В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 113
Текст из файла (страница 113)
(д Полагая уд='<сд(!"<Ф<),<, с учетом неравенства Бесселя ,~, !сд(!<Ро) <" ( — ~ !7< '<ы(х)дх, ! )чгз (ЗО) получаем соотношение (3!). $.. '3 а м е ч а н не 6. В доказанном утверждении, как и в лемме 4~ й)!место условий г<б( — и)=!«'(и) можно было бы считать, что 7" файляется заданной на всей прямой 2п-периодической функцией. За'меча н не 7. Если тригонометрический ряд Фурье записы- ":Мть в форме (6), а не в комплексной форме (6'), то вместо про- стых соотношений (ЗО) пришлось бы писать заметно более гро- ';йкоздкие равенства, смысл которых, однако, тот же: при.
указанных ,:уловиях ряд Фурье можно дифференцировать почленно (в какой гч)ы из форм (6) ийи (6') он ни был задан). Что же касается оценок 4 "оэффициентов Фурье ад(7), Ьд(!) ряда (6), то, поскольку адЩ=, „' ' сд(Д-с д(7), Ьд(!) =г (сд(!) — с д(7)) (см. формулы (12)), из (31) гйледует, что если функция 7 удовлетворяет указанным в утвер- ф)!денни условиям, то г7У» ад ф ! = ф, ! Ьд (7) ! = — ", й ен К, - (3! ') 4О СО !5Ф .л,' ад ОО и У, 'рд«:,со, причем можно считать ад=рдея д=< д=< г:'ы уд+ у-д. Ь. Гладкость функции и скорость сходимости ее ряда Фурье. Теорема 6.
Если функция 7: [ — и, и]-Ф<В такова, что , а) [ен С< -" [ — и, и], т ен К, Ь) [<<<( — )=[<г»(п), 1=О, 1, ..., т — 1, с) 7.имеет на [ — и, и] кусочно кепферывную производную 7<"'< порядка т»1, ,то ряд Фурье функции !' сходится к ! абсолютно и равномерно .'Йа огпрезке [ л, и], причем отклонение и-й частичной суммы5„(х) ряда Фурье от 7(х) на всем отрезке [ — и, и] имеет оценку ° !7'(х) — 5„(х),' ~ — ';,, Ги 'ХУЙ! РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБР»ЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 4 е тРЙГОнОметРический Ряд ФуРье где «е„') — стремящаяся к нулю последолатсльность положительных чиссл.
4 Если непрерывная на отреэке [ — и, и! функция удовлетворяет условию 1( — я)=1(4») 'и имеет на этом отрезке хотя бы первую кусочно непрерывную производную, то на основании соотношений (31') уже можно- записать, что (а» (р) соз йх+Ь»(() Б1п йх(.:„"'+ ', А ~ Г(. -(32) Но ~--1!а»+Р») + — ', )~а»Р+'()»Р+ —,, и поскольку ряды а»+й» ! 1; ри ри Х'~ кт а»+й» а», лл Р» ~ —, сходЯтсЯ, Рад ~~ й тоже сходитсЯ. На »=1»=1»-1 »=1 "основании 'мажорантного признака Вейерштрасса можно теперь из соотношения (32) заключить, что ряд Фурье — + ~ а»'Я соз ах+ 5, (!) Б(П йх » 1 функции 1 сходится абсолютно и равномерно на всем отрезке ( — я; я) (и'всей прямой !с). Пусть о (х) = й + .,! а!р ()) соз Ах+ Ь» ()) Б1п йх. ар (Л »=1 По условию функция ( кусочно непрерывно дифференцируема' на 1 — я, и], поэтому она удовлетворяет условиям Дини в каждой точке отрезка ! — я, я) (см.
пример 3). Поскольку 1( — я) =)(я), функцию 1 можно 2я-периодически продолжить иа )с с сбхране- инем свойств Дини в любой точке х~И. значит, на основании теоремы 3 можно заключить, что З(х) =!(х), Теперь, испоЛьзуя соотношения (31'), имеем возможность приступить к оценке: ) (х) — 5„(х) ! = ! Я (х) — Я„(х) ! = а»())созйх+Ь»Ц)з(пйх ~ » и+1 — (а»(осозйх+Ь»(р)эрп йх!«= «~ «+5» . »=и+1 »='и+! По неравенству Коши — Буняковского ~ ~ !»р р) ~ ~,—,'.)- рр 111» и,'„,.-( У, ~Р,»р,р) . „„„„, „„„р„ »=»+1 (а»+р»)», вытекающую из оценки (а»+ !)»)» (2 (а»+()»р), »=и+1 заключаем, что ги- 0 при п-р-со.
Далее (рис. 104) Ч 1 Г л. 1 !. ,~я Ь»»Р,) х»»Р (2»р — 1! .»ьи-» » «.1-1, и и, значит, 1 Полагая теперь еи=* — ги, из проведенных оценок полу= )Сзт — 1 "' чаем неравенство (32). $ В связи с полученными результатами сделаем несколько полезных замечаний. Рис. !04 3'а меча н не 8. Из теоремы 5 (и существенно использованной при 'ее.доказательстве теоремы.3) можно легко и независимо от теоремы Фейера вновь получить аппроксимационную теорему Вейерштрасса, сформулированную в следствии 1. 'ч Достаточно доказать ее для вещественнозначных функций. Используя равномерную непрерывность функцци г на отрезке ( — я, я), аппроксимируем 1" на этом отрезке равномерно с точностью до е/2 кусочно.
линейной непрерывной функцией рр(х), принимающей на концах отрезка те же значения, что и 1„ т. в. !р( — и) = !р(я) (рис. 105). По теореме 5 ряд Фурье-функции »р сходится к р равномерно иа .отрезке !†и, я!. -Беря частичную сумму этого ряда, уклоняющуюся от рр(х) ие более чем на ер2, получим тригонометрический многочлен, аппроксимирующий исходную функцию 1 с точностью до е на всем отрезке );- я,я!.
~ 4 х. ТРигОиОметРическин Ряд ФуРье Рнс .!06 Рис 106. о34 Га. ХУП1 РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЭОВЛНИЕ ФУРЬЕ Замечание 9. Предположим нам удалось представить функцию ), имеющую особенность' — скачок, в виде суммы (=1р+ф некоторой гладкой функции ф и некоторой простой функции 1р, имеющей ту же особенность, что и 1 (рис. !06 а, Ь, с). Тогда 'ряд Фурье функции г окажется суммой быстро н равномерно сходящегося в силу теоремы 5 ряда Фурье функции ф и ряда Фурье фуннцни 1р. Последний можно считать известным, если взять стандартную функцию 1р (на рисунке тр(х) = — и — х при — п(х~О и 1р(х)= =и — х при 0(х~ 21' Это наблюдение используется как в прикладных и вычисли тельных вопросах, связанных с рядами (метод А. Н.
Крылова *1 выделения особенностей' и улучшение сходнмости рядов), так и Р самой теории тригонометрических рядов Фурье (см., например. ' квление Гиббса а*), описанное в задаче.11). Замечание 10 об интегрировании рАда Фурье. Благодаря 'теореме 5 можно сформулировать и доказать еле дующее дополняющее лемму 4 о дифференцйровании ряда Фурье *) А..Н Крылов 1!863 — 1946) — русский советский механик и математик. - внесший большой вклад в вычислительную математику и особенно в методы расчета элементов кораблей.
'*) Д. У. Гиббс 11839 †19) — американский физик и математик, один из основоположинков термодинамики и статистической механики. Утверждение 2: Если Функция ): [ — п, п1-ь!Б кусочно непрерывна, то соответствие 1 (х) ~Ч~ ~с» (/) в'»' после интегриро1 вания превращается в равенстпво ! (!) й! = са й х+ ~~ — '".
' (в" — 1), где 'штрих. свидетельствует об отсутствии в сумме члена с индексом й=О; сумлшрованив происходит по симметричным частичным » суммам ) ', и при этом ряд сходится равномерно на отрезке [ — и, и). 4 Рассмотрим вспомогательную функцию ! р (х) ~ ! ()) й! — са ()) х о на промежутке [ — и, п). Очевидно, р ~ С [ — и, тс1. далее, р( — п)=р(п) поскольку Р(п) — Р( — и) = ~ 7(!)сУ вЂ” 2псе(Д=О, что следует из опредейения с,(Г).
Поскольку производная Е'(х)= =)(х) — с, (1) функции р кусочно непрерывна, ряд Фурье ~ч с» (Е) в1»», функции Е по теореме 5 сходится к Р равномерно на отрезке [ — и, п1, По лемме 4 с»(Е)= — ", при ЙФО. Но с»(Г)=с»([), если й ЕФ.О. Записывая теперь равенство Е(х) = У', с»(р) в'"" в терминах функции 1 и учитывая, что Е(0) =О, получаем то, что и утверждалось.
~ ,4, Полнота тригонометрической системы: а. Теорема о полноте, В заключение вернемся вновь от поточечной сходимости ряда Фурье к его сходимости в среднем (10). Точнее, используя накопленные факты о характере поточечной сходимостн ряда Фурье, дадим независимое от уже встречавше- госЯ в задачах доказательство 'полноты в отта([ — 41, п1, Р) тРигонометрииеской системы [1; созйх, з)пйх; й ~М).
При этом, как н в п, 1, под еЯа(1 — и, п), Р) или еткз([ — и, п), С) понимается линейное пространство вещественно- или комплекснозначных функ- ЛЗЗ ' Гл. ХЧП1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИИ ФУРЬЕ 6 е ггигонометлическии Ряд Фугье ° зз7 цнй, локально интегрируемых на промежутке ] — и, и[ и имеющих интегрйруемый на ]- и, и[ (хотя бы в несобственном смысле) квадрат модуля; это векторное пространство предполагается наделенным стандартным скалярным произведением (7), порождающим норму, сходимость по которой и есть сходимосгь в среднем (10).
Теорема б (о полноте тригонометрической системы). Любая функция .) ЕилЯ',[ — и, и] 'мажет быть сколь угодно точно при. бяижена в среднем: а) финитными на ] — п, и[ интегрируемыми по Риману на от резке [ — и, и] функциями; Ь) кусочно постоянными на отрезке [ — и, и] функцилмгц1 .с) непрерывныии и финитными на отрезке [ — и, и] функциями; б) тригонометрическими пояиномами.
4" Поскольку теорему, . очевидно, достаточно доказать для веществениозначных функций, то мы и ограничимся этим случаем. а) Из определения несобственного. интеграла следует, что л я — ь ~ гл(х)дх= 11пз ~ 16(х)бх. Ь' +6 Значит, каково бы ни было число е) О, найдется. число 6) 0 такое, что функция )(х), если <х,'(и — 6, 76(х) = О, если и — 6~<х1=.п будет.
отличаться в среднем на [ — и, и] от 1 меньше, чем на е; поскольку я †я я )()-16) (х)д = ~ )'(х)дх+ ~ ) (х) х. Ь) Достаточно проверить, что любую функцию вида (ь можно в ФЯХ([ — п, и], Р) аппроксимировать кусочно постоянными финитными на [ —.и, й] функциями. Но функция )ь уже интегри. руема по Римаиу на отрезке [ — и+6, и — 6]. Значит, она огра. ничена иа нем некоторой постоянной М и, кроме того, существует такое разбиение — и+6= хь(х1 с;...~х„= и — 6 этого отрезка, что соответствующая ему нижняя интегральная сумма' Л Дарбу ~ и1 бх1 функции [6 отличается от интеграла ]ь по отрезку 1=1 [ —.и+6, п+6] меньше чем на Б) О, Полагая теперь ть если хен [х1 „х;[, у(х) = 0 в остальных точках отрезка [ — н, и], ь получим, что (16 Ы) (х)лх»:, ) 116+0~116 Ы<(х)с(х~~ -л —,л — л — 6 ~ 2М ~ ([6 — у) (х) дх ( 26;а - -л-1.6 и, значит, действительно )6 можно сколв угодно точно в среднем иа отрезке [ — и, и] аппроксимировать кусочно постоянными на этом отрезке функцйями.
обращающимися в нуль в окрестности концов отрезка [ — и, л]. с) Теперь уже достаточно научиться приближать в среднем указанные в Ь) функции, Пусть у — такая функция. Все ее точки разрыва х1, ..., х„лежат в интервале ] — и, и[. Их конечное ° число, поэтому, каково бы ни было'число а)0, можно подобрать число б) О стояь маленькое, что 6-окрестности точек х„..'., х„ ие пересекаются, содержатся'-строго внутри интерзала ] — и, и[ и 26аМ(а, где М= знр ~у(х)<.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
