систем функций (соя»я; »=О, 1, ...], ( я1п Ах!» !и ]4] Ьртогоаальна и полна в пространстве еДС [а, а+ и] при любом яначенйи а см (г. Ь. Разложите функцию )(х) х в промежутке [О, и] по каждой из этих двух систем. с Нарисуйте графики сумм найденных рядов Фурье над всей числовой осью.
.6. Укажите тригонометрический ряд Фурье функции 1(х) [х[ на отрезке [ — л, гс] и выясните, сходится ли он равномерно к этой функции на всем от. резке [ — л, л]. СО 4. Ряд Фурье ~ с» ([)ег»" функции ! можно рассматривать как специаль-' со 1 -1 +с« ный слУчай степенного РЯда ~ с»гх~ ~Р ~саг»+ хг,' ссг, в котоРом г пРо— СО -СО О бегает единичную окружность комплексной плоскости (т. е. г ес'). Покажите, что если коэффициенты Фурье с»()) функции й [ — л, л1-ОО убывают так быстро, что 1ип !с»О)с]1»=с ~1, а 1ип 'с»())]1 с+(1п » — ОО ' » 1-сс то: 545 544, Гх. Еуи! Ряд Фурье и преоврлзпвлиие ФуРье 4 з ТРигакометРическии Ряп Фурье а) функцию,/ мшкно рассматривать как след на единичной окружности некоторой функции, представимой в кольце с <[г(<с,.' рядом ~ сэг»; 1 Р> Ь) при г=х+!у и )п — <у<1п = ряд ~ с»(/) е!"' сходится абсолютс ° с «ч но (и, в частности, его сумма не зависит ат порядка суммирования членов); с) в любой полосе комплексной плоскости, задаваемой условиями а< 1 1 ~ 1ш г<ЬГ где !и — <а <Ь < !и —;ряд ~З ~с»(/) гг»«сходится абсолютно н с с + — «О равномерно; г гэ б) используя разложение е*=)+ — + — -1-...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
