В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 99
Текст из файла (страница 99)
а. Нарисуйте график функции 6 (х) при,различных значениях параметрао, Ь. Проверьте, что математическое ожидание (среднее значение) случайной величины с распределением вероятностей бо равно нулю (т. е. ~ або(х)их=01 с. Пров рьте, что среднее квадратическое уклонение величины х от своего среднего значения (дисперсия х) равно о 1Т. е. () хзбо (х) Вх = о). ~112 В.
В теории вероятностей доказывается, что плотность вероятности суммы двух независимых случайных величин является сверткой плотностей распреде. ления вероятностей самих этих величин Проверьте, что ба а бр=6 . у а" -~- р" е. Покажите, что сумма л однотипных случайных величин (например, и независимых измерений одного и того же объекта), распределенных по нормальному закону бо, распределена по закону б . Отсюда, в частности, следует, ока что ожидаемый порядок погрешности среднего арифметического и таких измерений, взятого в качестве значения измеряемой величины, равен п1)го, где и †вероятн погрешность отдельного измерения 452 Гл.
ХЧН. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯП1ИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 3, Напомним, что функция А (х) ~ ', а„х" называется производящей л=о функцией последовательности а„ ад, . Пусть даны две последовательности (ах), (Ьь). Если считать, что а„ =ЬА=О при Ь « О, то свертку последовательностей (аэ), (Ьв) естественно определить квк последовательность (сл =~ а,„Ье,ф Покажите, что производящая функция свертки двух последовательностей равна произведению производящих функ. ций этих последовательностей. 4. а.
Проверьте, что если свертка и а о определена и одна из функций и, о периодична с периодом Т, то и а о †то Т.периодическая функция. Ь. Докажите теорему Вейерштрасса об аппроксимации непрерывной периодической функции тригонометрическими полиномами (см, замечание 5). с, Докажите усиленные варианты аппроксимационной теоремы Вейерштрасса, укаэанные в замечании 4.
5. а. Пусть компакт мь 2= [2 содержит строго внутри себя замыкание Е множества Е иа утиерждения 5. Покажите. что в этом случае 1 1(у) йь(х — у) ду= мь =21 х) на Е. . Иэ разложения (1 — г)-2=!+2+26+... выведите, что й(р, 6):= — + ре'О+ рзе!26+... при 0 «р < 1. ! ! Рг!О ре О) с. Проверьте.
что при 0«р(1 Рр (О);= 1(еу(р, 6) — +рсоа В+р'ож 20+...; 1 2 функция Рр(6) имеет вид 1 ! — р' Р (6)-— 2 Г-22 2-У и называется ядран Пуассона для круга. б. Покажите, что семейство зависящих от параметра р ен [О, Ц функ. 2л ! Г ций Рр(6) обладает следУющим набоРол2 свойств: Рр(6))0, — Рр(0)г(6 1, 2л — е Рр(8) д8 — ь 0 при р-2-1 — О.
е>О е. Докажите, что если ! щ С [О, 2л], то функция и (р, 8)= — Рр(6 — Г)1(!) д( 1 à — гармоническая в круге р«1 и и(р, 6)=!(В) при р — ь1 — О. Таким образом, ядро Пуассона позволяет строить гармоническую в круге функцию, имеющую . заданные граничные значения иа границе круга. 1. Для локально интегрируемых фуннций и и о в случае, когда они периодические, причем с одинаковым периодом Т, можно корректно определить операц чо свертки (свертки по периоду) следующим образом: а -1- г (и ар)(х);= ) и(у)о(х — у)2(у.
г а 4 4 СВЕРТКА ФУНКЦИЙ Периодические функции на [22 можно интерпретировать как функ данные на ок ружности, поэтому введенную операцию естественно считать опрек ункции, заделением свертни двух функций, заданных на окружности Покажите, что если 1(6) — локально интегрируемая 2л-периодическая функция на П (или, что то же самое, ! — функция на окружности), а семейство Рр(0) зависящих от параметра р фуннций обладает свойствами ядра Пуассона, иере- численными в б, то (! а РР2](0)-р((В) прн р-ь 1-0 в любой точке 6 непрерйв. 2л . ности функции 6 1 Пус!ь 2р(х).=а ехр 2((, ) прн (х ~ «1 и 2р(х):= О прк ~2х(~1! а — постоянная, выбираемая иа условия ]ф(х)ах=) Проверьте, что прн а-ь 1 !х! -2.+О семейство функций ф„(х)= — ф( — ) является 6-обраэным семейством а а , функций класса С!"' на П.
О Ь Для любого промежутка! с Р и любого в) 0 постройте функцию е(х) класса Сэ~! такУю, что 0«е(х)«1 на (2, е(х)=.1СФхам/ и, нанонец, вирр е с Ью где 1 — е-окрестность (или а-раздутне) множества 1 в [;2. (Про. верьте, что при соответствующем значении а ) 0 в качестве е(х) можно взять с Докажите, что для любого а~О существует такой счетный набор (ев) функций ее 2мсе~~ (е-разбиение единицы на [г), который обладает следующими свойствами; ЫЬ2м6], Ыхщ(2 (0«ее(х)«1); диаметр носителя вирр аз любой функции семейства не превосходит е ) 0; любая точка х 2н $~ прннадлежйт лишь конечному числу мноигеств вирр ее; ~ 2еь(х) = 1 на [с б.
П р . Покажите, что, каково бы нн было открытое понрытие ((1, Г) открытого множества 6 с('2 и какова бы ни была функция 2ИС'"'(6), т Тон ществует такая последовательность (<ры ь щ 6]) фуннций ф 2ж с! ' (6), рая обладает следующими свойствами; ЫЬ 2м Ь], ЭТ 2м Г(вирр 2рь 2-(! ); любая точка х щ 6 принадлежит лишь конечному числу множеств эцрр; л ( ) = рр фв:,глфь(х) = — ф (х) на 6. е. Докажите, что множество функций С! 1(6), интерпретируемых как обобщенные функции, всюду плотно в соответствующем С"а' (6) множестве регулярных обобщенных функций. 1.
Две обобщенные функции Р,, Р, иэ ед'(6) считаются совпадающими иа открытом множестве 6 с 6, если для любой функции ч 2н.йд(6), носитель которой лежит в П, выполняется равенство (Рд, ф)=(Р2, ф). Обобщенные функции Р,, Р, считаются локально совпадающими в точке х~ 6, если онн совпадают в некоторой окрестности (! (х) 2= 6 втой точки.. Докажите, что (Рг=Р2) С:Ь (Р, =Р, локально в любой точке х 2е 6). 1 Т.
а. Пусть 2р(х):=ехр ~ — при х, '«! н 2р(х):= 0 ри ~х (ъ.1 [[х[2 — 1) п х Покажите, что для любой локально интегрируемой на [2 функции ! выполняется соотношение ~ ! (х) 2р (х) дх -ь 0 п ри е -2. -1- О, где 2ре (х) = 2р Ы Ь. Учитывая предыдущий результат н то обстоятельство, что (6, ф ) = =ф(0)ФО, докажите, что обобщенная функция 6 не является регулярной, с. Покажите, что существует последовательность регулярных обобщенных функций (даже отвечающих функциям класса с! !), которая сходится в ~2 к обобщенной функции 6. (На самом-то деле любая обобщенная функция Гн. ХУН. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 4 4 СВЕРТКА ФУНКЦИИ является пределом регулярных обобщенных функций, отвечающих функциям из й'=С ю.
В этом смысле регулярные обобщенные функции образуют всюду ! о! плотное в ж»' множество, подобно тому как рациональные числа ([[ всюду плотны в множестве Д всех действительных чисел.) 8. а. Вычислите значенне (г, ф) обобщенной функции г «ы ~~' на функции ф «м»«~, если В=жпхб; Р=2созхб; Г=(1+х«) 6.
Ь. Проверьте, что операция Р 1 — » фг умножения на функцию »р щ С'"" является непрерывной операцией в Ф»1'., с. Проверьте. что линейные операций над обобщенными функциями непре- рывны в 46". 9. а. Покажи ге, что если г — регулярное распределение, порожденное ( 0 при х(.0, функцией [(х)=~ то г'=1»', где Н вЂ” распределение, отвечающее ! х при х)0,- функции Хевисайда.
Ь. Вычислите производную от распределения, отвечающего функции !х! 10. а. Проверьте справедливость следующих предельных переходов в,~~»1 а , ах х 1пп —,, = лб; !пп, .= лхб; Вгп = 1и,' х '. а +ох+а« ' а +еа»+х«а +ох«+а« Ь, Покажите, что если !'=[(х) — локально интегркруемая на Д функния, в ге — 1[я+в) То ге — »[ В ~оф ' прн е — » О.
с. докажите, что если (Аа) — 6-образное семейство гладких функций при х а-»0, то Ва= ) Ла(!)д(-»Н при а-»-0, где Н вЂ” обобщенная функция. отвечающая функции Хевисайда. 11. а. Через 6 (х — а) обычно обознача!от «сдвинутую в точку а б-фулхчию», т. е, обобщенную функцию, дейстнующую на функции ф«м Фд по правилу (6(х — а), ф) =ф(а). Покажите, что ряд ~ ! 6(х — й) сходится в ж!'. Ае Е Ь. Найдите производную функции [х[ ([х) — целая часть числа х). с. 2л-периодическая функция на ('» в пределах промежутка )О, 2л) задана ! х 1 ът формулой [!!о ! (х) — — — —, Покажите, что Г' — — + 7 6 (х — 2п/г).
2 2л' ее 2 с. Проверьте, что 6 (х — е) -1-6(х) при е-» О. б. Обозначая, как и прежде, сдвинутую в точку е 6-функцию через 6(х — е), 1 покажите прямым вычислеииемг что — (6 (х — е) — 6 (х)) — » — 6' (х) = — 6'. е. сходя из предыдущего предельного перехода, интерпретируйте — 6' как . И распределение зарядов, соответствующее диполю с электрическим моментом +1, расположенному в точке х О, Проверьте, что ( — 6', 1) =О (полный заряд диполя равен нулю) и что ( — 6', х) =1 (его момент действительно равен 1), 12.
а. Для обобщенной функции г, заданной в виде (г', »р) =~ ) хф(х)«(х, Ь проверьте следующие равенства + «о (В', !Р) = — — дх! ! Г ф (х) 2~ 4»х 3 Г ф ( )- (О)- (О) „. в ) а/з (2" — 6)!! И 2л хл — 1 !Р(х) — »р(0) — хф'(0) —...— ! ф'л "(0) !с ~ (л — 2)' е 1 Ь, Покажите, что если п — ! <р(п и обобщенная функция х+" задана соотношением р(х) — р (О) — р (О) — ... — р (О) (х, Р, ф):= с то ее производной является функция — рх! (Р "Н, определяемая соотношением Хл — 1 " 'о »р (х) — ф (0) — юр'(0) — ... — , !р'л-1'(0) ( — рх, 'Р+'1, ф) = — р е 13 Определяемая равенством -1 оо ! / — а -1- о»1 — оо — Ю 4 1 обобщенная функция обозначается символом «т» —.
Покажите, что: -)- о 1 ! [' »р(х) — ф( — х) , ( ° !Р(/= х Ь. (1и ! х!)'=Я вЂ”, 1 х ' (ф» 1 !' ( р(х)+р( — ) — 2ф(0)д '( Г ='„' х» б...= 11ш —,— — !л6+У вЂ”. ! . 1 1 х+10 +эх+»у ' х ' !4. С определением произведения обобщенных функций могут возникнуть сложности; например, функция !х! абсолютно интегрируема (в несобственном смысле) на Д; она порождает соответствующую обобщенную функцию + «о ! х ! ф (х) дх, но квадрат ее [ х ,'- ! уже не является интегрируемой ,-з!з ,-«га — оо функцией даже в несобственном смысле Ответы на следующие вопросы показывают, что в «р»' принципиально нельзя определить естественную ассоцвативную и коммутативную операцию умножения любых обобщенных функций. 466 Гл.
ХЧИ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯШИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 467 Э З КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ а. Покажите, что для любой функции )тС'"' имеет место равенство 1(х) 6 ) (0) 6. 1 Ь. Проверьте, что хйз — =1 в узл' с. Если бы операция умножения была распространена на любые пары обобщенных функций, то она по крайней мере не была бы ассоциативной и коммутативной, иначе 1 ! ! ! 11 0 = ОГР— = (хб (х)) Уь — = (6 (х) х) бь — = 6 (х) (хбз — ) = 6 (х) 1 = 16 (х) =! х х х ~ х) 16. а. Покажите, что фундаментальное решение Е для линейного оператора А: Я" -ь Я', вообще говоря, определено неоднозначно — с точностью до любого решения однородного уравнения А)=0 Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
