В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Используя полученное выражение для б/, докажите справедливость классической формулы Грина (/ б!р — ф Л/) дх ! / — — <р — ! дп Г l д<р д/! ~~да дц/ в предположении, что 6 — конечная область в )са, ограниченная кусочно гладкой поверхностью 5; /, <р ез Ссо (6)()Соэ (6), а стоящий слева интеграл суще. ствует хотя бы как несобственный е. Покажите, что если б-функция соответствует единичному заряду, помедд щенному в начале координат О пространства )1э, и функция — — отвечает дх! днполю с электрическим моментом +1, расположенному в точке О н ориентированному вдоль осн х! (см задачу 11е из 6 4), й функция ч(х)д — простой слой, отвечает распределению зарядов по поверхиоств 5 с поверхностной ч д плотностью ч (х), то функция — — (ч(х) бх), называемая двойным саоем, отведя чает распределению диполей по поверхйости 5, ориентированных по нормали и и нмекяцих поверхностную плотность момента ч(х).
1 1, Полагая в формуле Грина !Р— и используя результат примера!4, !я — у1 покажите, что любая гармоническая в обдасти 6 функция / класса С'!'(6) представляется в виде суммы потенциала простого и двойною слоя, располо. женных на границе 5 области 6 1 х Т. а. Функция является потенциалом напряженности А= —— !я!. 1х!з электрического поля, создаваемого в пространстве Йз единичным зарядом, помещенным в начало координат. Иам известно также,'что б!» ~- — != 4пб, д!ч ! — — ! =4пуб, б!ч йгаб ~ — ) 4пб; 1х)э~ ' '1 |х 1з~ 'Ч(х! 4 з ЕРАтные интеГРАлы 1 — 1п1х) 2п при х щ ()з, г Я 2п". (и — 2) гэ !х! !э э! при хгм(чэ и'ъ2 Е(х)= е Ь.
Л й !х! -й!х! . ( +А)Е=д, если Е(х)= — — или если Е (х) — е ' й с. С)„Е д, где а, — — пз~ ~,+ +' д ' Е Н(аг-'!хй Ънкцин )(е~нсэйла 5 г (» ся У У Р д дущ е Результаты, предьявите решение и уравнения $у Е," соотвщствующего дифференциального оператора А в виде сверг ~ф ченные ва и " проверьте например в предположении непрерыв ост н и функции яют уравнению Аи=/, у м Интегралы, зависящие от параметра, действител ьно удйвлет- Исходя из этог Р !6) Ч того объясните, почему надо 'полагать, что фу (! ( )— нкция (к) = лолжна удовлетворять уравнению Л(! — 4пц. Проверьте, что она действительно удовлетворяет написанному уравнению П Ь.
Физическое сл внению уассона. следствие формулы Гаусса — Острогра!(ского, известное в теории электромагнитного полн как теорема, Гаусса, состоит ,поток через замки т оит в том, что ,.создаваемого а У Ую поверхность 5 напряженности электрического поля, '''6 — полный эа я в р спределенными в пространстве (;!э зарядами, ра 4 '6, вен п6, где теорему Гаусса. р д области, ограниченной поверхностью 5.
До ажите зт шенных функций. й. Проверьте следующие равенства, понимаемые в смысле теории обоба. ЛЕ б, если 4 1. оснонньш онщин предстлвлнния 489 ГЛАВ А ХЧ!11 РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 5 1. (еснфвные фбщие представления, связанные е понятием ряда Фурье е) 1. Ортогональные снетемы функций. а. Разложение вектора в линейном пространстве. На протяжении всего курса анализа мы неоднократно отмечали, что те или иные классы функций по отношению к стандартным арифметическим операциям образуют линейные пространства.
Таковы, например, основные для анализа классы гладких, непрерывных или интегрируемых на,области Х с:.)ч' вещесгвенцо, комплексно или вообще векторнозначных функций. С точки зрения алгебры равенство ) =44Ь+" +аелЬ ° где 1, 1„..., )„функции данного класса, а а, — коэффициенты из поля Р или С, Попросту означает, что вектор 1 является линейной комбинацией векторов Г„..., )„рассматриваемого линейибго пространства. ,В анализе, как правило, приходится рассматриватыбесконечные' линейные комбинациив — ряды функций вида Определение суммы ряда требует, чтобы в рассматриваемом линейном пространстве была задана некоторая топология (в част- ') Ж. Б.
Ж. Фурье (1788 — 1880) — французский математик. Его основной труд «Аналитическая теория теплптыа (1822) содержал выведенное Фурье уравнение теплопрпапдности н метод разделения переменных (метод Фурье) его решения (см. стр. 506). Ключом в методе Фурье является разложение фуннции в триго«юметричесиий ряд (ряд Фурье). Исследованием возможности такого разложения занимались впоследствии мнагие нрупные математики. Зто, в частности, привела н созданию теврни фуннций действительного переменного, теории мпожесгв, а также сцосоЖтвовало развитию самого понятия функции. ности, метрика), позволяющая судить о стремлении к нулю разности 1 — Я„, где 5„= ~', ес,)а.
а=1 Основным для классического анализа приемом введения метрики на линейном пространстве является определение в этом прост- ' ранстве той или иной нормы вектора или того или иного 'скалярного произведения векторов. Обсуждению этих понятий был посвящен' 9 1 гл Х. Сейчас мы будем рассматривать только пространства, наделенные скалярным произведением (которое, как и прежде, будем обозначать символом (, )), В таких пространствах можйо гово. рить об ортогональных векторах, ортогоиальных системах векторов и ортогональиых базисах, подобно тому, как вто говорилось в знакомом из аналитической геометрии случае трехмерного евклидова пространства О п р ед е л е н н е 1.
Векторы х, у ' линейного пространства, наделенного скалярным произведением (, ), называются ортогоналлными (относительно этого скалярного произведения), если (х, у) = О. Определение 2. Система векторов (х„; йжК) называется ортогональном, если векторы системы, отвечающие различным значениям индекса й, попарно ортогоналъны. Оп ределен не 3. Система векторов (еа) йы К) называется орпюно))мированной (или ортонормальной), если для любых индексов 1, )енК выполняется соотношение (еь е,)=6;,, где бь«вЂ” ( 1, если 1=1, символ Кронекера, т. е.
6су =~ $ О, если 1~1. Определение 4. Конечная система векторов х„..:, х„ называется линейно независимой если равенство а,х,+.с х,+ ...+аах,=О возможно, лишь когда и,=сс,.=... сс„='О (в первом случае Π— нулевой вектор првстранства, вэ втором случае О— куль поля 'коэффициентов). Произвояьная система векторов линейного пространства называется системой' линейно независимых векторов, если линейно независима каждая ее конечная подсистема.
Основной вопрос, который нас сейчас будет интересовать, это вопрос о разложении вектора пространства по заданной системе линейно независимых векторов. Имея в виду дальнейшие приложения к пространствам функций (которые могут быть и бесконечномерны), мы должны считаться с тем, что такое разложение может, в частности, привести к ряду типа ряда (1). Именно в этом и будет состоять элемент анализа при рассмотрении того основного и по существу алгебраического вопроса, который мы поставили. Как известно из курса аналитической геометрии, разложения по ортогональным и ортонормированным системам имеют много 491 490 Гх. ХЧП1, РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ' $1.
ОснОВные ОБщие пРедстАВления (1. -д): = ~ (1 д) (х) йх н (2) Поскольку !1 у«~ 2 («1(з+~д!А), интеграл в равенстве (2) сходится и,'значит, корректно определяет величину (1, у). Если. речь будет о вещестаеннозначных функциях, то в соответствующем вещественном пространстве Мз (Х, !Х) соотношение (2) сводится и равенству (1, д):= ~(1 у)(х)йх. .х Опираясь на ' свойства интеграла, легко проверить, что все' указанные в 9 1 гл.
Х аксиомы скалярного произведения в этом случае выполнены, если отождествлять функции, отличающиеся лишь на множествах а-мерной меры нуль. Всюду дальше в основном тексте параграфа скалярные произведения функций будут пониь)вться в смысле равенств (2) и (3). Пример 1..Вспомним, что при целых. т и а 1 О, если т чьи, ~г й ,ЙВФ,,!ЛХД,,~' [ 2п, если т=а,' О, если !пчьп, ~ созтхсозпхйх= а, если т=пчмО, 2п, если т=п О; ') созтхз)ппхйх=О; ~ О, если тФа, ~ з!птхз!ппхйх=~ ( и, если т=пч~О, (4) (6) (7).
технических преимуществ в сравнении с разложениями по произвольным линейно независимым системам (легко вычисляются коэффициенты разложения; по координатам векторов в ортонормнрованном базисе легко вычисляется скалярное произведение этих векторов и т. д.). Именно поэтому мы будем в основном интересоваться разложениями по ортогонахьиым системам.
В пространствах функций это' будут разложения ао ортоеональным системам функ!4ий или ряды Фурье, изучению которых и посвящена эта глава. Ь. Нееоторые примеры ортогональных систем функций. Развивая пример 12 из 9 1 гл. Х, на линейном пространстве е211(Х,!В) локально интегрируемых на множестве Х ~ Р" функций, имеющих интегрируемый на Х (в собственном или .несобственном смысле) квадрат модуля, введем сиалярное произведение в1п (а+ В) 1 ) а+ — соз !21 соз В1 В!Ели — а12В1 1 ! Мп (а — В) 1 1п з!и «),хйх 12 а1 '1Е В1 Значит, если величины а и В таковы, что =* —, то исходный интеГрал равен нулю. Следовательно, если $,<54<...
; .. ($„(... последовательность корней уравнения !я $1 = сз, где с — произвольная постоянная, то система функций «з!В($„х); Зти соотношения показывают, что система зкспонент «е"; а ее х,] является ортогональной системой венторов пространства еа',([ — и, и], $) относительно скалярного произведения (2); а и! ригонаметрическая система «1, соз пх, з)п пх; и ее 1ч) ортогональна' в е !'я([ — и, и], (ч). Если рассматривать тригонометрическую систему как набор векторов в В$'з([ — и, и], С), т. е. допустить линейные комбинации с комплексными коэффициентами, то в силу 1 формул Зйлера е' " совах+ 1з!Вах, созпх = — (е'""+е-' "), з!пах= — (е1~ — е-'"") окажется, что 'рассмотренные системы ли-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
