В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 93
Текст из файла (страница 93)
( уз)л б. Получите следующую формулу Валлиса: ' 1!ш (2» — 3)И ! » с» (2л — 2)(1 1' л 6. Учитывая равенство (17), покажите, что +СО а. е " созйхус(х= — )сп е 2 -)- СО У Ь. ~ е " з)п 2хус)х=е У'~ ес си. непрерывна при у > О. Учитывая сделанное выше общее замеча- ние 3, на основе следствия 4 заключаем теперь, что проведенное изменение порядка интегрирований действительно законно. )и $2, НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 427 +со +со е-'» . яп(х — /) и — если [) <а, +со 6 +О» х ж О яп ах — соз [)х ух= к и — если [) =а, О, если [))а е-О» е-е» саек»/х, . +со Ь +О\ Г, „Р оз их — оса Ьх О +О» 'то Гл.
ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 8. П рв условна /) 0 докажите тождество нспользун то обстоятельство, что оба зтн внтпг ала как к удовлетвориют урамы~~ -+ 1Д у у и стремитса «нулю прн /-»+оэ. окажите, что 1 л/2 ! /((Ь)дд- — „М дф - — "" хдх, и/2 км- †полн зллиптический интегРал первого Рода. — з)п ф 8. а. С читав, что и ) 0 и Ь ) 0 и используя равенство вычислите последний интеграл. Ь.
Прв и) О, Ь) 0 вычислите интеграл с. Используя интеграл Дйрихле (13) и равенство вычислите последний интеграл. 9. а. Докажите, что при /с) 0 е 2'яп/сй ~ е 'О ди= ( с!и 1 е 12+а»1 с /л/ з!и Р дыдушее равенство остаегса а силе и при значении Ь.
Покажите, что и е с. спользув интеграл Эйлера — Пуассона (17), проверьте, что с. Исп +СО г [// б. . Используя последнее равенство н соотношения 1 и получите значение с 2 ~~ — интегралов Френа +о» +О» япхздх, ~ совкзс/к. 1О. а. Используя равенство й +со +СО +СО япх — с/к= япхдк л-»ус/у х и обосновав возможность изменения по н а-и рале, получите вновь иай'енн р дка-интегрирований в повторном интег. те вновь иа денное в примере 13 значение интеграла Дир х !3. окажите, что при а)0 и [) ) 0 н ле ).
Этот интеграл часто называют рапрамнмм множителем Дирихле. с. читая а) О, О ) О, проверьте равенство +СО и 2!и ах яп [)к 2 — ух= х к и — а, если а) [). б. н окажите, что если числа а, а, ..., а ас, ..., а„положительны и а) ) ~, 'а/,то с ! +со зш ах 21п асх 21п а„х и — — — ас»= — а,ае ...а„. 11. Рассмотрим интеграл У (у) ~ /(х. у) у (х) дх, О гдв у — локально иитегрируемаа на промежутке [и, е[ функция ( Любом' Ь я[и, са[ у[ св а, Ь ип значит, при любо ' , 1 з! Р»а[а, [), пусть фуикциа / удовлетворяет порознь условнам а тве ени 5 в .
) у ржд й — 8. Если в остальных условиях зтих твержде й под знаком ивтеграла [(х, у) заменить-на х, ерждеии -н "х, у) у(х), то получатсн условия, ых можно, используя задач 6 нз 1 и л у 5 дос овно повторна доказарждени — , заключить соответственно, что а. У ш С [с, д[. Ь. У »в С'с' [с, д[, причем д/ О" (у) = — (к, у) у (х) дх. 3ду ' О 42а г . хчп. интегРАлы, злвисящие от НА~Амат~А % О. ЭИЛЕРОНЫ ИНТЕГРАЛЫ с, У т егг [с, с(1, причем !ама=!(!л*, а.(аа)а а а ~!а Й.,р несобственно иитогрируема на' [с, й[, причем ! амж-! (1«* а. ма)~ а а 1,а Проверьте ото.
3 3. Эйлеровы интегралы В этом и следующем параграфах будет продемонстрировано приложение развитой выше теории к некоторь(м важным для анализа конкретным интегралам, зависящим от параметра. Эйлеровыми интегралами первого и второго роди соответственно называют, следуя Лежандру, две следующие специальные функции: ! В(а, [)):= ~х 1([-х)а-гйх, ' (!) о +аа Г(а):= ~ ха-те-"йх. (2) о Первую из них,называют бета-функцией, а вторую, особенно часто используемую, — гимми-функцией Эйлера. 1. Бета-функция. а.
Область определения. Для сходимости интеграла (!) на нижнем пределе интегрирования необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие а) О. Аналогично, сходнмости интеграла (1) в' единице отвечает условие р , О. Таким образом, функция В (а, р) определена при одновременном выполнении двух условий: а)0' и р)0. Замечание. Мы здесь всюду считаем а и [) действительными числами. Следует, однако, иметь в виду, что наиболее полная картина свойств функций В и Г и наиболее глубокие приложения этих функций связаны с выходом в область комплексных значений параметров.
Ь. Симметричность. Проверим, что В(я, [))= В(р, а). (3) м Для доказательства достаточно в интеграле (1) сделать замену переменной хаа1 — С $ с.. Формула понижения. Если а) 1, то имеет место равенство В(а, р)= В(а — 1, р). (4) 4 Выполняя прн я) 1 и р)0 интегрирование по частям и тождественные преобразования, получаем ! В(а, р)= — — х' '(1 — х)В~ + ~ ха-'(1 — х)айх= о ! к — 1 ( „-о ((! х)в-1 (1 х)в-1 х) йх = — В(я — 1, р) — — В(а, р), откуда и следует формула понижения (4). Учитывая формулу (3), можно теперь записать формулу понижения В(а, р)= В(а, 3 — 1) по параметру р„считая, разумеется, что р 1.
Непосредственно нз определения функции В видно, что 1 В(а, 1)= —, поэтому, при нее!ч' получаем а' л — 1 л — 2 л — (л — 1) а+л — 1 а+л — 2 ''' а+л — (л — 1) 5) а(а+!) ... (а+л — 1! (л — 1)1 ( В частности, при т, и ея!"4 В (т+л-1)1 (6) й. Другое интегральное представление функции В. Иногда бывает полезно следующее представление бета-функции: В(а, р)=.~ йу. (7) о 4 Оно получается нз (1) заменой переменной х= —. 1ь у 1+у' 2, Гамма-функция. а.
Область определения. Из формулы (2) видно, что зада!ощий функцию Г интеграл сходится в нуле лишь при а)0, а на бесконечности, за счет быстро убывающего множителя е-", схо.,'дится при любом значении а~[с. Таким образом, функция Г определена при а~ О. 430 Гл. ХОП. ИИТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 4 3.
ВплеРОВы интеГРАлы Ь. Гладкость и формула для производных. Функция Г бесконечно дифференцируема, причем +со 1(л) (а) ~ ха-1 !похе-лс(х (8) о 4 Проверим сначала, что при любом фиксированном значении л ен !4 интеграл (7) сходится равномерно, относительно параметра а на каждом отрезке [а, Ь1 с- 10, +сю[.
Если 0<а<а, то (поскольку хл11!плх-«О при х-«+О) найдется число сл)0 такое, что л (х '!похе-л(<х' при 0 <-х < сл. Значит, на основании мажорантного признака равномерной сходимости можно заключить, что интеграл сл [ х 1)плхе-лс(х О сходится равномерно по. и на промежутке [а, +со[. Если же а<Ь< +со, то при х)! (ха-' 1пл хе-" ! < хо-'! 1пл х! е-", и аналогично заключаем, что интеграл +со 1 х 11плхе-лдх сходится равномерно по а на проМежутке 10, Ь) Совмещая эти выводы, получаем, что интеграл (7) сходится равномерно на любом отрезке [а, Ь! с: )О, +Со[. Но при этих условиях дифференцирование под знаком интеграла (1) законно.
Значит, на любом таком отрезке [а, Ь), а следовательно и на всем промежутке Ос<и,'функция Г бесконечно дифференцируема и справедлива формула (8). с. Формула понижения. Имеет место соотношение Г (со+ 1) = иГ (сс), (9) называемое формулой понижения для гамма-функции. 4 Ивтегрируя по частям, находим, что при а)0 4- со +ос Г(а+1) ~ Ха~ лйХ Ха~ л(1- ! СС ~ Ха-1Е-лйХ о о =а ~ х"-1е-лс(х=:аГ(а). В о Поскольку Г(1)= ~ е с(х=1, заключаем, что при лен)4 О Г(л+ 1) = л! (10) .Таким образом, функция Г оказалась тесно связанной с теоретико-числовой арифметической функцией л) . б. Формула Эйлера — Гаусса.
Так обычно называют следую:щее равенство: ., (и — 1)1 Г(а) = Ит ла (1 1) 4 Для его доназательства сделаем в интеграле (2) замену переменной х = 1п — „и получим новое интегральное представле- 1 ние функции Г: 1 Г11-) ~ (-') «,. (12) В примере 3 й 3 гл.' ХЧ! было показано, что последователь.
ность функций („(и)=п(1 — имл), монотонно возрастая, сходится /11 на промежутке,О<и<1 к функции 1п[ — 1 при л — «со. Исполь- '1 а) зуя следствие 2 из З 2 (см. также пример 10 из 5 2), заключаем, что при и ~ 1 1 1 о [-.)— 1на-'[ — „(диол ИГП Л -' ~(1 — и"л) 1С(и. 111 л со О Сделав в последнем интеграле замену переменной и=о", из '(12), (13), (1), (3) и (5), получаем 1 .'Гс(и)лл 1пп л ~о '(1 — о) 'до='!Нп л В(л, а)= л л со Игп лаВ(а, л)= Игп л '. (л — 1)1 :.Применяя к уже доказанному для а)1 соотношению Г(а) = Игп л"В (и, л) формулы понижения (4) и (9), убеждаемся л со 'в справедливости формулы (11) при всех и) О.
' е. Формула дополнения. При 0<и<! значения и н 1 — а :аргумента функции Г называют взаимно дополнительными,'поэ"хому равенство Г (и): Г (1 — и) = —. (О-<и < 1) (14) (называют формулой дополнения для гамма-функции. Го. ХЧ11. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. $3.
ЭИЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 4 Используя формулу Эйлера — Гаусса (11), после простых тождественных преобразований находим, что Г (а) Г (1 — а) = = Вгп (и" а(а+1) ... (а+о-1) (! — а) (2 — сс) ... (л — а)) =1пп п ( 1 1 ( %-- ( И'-7Н'-1) ('-.=') -» 1 1 а 1 1пт "'-('-~)('-~) - (' —.-") ) Итак, при 0 -а -1 (16) Заметим, что +со +СО (11 (' ( х-1гое-О г(х 2 е-и' г(и (, 2),) о и, таким образом„мы вновь получаем значение интеграла Эйле- ра — Пуассона: Š— О' Г(и = — )с' П. 2 о 3.
Связь между функциями В и Г. Сопоставляя формулы (6) и (10), можно заподозрить следующую взаимосвязь: В(а, р)= ( 1' (~) (18) г (а+у) между функциями В и Г. Докажем эту формулу, Г(а)Г(1- )= -„П вЂ” „,. оо Но имеет место классическое разложение з!и пи= паД (1 — —,). (16) О=! (Сейчас мы не останавливаемся на его доказательстве, поскольку позже, при рассмотрении рядов Фурье, оно будет получено в качестве простого примера использования общей теории; см. гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
