В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 116
Текст из файла (страница 116)
Вообще /г-я гармоническая компонента 21С» ! СОЗ (/г — 1+ атрея» СИГНаЛа / (1) ИМЕЕТ Чаетвту /эта оо —, 2л А 2л круговую частоту Ьозо«2пйчз= — /), амплитуду 2 ~!с«1'='у'а»+Ь1 и фазу агйсдоо — агс(й —. вд а» Разложение периодической функции (сигнала) в сумму простых гармонических колебаний называют гармоническим анализом функ«(ии /.
Числа (сд((); /гене.» или (ао(7), ад()), Ь»(); й ен Щ пазы. зают спектром функции (снгнала) ). Периодическая функция, таким образом, имеет дискретный спектр. Прикинем (на эвристическом уровне), что произойдет с разложением (1) прн неограниченном увеличении периода Т сигнала Г. л Полагая для упрощения записи 1«О — и а»о й —, перепишем разложение Г». ХУП!. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ и, значит, с» — = 2 — !) !(!)е '"«'йг, Считая, что при 1- +ОО мы приходим в пределе к рассмотрению произвольной абсолютно интегрируемой на й функции г, введем вспомогательную функцию (3) значения которой в точках а=а« 'мало отличаются от величин ! с« — в формуле (2). В таком случае и 1(!) ~~1 с(а»)е "«' —, (4) 7(!)= ~ с(а)е' 'сЬ.
(5) Таким образом, вслед за Фурье мы пришли к разложению функции ! в коитииуальную линейную комбинацию гармоник переменной частоты и фазы. Функцию с(а), определенную равенством (3) и играющую роль коэффициента в интеграле (5), подобного коэффициентам Фурье в ряде Фурье, естественно считать спектром функции (сигнала) 1. В отличие от рассмотренного выше случая периодического сигнала и соответствующего ему дискретного спектра, спектр с(а) произвольного сигнала может не обращаться в нуль на целых промежутках и даже на всей прямой (непрерывный спектр).
Пример 1. Найдем функцию, имеющую следующий финитный спектр: с(а) = и, если !а~(а, (6) О, если !а~)а. М По формуле (5) при (чАО находим а » (7) Л Л где а«=й — и ૄ— а,= —. Последняя сумма напоминает интегральную сумму и при измельчании разбиения, происходящего при (- со, получаем $ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ х (!) = Р (!) (!) = $ с (»ь) р (ьз) е!"' йь». В частности, если / 1 при !ы~~(1, 1 О при !ы))1«, (8) то х(!) = ~ с(ы) е' 'йы и, как видно из определения спектральной характеристики прибора, е'"' при ( ы ) -=. »1, Р(е' ')= 0 при ) ь» () ««.
Прибор Р со спектральной характеристикой (8) пропускает (фильтрует) без искажения частоты, не превосходящие Й, и срезает всю ту часть сигнала, которая относится к высоким частотам а когда '(=О, получаем г(0)=2па, что совпадает с пределом 26 — при (-~0. мп а! Представление функции в виде (5) называют предел»авлением функции в виде интеграла Фурье. Ниже мы обсудим условия, при которых такое представление возможно, а сейчас рассмотрим еще один. П.р и ме р 2. Пусть Р— прибор, который обладает' следующими свойствами: это линейный преобразователь сигналов (т. е.
Р ~, аД~= ',~~~а!Р(7!), сохраняющий периодичность сигнала (т. е. ! Р(е! ')=р(ы)е'"', где коэффициент, р(ы) зависит от частоты ьз периодического сигнала е*' '). Мы употребляем здесь более компактную комплексную форму записи, хотя, конечно, все можно переписать и через функции соз»в! и з!пы!.
Функция Р (со)=-)с(ь«) е Фим называется спектральной характеристикой прибора Р, ее модуль Р(ь») принято называть частотной характеристикси, а аргумент !р (ы) — фазовпй характеристикой прибора Р. Сигнал Е'Ф', пройдя через прибор, преобразуется на выходе в сигнал )с(ы)е!!"'»Ф!"", измененный по амплитуде благодаря множителю )с (ы) и сдвинутый по фазе ввиду наличия слагаемого Ч!(Ь»). Предположим, что нам известны спектральная характеристика р(ы) прибора Р н сигнал г(!), поступивший на вход прибора, а требуется узнать сигнал х(!) ='Р(!)(!) на выходе прибора.
Представив сигнал г(!) в виде интеграла Фурье (5) и пользуясь линейностью прибора Р и интеграла, находим 4 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ р И ('): = ~ —, ~ 1(~) е '~ йх (9) 7(х) ~ сЯ)е1кхй$, (10) о . я (ьо): = — ~ ) (х) соз $х йх, (15) Я(оь):= — ) ~(х) Рйп $хйх .(12) (17) 554 Гл. ХУП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ (превышающим ь)).
По этой причине такой. прибор в радиотехнике называют идеальным фильтром низкой часто1пы (с верхней граничной частотой Й). Перейдем теперь к математической стороне дела и к, более тщательному рассмотрению возникших здесь понятий. Ь. Определение преобразования Фурье и интеграла Фурье. В соответствии с формулами (3) и (5) введем Определение 1. Функция называется преобразованием Фурье функции !' !х-о-С.
Интеграл здесь понимается в смысле главного значения 7'(х)е ч" йх:= !Пп ~ 7(х)е-1~ йх СО л +со л и считается, что он су1цествует. Если (: 1~- Я вЂ” абсолютнр интегрируемая на Р функция, то, поскольку ! 7" (х) е-'*О ! = ! !'(х) ! при х, $ ен Я, для любой такой фуивщпи имеет смысл преобразование Фурье (9), причем интеграл (9) сходится абсолютно и равномерно по $ на всей прямой Я. Определен ие 2. Если с(з) = И 1)1 ($) — преобразование Фурье функции 7': Я-Р С, то сопоставляемый 7" интеграл понимаемый в смысле главного значения, называется инп1егралом Фурье функции !'. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье периодической функции являются „таким образом, дискретными аналогами преобразования фурье и интеграла Фурье соответственно.
Определение 3. Понимаемые в смысле главного значения интегралы называются соответственно косинус- и синус-преобразованиями Фурье Функции 1'. Полагая с($) = ~и($), а($)= У',Щ(з), 6(з) =йг,Щ(з), получаем отчасти уже знакомое нам по рядам Фурье соотношение (ь) = ! ( (Б) — !Ь (ь)). (13) Как видно из соотношений (11), (12), а( — $)=а($), Ь( — з)= — 6($). (14) формулы (13), (14) показывают, что преобразования Фурье вполне определяются на' всей прямой Р, если они. известны лишь для неотрицательных значений аргумента. С физической точки зрения это вполне естественный факт— спектр сигнала надо, знать для частот о1 ) 0; отрицательные частоты а в (3) и (5) — плод формы записи.
Действительно, л 1 о Л1 А С(ЦЕ1кьй$ ~ ~ +~ 1С($)Е1койв ~ (С(З)Е1кь ! С( $)Е-1ко) йв — л -л о1 о = ~ (а($) созе+6($) З1пхо) й5 о и, значит, интеграл Фурье (1О) можно представить в виде ~ (а ($) соз х$+ Ь ($) з! и х$) й$, (10') о вполне соответствующем классической форме записи ряда Фурье.
Если . функция 7" вещественнозначна, то из формул (13), (14) в этом случае следует с( — $) =с(з), (15) поскольку в этом случае а (з) и 6 ($) — вещественные функции на (к, что видно из-их определений (11), (12)..Впрочем,.равенство (15) при условии )'(х) =7" (х) получается и непосредственно из определения (9) преобразования Фурье, если учесть, что 'знак сопряжения можно вносить под знак интеграла.
Последнее наблюдение позволяет заключить, что для любой функции 1: (к-о.'В справедливо равенство Полезно также заметить, что если 7 — вещественная и четная функция, т. е. 7" (х)=7(х)=7( — х), то ззь Гл ХУП! РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ З 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ если ! — вещественная' и нечетная функция, т. е.
7(х) =7(х) = = — 1( — х), то ,у,[)[(р=о, .у,[)1%=..ущ(р, И(В= — Иа) = Щ( — В (!8) а если ) — чисто мнимая функция, т. е. 1(х)= — !(х), то ,У[7!( — В) = —,У [Л(Б). (19) Заметим, что если ( — вещественнозначная функция, то ее интеграл Фурье (!О') можно записать также в виде ~ 'У'ал(л)+ 6'($) соз (х$+Ч) ($)) д$= 2 ~ )с($) (сов(х$+4)($)) с($, о 0 где ч Я) = — агс1я — =асс($). ь (й) и (Ел) Пример 3. Найдем преобразование Фурье функции !(!) л!и а! = — (считая 1(0) = а — Щ. л г' Щ(а)= !!ш -- [ — в-! 'дг= — А — А о -)- сс ! 1' (яп(а+а)! яп)а — а)г~ е) сО ! ! = 2 (знп (а+а)+знп (а — а)! ~ — пи=)[ г япи --, если )а!((а!, о О, если )'а!)(а), пос)(ольку нам известно значение интеграла Дирихле япп и — ди = — '-.
(20) и 2' о Значит, если считать а=0 и взять функцию 7" (!)=2й ' из ' равенства (7), то мы, как и следовало ожидать, получаем в качестве ее преобразования Фурье указанный соотношениями (6) спектр этой функции. Рассмотренная в примере 3 функция ) не является абсолютно интегрируемой на Я и ее преобразование Фурье имеет разрывы. 0 том, что преобразование Фурье абсолютно интегрируемых функций не имеет разрывов, говорит следующая Лемма 1. Если функиия 1: К- 4', локально интегрируема и абсолютно интвгрируема на 14, то а) ее преобразование Фурье,У Щ($) определено при любом значении $ я К; Ь) У Я~С()(), $); ) р ! У Щ 6),' ~ — ~! ) (х),' дх; б) .У Щ($) — «О при $-«сО. 4 Мы уже отмечали, что !((х)е-"1~ п-.)7(х)), откуда следует абсолютная и равномерная по 5~[с сходимость интеграла (9).
Этим одновременно доказаны пп. а) н с) леммы. Пункт б) следует из леммы .Римана (см. 5 2). Для фиксированного конечного А ~ 0 оценка )(х)(в-)л!ълл) в-)лъ)дх . Бцр ! в-)Ял ! ! ~ ! [(х) ! с!х -А )си <А — А устанавливает непрерывность по $ интеграла А — ~)() л'тд, равномерная сходимость которого при А — «+ Оо.позволяют заключить, что У Щ БАС(Р, Ж). В Пример 4. Найдем преобразование Фурье функции !(!) = е — еа! :.У Щ(а)= ~ е — сп'в-)с")((= ~ г-аьзсоза(д!.
Дифференцируя последний интеграл по параметру а и интегрируя затем по частям, находим, что '~~а()!( )+-а Щ( )=О, или с! а йа — !и У Щ(с!) = — --. 2' Значит, У'Щ(а) =,св — ")', где с — постоянная, которую, пользуясь интегралом Эйлера — Пуассона (см. гл. ХЪ'П, 2 2, пример !7), находим из соотношения с=.У Щ(0)= ~ в — )ч'д(=ф'2п. Итак, мы нашли, что .У Щ(а) ='у'2пв — "*", и одновременно показали, что,У; Щ (и) = )l'2п в-ач', а,У, Щ (а) = — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
