В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 98
Текст из файла (страница 98)
За упомянутые работы на Международном математическом конгрессе 1950 г. удостоен Фнлдсоаской премии, присуждаемой моло1(мм мазематнкам. 457 4 с, свепткл очнкцин 455 Гл. ХЧ11. ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Правая часть равенства (14) определена, и тем самым задается значение функционала Г д на любой функции ф еп Ю, т. е.
задается сам функционал Г д. Пример 11. Посмотрим, как действует распределение 6 и, где дев Сс"'. В соответствии с определением (14) и определением распределения 6 получаем (6 д, р):= (6, д р):=- (д р>(О):= д (О>. р (О>. с. ДиФФеренцирование обобщенных Функций. Если 7" ~ Ссз>, а ср еп Сс '), то интегрированием по частям получаем равенство ~ !'(х)ср (х) дх = ~ ! (х)срс (х) йх. (15) Это равенство является отправной точкой для следующего основного определения дифференцирования обобщенной функции Р еп =77'. (р', р):=-(р, р').
(16) Пример !2. Если 7'енС1", то производная от 7' в классическом смысле совпадает с производной от 7" в смысле теории распределений (разумеется, если, как всегда, отождествлять классическую функцию с соответствующей ей регулярной обобщенной функцией). Это следует из сопоставления соотношений (15) и (16), в которых правые части совпадают, если распределение г порож' дается функцией ). Пример 13. Возьмем'функцша 'Хевиеайда') 0 при хСО, Н(х) = 1 при х)0, назь!ваемую иногда единичной ступенькой и, рассматривая ее кан обобщенную функцию, найдем производную Н' втой разрывной В классическом смысле функции. Из определения регулярной обобщенной функции Н, отвечающей функции Хевисайда, и на основании соотношения (!6) находим (Н', ср):= — (Нн ср'): = — $ Н(х) ср' (х) с(х лл — $ ср' (х) йх= ср(0) ОГ О поскольку ср ец С,' '.
Таким образом, (Н', ср) ='(6, ср), какова бы нн была функция среп С', '. Значит, Н' = 6. *) О. Хевисайд (1550 — !925! — английский физик и инженер, разработаосний на симиолнчееком урбине важный математический аппарат, который теперь называется олероцнолным иознслгноем Пример 14.
Вычислим (6', ср)1 с;6, р>:= — (6, р'):= — р'(О>. Естественно, что в теории обобщенных функций, как и в классическом случае, для определения высших производных полагают, рглсз) ° (рглз)г Сопоставляя результаты последних двух примеров, можно, следовательно, записать, что (Н", ср) = — ср'(0). П р и м е р 15. Покажем, что (бслз, ср) = ( — 1)л срсю (О). Ч При и=о зто — определение б-функции. Мы видели в примере 14, что написанное равенство справедливо и при и=!. Докажем его по индукции, считая, что для фиксированного значения п еп г! оно уже установлено. Опираясь на определеиие (16), находим (бслезс ср) ° — ((6(л1)' ср) .— (6сл) ср')— =-(-!> (р>с. (О>=( — !>"'ры (О>. Э Пример !6.
Пусть функция 71 И-эС непрерывно дифференцируема при х(0 н при х) О, и пусть существуют односторонние пределы 7( — 0), 7(+ О) функции в точке О. Обозначим через й') (0) величину ) (+ 0) — 7'( — 0) скачка функции в точке О, а через 7" и (!') соответственно производную функции 7' в смысле теории распределений и распределение, определяемое функцией, которая равна обычной производной от ! при х(0 и х) О. Прн х=о последняя функция не определена, но это и не важно для интеграла, которым она определяет регулярное распределение (!'). В примере 1 мы отмечали, что если ! еп Сссз, то 7"' = (!'). Покажем, что в общем случае зто не так, а справедлива следующая важная формула: Г=(!')+~)(0) 6. (17) Ч Действительно, (!', ср) = — ((, ср') = — $ р(х>ср'(х>дх= О +соз =-(! - !)СГР1з'нам= — (СГ Н11 — со е О +ог — $ >' (х) ср (х) дх+ () ср) (х) )+' — ~ !' (х) ср (х) с!х = О Г -[11З.
О1-ГС вЂ” Ю1з1О1,- ! Г 1*1 зо1 Л= = (( ! (0) 6, ср) + ((7'>, ср). Гл. ХЧИ. ИНТЕГРАЛЪ|, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Если все производные до порядка т функции ?: к -«|В на промежутках х(0 и х)0 существуют, непрерывны и имеют односторонние пределы при х = О, то повторным дифференцированием из (17) получаем соотношение 1! '=(1! !)+ ) 7(0).6! -||+ ) ?'(0) 6! -"+ ... ... +Д'1|Ф-|! (0) .6. (18) Укажем теперь некоторые свойства операции дифференцирования обобщенных функций. Утверждение 6.
а) Любая обобщенная функция Реп.У' бесконечно дифференцируема. Ь) Операция Еи .У"-«Ы' дифференцирования линейна. с) Если РееЫ', денСЬ"|, то (Р д) ~Ю' и справедлива формула Лейбница (Р. д) |-| = ~ С'„Р! . й!™~ . А=О б) Операция Еи Ы'-«У" дифференцирования непрерывна. е) если ряд ~ 1А(х)=Я(х), составленный из локально интеА=! грируемых функций 1А: Р-«|В сходится равномерно на каждом лежащем в Я компакте, то в смысле обобщенных функций его можно дифференцировать почленно любое число раз и получаемые при этом рядь! будут сходиться в Я'.
4 а) (Р! |, |р):= — (Р! '|, |р'):=( — 1) (Р. |р' '). Ь) Очевидно. с) Проверим формулу при т=1: <(Р а)' р>(=-<Ра р'>:;--<Р а р'>=-<Р (у Чр?'-у'.р>= =<Р' ур>+<Р у' р>=<Р' у.4+<Р.у' ц»=<Р' а+Р И' р> В общем случае формулу можно получить теперь методом индукции. .6) Пусть Р -«Р в Ю' при т — «оо, т. е. для любой функции |р ~ Я'(Р„, |р>-«(Р, |р) при т-«со.
Тогда (Р', |р>:= — (Р, |р'> — (Р, |р'> =: (Р', |р>. е) При указанных условиях сумма 5 (х) ряда как равномерный на компактах предел локально интегрируемых функций 3 (х) = ~ ! 1А(х? сама является локально интегрируемой. ОстаА=! ется заметить, что для любой функции |р вне (т. е. финитной и бесконечно дифференцируемой) имеет место соотношение <5, |р>=~Я (х) |рйх — «~ Я(х) |р(х)ах=(5,|р).
5 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ Теперь на основании доказанного в б? заключаем, что З' бг при т- со. Мы видим, что, сохраняя важнейшие свойства классического дифференцирования, операция дифференцировании обобщенных функций приобретает 'ряд 'новых замечательных свойств, открывающих большую оперативную свободу, которой не было в классическом случае из-за наличия там недифференцируемых функций и неустойчивости (отсутствия непрерывности) классического дифференцирования относительно предельных переходов. б. Фундаментальное решение и свертка. Мы начали этот пункт с интуитивных представлений о единичном импульсе и аппаратной функции прибора.
В примере 7 была указана простейшая механическая система, которая естественным образом порождает линейный оператор, сохраняющий сдвиги по времени. Рассматривая ее, мы пришли к уравнению (11), которому должна удовлет'ворять аппаратная функция Е этого оператора. Мы закончим пункт, снова вернувшись к этим вопросам, но теперь с целью продемонстрировать их адекватное математическое описание на языке обобщенных функций. Начнем с осмысления уравнения (11). В правой его части стоит обобщенная функция 6, поэтому соотношение (11) следует трактовать как равенство обобщенных функций. Поскольку нам известны операция дифференцирования обобщенных функций и линейные операции над распределениями, то левая часть уравнения (11) теперь тоже понятна, даже если ее трактовать в смысле обобщенных функций.
Попробуем решить уравнение (11). При 1 (О система находилась в покое. При 1 = О точка получила единичный импульс, поэтому в момент 1 = О она приобрела такую скорость о=о(0), что то=!. При !)0 на систему не действуют внешние силы и ее закон движения .х= х(1) подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению ту+йх=О, (19) которое следует решать при начальных данных х(0) =О, х(0) = = о=1/т. Такое решение единственно и немедленно выписывается: х(1)==в(п 1г! — 1, 1)0. lь гьт и Поскольку в нашем.
случае при г.с'О система покоится, то можно заключить, что Е (г) = = з 1п "~' — 1, о(|? . » I ь (20? )~т и где Π— функция Хевисайда (см. пример 13). 461 4 Ч СВЕРТКА ФУНКЦИИ 460 Гл. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСящИЕ ОТ ПАРАМЕТРА (21) е(х) = Н(х)— удовлетворяет в смысле теории распределений уравнению („—, + в') е = 6. Действительно, (22) = Н" + 2Н' соз вх - вН (х) з(п вх+ +вН(х) з)п вх=6' — """ +26 сох вх.
Далее, для любой функции <р ен ж 6'"" +26созвх, Чз(=16', <р +(6, 2созвх~р)= ('"-' ох в = — (сох шхер(х)+, <р'(х)) ~ +2~р(0) =чэ(0) =(6, т), тем самым проверено, что функция (21) удовлетворяет уравнению (22). Введем, наконец, следующее определение, формализующее понятие аппаратной функции прибора. О и ре делен не 9. Фундаментальным решением (аппаратной функцией или функцией влияния) оператора А: .У' — ьЯ' называется такая обобщенная функция Е ее.У', которая под действием оператора А переходит в функцию 6 ее.Ю', т. е. А(Е) =6. П р и м е р 17. В соответствии с этим определением функция (21) является фундаментальным решением для оператора А =1„-;+ го'), поскольку она удовлетворяет уравнению (22).
г Вз Функция (20) удовлетворяет уравнению (11), т. е, является функцией влияния для оператора А =(т —,+й). Фундаментальная роль аппаратной функции оператора, сохраняющего сдвиги, уже обсуждалась в и. 1, где была получена формула (1), на основании которой можно теперь записать соответствующее указанным Проверим теперь, пользуясь законамн дифференцирования обобщенных функций и результатами рассмотренных выше примеров, что задаваемая равенством (20) функция Е(1) удовлетворяет уравнению (11). Для упрощения записи проверим, что функция в примере 7 начальным условиям решение уравнения (10): -~- СО з1п 1/ — т -/ л х(1)=ЦаЕ)(1)= 1 )(У вЂ” т)Н(т) йт, х(()== л /(1 — т)з(п 1у/ — тйт.
1 'Г" / й )/лш ~ ш а Учитывая продемонстрированную важную роль свертки и фундаментального решения, ясно, что желательно определить также свертку обобщенных функций. Это делается в теории распределений, но мы на этом останавливаться не будем. Отметим лишь, что в случае регулярных распределений определение свертки обобщенных функций равносильно рассмотренному выше классическому определению свертки функций. Задачи и упражнения 1. а.
Проверьте ассоциативность свертки; н.*(о ам)=(и а о) *в. Ь. Пусть, как всегда, Г (а) — гамма-функция Эйлера, а Н (х] — фувкция Хевисайда. Положим ха-' на(х):=н(х) — ех", где а>0, а хв0. Г (а) Покажите, что Нах а Н(=Нах" Р. ха — 1 с. Проверьте, что функция г =Н (х) ехх является и-й сверточной (и — !)! степенью функции )=Н (х) ехх, т, е. г"=)а) а ... а) ч х Е. функция б (х)==е то, и) О, задает плотность распределения вероятностей в гауссовском нормальном законе распределения вероятностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
