В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Ияд ОтнЬН И ПИНОВИЛЗОВЛНИН ОтрЬВ й !. основныв оыцнн поедстлвлнння угодно точно может быть приближен в 1, такими линейными ком- а 'кч ! / ! ! бинациями, ибо е — у -„ еа = (1, О, О,...., О, †„„, †„„,...). а-! Значит, мы одновременно установили, что Х не замкнуто в 1, (поэтому Х, в отличие от 1„не полное метрическое пространство), но в то же время замыкание Х в 1, совпадает с 1„так как, если добавить к векторам ею е„...
еще вектор-(1, О, 0,,), то получим бвзис пространства 1,. Теперь заметим, что в Х=1. (е, ет, еа, ...) уже нет отличного от нуля вектора, ортогонального всем векторам системы е„е„... в Децствительно, пусть х=ае+„У, а,еь Тогда (х, е„„,)= —,.„„ !-о и если (х, е„„,)=0, то а=О. Но тогда и ат=...=а,=О, если ' (х, е!) =0 при !'=1, 2, ..., и. Вместе с тем ортокормированная система'е„е„... не является полной в Х, ибо вектор е ен Х нельзя сколь угодно точно. аппроксимировать векторами системы (в противном слу! чае в силу сказанного выше линей!ив ными комбинациями векторов ет, е„... можно было бы аппроксимировать и вектор (1, О, О, ...), что, вл конечно, не так). Рассмотренный пример, разумеетвт ся, типично бесконечномерный.
Рис. !03 дает геометрическое изображе- Рис. !03 . ние случившегося в этом примере. *4. Об одном важном источнике ортогональных систем функ-. ций в анализе. Теперь дадим представление о том, как в конкретных задачах появляются те или иные ортогональные системы функций и возникают ряды Фурье по этим системам. П р и м е р 14 ..Метод Фурье. Отрезок [О, 1] с: Р будем считать положением равновесия однородной упругой струны, закрепленной в концах этого отрезка, а в остальном свободной и способной совершать малые поперечные колебания около этого положения равновесия. Пусть и (х, 1) — ' функция, описывающая эти колебания, т. е. в каждый фиксированный момент времени 1=1о график функции и(х, 1а) над отрез ком 0-= х ~! задае! форму струны в момент 1,.
Это, в частности, означает, что и(0,-1)=и(1, 1)=0 в любой момент 1, поскольку концы струпы закреплены. Известно (см, например, гл. Х1Ч, З 4), что функция и(х, 1) удовлетворяет уравнению (22) где положительный коэффициент а зависит от плотности и модуля упругости струны. Одного уравнения (22), конечно, недостаточно для определе. ния функции и(х, 1). Из опыта мы знаеат, что движение и(х, 1) однозначно определится, если, например, задать положение и(х, 0) !р(х) струны в какой-то (будем его называть иачальнылч) оо момент. времени 1=0 и скорость „— (х, 0) = ф(х) точек струны в этот момент.
Так, если мы, оттянув сТруну, придаем ей форму !р(х) и отпускаем, то ф(х) =О. Итак, задача о свободных-колебаниях струны *), закрепленной в концах отрезка 10, 1], свелась к отысканию такого решения и (х, 1) уравнения ("2), уоторое удовлетворяет граничным условиям и(0, 1)г и(1, 1)=0 (23) и начальным условиям и(х, 0)=!р(х), — "(х, 0)=!р(х).
(24) Для решения подобных задач существует довольно естественная процедура, называемая в математике методом разделения переменных или методом Фурье. Она состоит в следующем. Решение и(х, '1) ищется в виде ряда ~ К„х)Т„(1), члены которого п =1 Х(х) Т(1) являются специального вида (с разделенными переменными) решениями данного уравнения, удовлетворяющими, граничным условиям. В нашем случае, как мы увидим, это равносильно разложению колебания и (х, 1) в сумму простейших гармонических колебаний (точнее, в сумму стоячих волн).
Действительно, если функция Х(х) Т(1) удовлетворяет уравнению (22), то Х(х) Т" (1)=а'Х'(х) Т(1), т. е. (25) В - уравнении (20) независимые переменные х и 1 оказались в разных его частях (разделились), поэтому обе части на самом-то деле должны представлять некоторую, одну и ту же, постоянную Л. Если учесть еще граничные условия Х (О) Т (1) = Х (1) Т (1) = = О, которым должно удовлетворять рассматриваемое нами решение специального вида, то его отыскание сводится к одновремен- ' ;ному решению уравнений Т' (1) = Ла'Т (1), (26) Х" (х) = ЛХ (х) (27) при условии, что Х (0) = Х (1) = О.
*) Отметим, что начало математическому исследованию колебаний струим поло!инл енто Брук Тейлор. 508 Гл. ХЧН1. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ $1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ (31) !р (х) = ' ° А„Б)п и — х л=! т! Па, и ф (х) = ~ и —, В„з 1п л —, х. а=! (32) Легко написать общее решение каждого из этих уравнений в отдельности: Т(1)=АСОБ3~ Ла/+Вз(п]'Ла/, (28) Х(х) = С сов]/Лх+ОБ(п]'Лх. (29) Если мы попытаемся удовлетворить условиям Х(0)=Х(1) =О, то получим, что при Л~О должно быть С=О и, отбросив тривиальный случай с)=0, получаем, что зш]/Л1=0, откуда ]/Л= = — ! =+ —, п ен(ч'. Таким образом, в уравнениях (26), (27) число Л оказывается можно выбирать только среди некоторой специальной серии чисел /ля !! (так называемых собсп/венных чисел задачи), Л„= ~ — ), где не= п1.
Подставляя эти значения Л в выражения (28), (29), получаем серию специальных его решений и„(х, 1)=з)пп — ",х(А„созп — (+В„з(пп" — 1), (30) удовлетворяющих граничным условиям и„(0, 1)=и„(1, 1)=0 (и описывающих стоячую волну вида Ф(х) з(п(ы/+а), в которой каждая точка хеп [О, 1] совершает простые гармонические колебания со своей амплитудой Ф(х), но одной и той же для всех точек частотой а!). Величины ы„ = и ™вЂ , п ее !ч, по естественной причине называют собственными частотами струны, а ее простейшие гармонические колебания (30) — собс/пвенными колебаниями струны. Колебание и,(х, 1) с наименьшей собственной частотой называют основным тонол! струна, а остальные ее собственные колебания и,(х, 1), и,(х, 1), ...
называют обертонами (именно обертоны создают характерную для данного музыкального инструмента окраску звука, называемую тембром). ' Мы хотим теперь представить искомбе колебание и (х, 1) в виде суммы У и„(х, 1) собственных колебаний данной струны. Грал 1 ничные условия (23) при этом автоматически выполнены, и надо только позаботиться о выполнении начальных условий (24), которые означают, что Таким образом, дело свелось к нахождению пока еще свободных коэффициентов А„, В„, или, что то же самое, к разложению функций /р и ф в ряд Фурье по системе [з)па — х; п ББ!"ч), ортогональной на отрезке [О, 1]. Полезно заметить, что возникшие из уравнения (27) функции ( з(па — х; и епЯ) можно рассматривать как собственные векторы а2 линейного оператора А = —,, отвечающие его собственным знавх' ' чениям Л„=п —, которые появились из условия, что оператор 4 действует на пространстве функций класса С!'! [О, 1], обращаю. шихся в нуль на концах отрезка [О, 1].
Значит, равенства (31), (32) можно трактовать как разложения по собственным векторам данного линейного оператора. Линейные операторы, связанные с конкретными задачами, являются одним из основных источников ортогональных систем функций в анализе. Напомним один известный из алгебры факт, вскрывающий 'причину ортогональности таких систем. Пусть 2 — линейное пространство, наделенное скалярным произведением (, ), а Š— некоторое его подпространство (плотное в 2). Линейный оператор А: л-+.А называется симметрическим, если для любых векторов х, у еи 2 выполнено равенство (Ах, у)=(х, Ау). Так вот: собственные в'екторы симметричетого опера/пора, о/пвеча/оа1ив различным его собс/пввнным значениям, ортогональны.
4 Действительно, если Аи=аи, Ао= ро и я~(), то а(и, о)=(Аи, и) =(и, Ао) =р (и, и), откуда следует, что (и, п) =О. > Полезно теперь с этой точки зрения посмотреть на пример 3, где в су!цности рассматривались собственные функции оператора / ~Р А=( —,+//(х)), действующего на пространстве функций класса Сап[а, Ь], обращающихся в нуль на концах отрезка [а, Ь]. Интегрированием по частям можно убедиться в том, что этот оператор на указанном пространстве является симметрическим (относительно стандартного скалярного произведения (4)), поэтому результат примера 4 является конкретным проявлением отмеченного алгебраического факта. В частности, когда о(х) =О, из А получается оператор — , и! Ы' который при [а, Ь]=[0, 1] встретился нам в последнем примере!4. Отметим также, что в рассмотренном примере дело свелось к разложению функций /р и !]1 (см. соотношения (31) и (32)) в ряд 511 $1.
ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 510 Ги. ХЧЫ!. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 'ФУРЬВ по собственным функциям 'оператора А = —,. Здесь, конечно, возле никает вопрос о принципиальной возможности такого разложения, эквивалентный, как мы теперь понимаем, вопросу о полноте системы собственных функций рассматриваемого оператора в выбранном пространстве функций.
Полнота в еЯ'а[ в и, и[ тригонометрической системы (и некоторых других конкретных систем ортогональных функций) в явной форме, по-видимому, впервые доказана Ляпуновым *). В неявном виде полнота конкретно тригонометрической системы присутствовала уже в работах Дирнхле, посвященных исследованию сходи- мости тригонометрических рядов. Эквивалентное полноте равенство Парсеваля для тригонометрической системы, как уже отмечалось, было обнаружено Парсевалем еще на рубеже ХУП[ — Х[Х веков. В общей постановке вопросы полноты ортогональных систем и их приложедия в задачах математической физики были одним из основных объектов исследований Стеклова "), который и ввел в математику само понятие полноты (замкнутости) ортогональной системы.
При йсследованин вопросов полноты он, кстати, активно использовал метод интегрального усреднения (сглаживания) функции (см. 99 4, б- гл. ХУП), который поэтому часто называется методом усредненай Стеклова. Задачи и упражнения 1. Метод наименьшим кеидратое Зависимость у=/(ксс ..., хи) величины у от величин хо ..., хи изучается экспериментально. В результате и (~ п) экспериментон была получена таблица х, хз ... хи[.у ! е '" и в строках которой указан набор [а~, а'...,, лС„) значений параметров х„ха...., -х„и соответствующее ему значенее ЬС величины у, измеренное прибором с определенной точностью. По этим экспериментальным данным требуется получить удобную для расчетов эмпирическую формулу вида у ~ асхь 1-1 Коэффициенты ас, аз, ..., аи искомой линейной функции надо подобрать так, чтобы минимизировать величину й Я Ьа — ~ а!ась ереднего квздратяч.
Р а 11 " *) А. М. Ляпунов (!857 — 1918) — русский математик и механик, вмдающяйся представитель школы П. Л. Чебышева, творец теории устойчивости движения. Успешно занимался различными областями математики н механики. *') В. А. Стеклов (1864 — !926) — русский советский математик, представитель созданной П. Л. Чебышевым петербургской математической школы, основатель школы математической физики в СССР, Его имя носит Мзтематаческий институт Акздемнн паук СССР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
