В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 92
Текст из файла (страница 92)
что ,Р'(у)лл — —,, при у«0, откуда следует, что Р(у)лл — агс(йу+с при у)0. (12) 'При у-«+Со, как видно из соотношения (9), Р(у)-«0, поэтому из (12) следует, что с и/2. Теперь из (10) и (12) получается, что Р(0)=п/2. Итак, 2' (13) Заметим, что использованное при выводе равенства (13) соот- :,ношение «Р(д)-«О при д-«+со» не является прямым следствием утверждения 4, поскольку .— „е У:ФО при у-«+со лишь иа рромежутках вида (х~й~х)хо)0), а на промежутках вида 0(х (хо равномерной сходимости нет: ведь — е-"У-«1 п и при х-«О. Но при хо)0 к, +00 Г „„„„+ ~~ .„~х о!па „Г и!пх Г и!пк к Ка 14» 420 Га. ХЧП. ИНТЕГРАЛЫ.
ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА и, если задано е)0, то сначала выберем х, столь близко к нулю, что з(пх)0 при х ее [О, х„] и «в «в Г япк Г Мпк о 0< ~ е-«ьйх~~ — дх(— к к 2 о о при 'любом у) О, а затем, фиксироаав х„, на основании утверждения 4, устремляя у к +Со, сделаем интеграл по промежутку [х„+со[ тоже по модулю меньшим чем е12. 4.
Интегрирование несобственного интеграла по параметру. Утверждение 7. Если: а) функция 1(х, у) непрерывна на множестве [(х, у) ее Д(а(х(ы Л с~у(й] и Ь) интеграл Р(у) = ~ 7(х, у) дх сходится равномерно на проме- жутке [с, й], то функция Р интегрируема на [с, Г(] и справедливо равенство л о о . л ~ йу ~ !' (х, у) йх = ~ йх ~ 1 (х, у) йу. (14) с а а е 4 При Ь он[а, оь[ на основе условия а) и утверждения 3 из 4 1 для собственных интегралов можно записать, что л ь ь л ~ йу ~ 1 (х, у) дх = ~ йх ~ 1 (х, у) йу.
(15) с а а е Используя условие Ь) и теорему 3 2 3 гл. ХЧ1 о предельном переходе-под. знаком интеграла, в левой части равенства (15) де- лаем предельный переход при Ь- Го, 5 ее[а, в[и получаемлевую часть равенства (14). Правая часть равенства (14) по самому опре- делению несобственного интеграла является пределом при Ь вЂ” «со, Ь й [а, Го[ правой части равенства (15). Таким образом, благодаря условию Ь) из (15) при Ь вЂ” со, Ь ~[а, Го[ получаем равенство (14). Ь Следующий пример показывает, что, в отличие от случая пе- рестановки двух собственных интегралов одного условия а), вообще говоря, недостаточно для справедливости равенства (14).
Пример 14. Рассмотрим функцию 1(х, у)=(2 — ху) хув-аа на множестве [(х, у) яР~О(х<+со Д О~уа-1]. Используя пер- вообразную и'е-а функции (2 — и) ие-", легко подсчитать непосред- ственно, что 1 +са +са 1 О = ~йу ~ (2 — ху)хуе«ьдхчь ~ дх)(2 — ху)хуе- аду=1, о о о о $ Е НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 421 / С л е д с т а и е 3. Если: а) функция /(х, у) непрерывна на множестве Р=их, у)ен ~ Р,'а «= х(о«/'1 с~у ~ й], Ь) неотрицательна на Р и с) интеграл Р(у) ~ 7(х, у)Ф как функция у непрерывен на а " промежутке [с, а], то имеет место равенство (14). 4 Из условия а) следует, что при любом Ь ея[а, о«[ интеграл ь Рь (у) = 1 1(х.
у) дх а является непрерывной по у функцией на отрезке [с, й]. Из условия Ь) вытекает, что Рь,(у)'~рь,(у) при Ь1(ЬА. На основании теоремы Лини и условия с) теперь заключаем, что Рь=ФР на [с, сс] при Ь-«со, 5 он[а, ы[. Таким образом, выполнены условия утверждения 7 и, следовательно, в рассматриваемом случае равенство (14) действительно "имеет место. 'Ь. Следствие 3 показывает, что пример 14 связан с тем, что в нем функция )(х, у) не является знакопостоянной. В заключение докажем теперь одно достаточное условие пере. становочности двух несобственных интегралов.
Утверждение 8, Если: а) функция )(х, у) непрерывна на множестве [(х, у) я!сь!а( ,' ~х(осу~с у(ьо), Ь) оба интеграла Р (у) = ~ 1(х, у) дх, Ф (х) = ) 1(х, у)ь(у '. ( а е сходятся равномерно, первый — относительно у, на любом о езке тр , й] ~ "с, Го[, а второй — относительно х на любом отрезке ,:; а, Ь]~~а, о«[, с) сущеапвует хотя бы один из двух повторных интегралов Й о о о ) йу ~)7!(х, у)ах, ) ах~ )7!(х, у)йу, е а а с то имеет место равенство '~ йу ~ [(х, у) дх= ~ дх ~ ~(х, у) йу. (16) с а а с 4 Пусть для определенности существует второй из двух ука- Ванных в с) повторных интегралов. 422 ' г .
хоп. интегаллы, злеисящне от плалметах О 2. НЕСОБСТЕЕВНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Ввиду условия а) и первого из. условий Ь) на основании утверждения 7 можно сказать;, что при любом бы[с, й[ для функции 7 справедливо равенство (14). Если мы покажем, что при о[-ай, а'ее[с, й[ правая часть равенства (14) стремится к правой части соотношения (16), то равенство (16) будет доказано, поскольку тогда его левая часть тоже будет существовать и являться пределом левой части равенства (14) по самому определению. несобственного интеграла. Положим б Фе(х):=~7(х, у) йу. с При любом фиксированном 4[ее[с, й[ функция Фл определена и ввиду непрерывности 7 непрерывна на промежутке а<х<4а.
В силу второго из условия Ь) на любом отрезке [а, Ь)~ с- [а, 4а[ Фа (х) ~ Ф (х) при с[-а й, й ы [с, й[. Поскольку 1Фа(х)[а=~ [7[(х, у)йу=:6(х), а интеграл с ~ сх(х)ах, совпадающий со вторым из интегралов условия с), по а предположению сходится, на основе мажораитного признака равномерной сходимости заключаем, что унтеграл ) Фа(х)йх относи- а тельно параметра й сходится равномерно. Таким' образом, выполнены условия утверждения 4 и можно, заключить, что !нп ~ Ф„(х) дх=~ Ф(х)йх; а о а а.а[с, й[ а именно это нам и оставалось проверить. Следующий пример показывает, что появление в утверждении 8 дополнительного по сравнению с утверждением 7 условия с) не 'является случайным. Пример 15.
Вычисление при А)О интеграла Хс — уа х !+со А 1 — дх = — <— [ха [ уа)а ха 1 ус[л Аа.[ ф А показывает заодно, что при любом фиксированном значении А) )О он сходится равномерно относительно параметра на всем множестве Я действительных чисел. То же самое можно было бы сказать об интеграле, отличающемся от написанного заменой йх на с[у.
Значения этих интегралов, кстати, отличаются только „знаком. Прямое вычисление показывает, что +со +со +со +со 4' „1 1 [Х*[ус)а У~~ ау (а, йХоо —" (х +у)а Э П р и м е р 16. При а О и р) О повторный интеграл +со +со +со +со йу ~ хву"'Е+'е.и+"'ойхоо а) ууе-аду ~ (ху) е-[хо>уйх о 'о а о .:: от неотрицательной непрерывной функции, как показывает написанное тождество, существует: он равен нулю при у=О и равен +со ) уее-оау ~ и е-'йи при у)О. Таким образом, в этом случае -.. о о ,':: выполнены.
условия а) и с) утверждения 8. То, что для рассматриваемого интеграла выполнены оба условия Ь), было проверено ,,' в примере 3. Значит, в силу утверждения 8 имеет место равенство +со + со +со +со йу ~ х уа+Е+'е-Н+х[айх ~ с[х ~ хоуа+Е+'е-аох'ас1у. а о о а П об одобно тому как из утверждения 7 вытекало следствие 3, !: нз утверждения 8 можно вывести С л е д с т в и е 4. Если а) функция 7(х, у) непрерывна на множестве 7а=[(х, у) еР[аи х<4о71с =у<[а), Ь) неотрицателана на Р, с) оба интеграла. О> са Р(у)'=*[7(х, у)бх, Ф(х) ~ /(х, у)о[у а с "-являются непрерывными функциями на промежутках [а, 4а[, [с, й[ '[,соответственно и б) суи(ествует хотя бы один ив повторных интегралов Ю И И Э ~ Ну[7'(х, у)йх, ~ о[х[7(х, у)ду,- а а а "'мия совпадают.
[то существует и другой. повторный интеграл, при чем их вначе- 4 Рас ассуждая, как [4 при доказательстве следствия 3), из [хма : условий а), Ь), с) на основе теоремы Дини заключа :П атриваемом случае выполнено условие Ь) утвержде 8. ' рждения оскольку 7= О, наше условие б) совпадает с условием с) утверж- 'дения 8. Таким образом, все условия утверждения 8 выполнены -[м; значит, имеет место равенство (15). [ь Гл. ХЧП, ИНЭЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Замечание 3. Как указывалось в замечании 2, интеграл, имеющий особенности на обоих концах промежутка интегрирования, сводится к сумме двух интегралов, каждый из которых имеет по одной особенности. Зто позволяет применять доказанные здесь утверждения и их следствия также к интегралам по интервалам 1в„ юз( с: )с. При этом, естественно, те условия, которые раньше выполнялись иа отрезках (а, Ь)~ (а, в(, теперь должны быть выполнены на отрезках (а, Ь1~ 1ы„вз(.
° П р и м е р 17. Используя изменения порядка двух несобственных .интегрирований; покажем, что +СО , е-"*((х= — )с н. 2 (17) о Это известный инпмграл Эйлера — Пуассона. 4 Заметим сначала, что при у»О +СО +со р', ~ г лс ((и Ь, ~ и-(лу]с лх о о и что "значение интеграла в равенстве (17) не изменится от того, понимать ли интеграл взятым по полуинтервалу (О, +ОО1 или по интервалу )О, +со[. Таким образом, +сл +с» +СО +сл иг-У ди ~ г-(*У) ((х= ~ г-У ((д ~ г-" ((и=еуз, о о о о при этом считаем, что интегрирование по у ведется в пределах интервала 10, +со(.
Как мы проверим, в указанном повторном интеграле допустимо изменение порядка интегрирований по переменным к и и, поэтому +с» +сО +СО у - ~ С 1 С е ь >С СС- ' ( — '* = ', 2 ) 1+ха 4' о о откуда и следует равенство (17). Обоснуем теперь законность изменения порядка интегрирований. Функция уу (1+»с) Ус С(у»» 1 1 2 Т+ х) непрерывна при х)0, а функция +СО ~ Уг-(!+»с)У ((Х г-ус.от о % З. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Задачи и упражнения 1. пусть а=аз<а, с...~а»< ...
Сы. представим интеграл (1) в виде СО » суммы ряда ~)', ф»(у), где ср (у)= ) 7(х, у)с)х. Докажите, что интеграл (1) л ! л л — 1 сходится равномерно на множестве Е ~ У тогда и только тогда, когда любой последовательности (ал) указанного вида отвечает ряд ~ фл(у), сходящийся л 1 равномерно на множестве Е. , 2. а. В соответствии с замечанием ! проведите все построения п. ! в слу.
чае комплекснозначной подынтегральной функции й Ь, Проверьте высказанные и замечании 2 утверждения. 1 ! Г соя х) 3. Проверьте, что функция Уе(х)= — си удовлетворяет уравне. л~рс~ гв нию Бесселя у" + — у + у О. 1- х -)- СО лу л! — — — — покажите, что хе+уз 2 х ' 4 а Исходя из равенства с)у л (2» — 3)И 1 (хз+ уз)л 2 (2» — 2)И хзл ' ' + ОО Ь. ПРОВЕРЬта, Чта а У = — ( ) )СЛ. ! уз)» 2 (2» — 2)И ° уа )-л с. Покажите, что (!+ — ) ~„е " на (1 при л-с-+ос и что +СО +СО .1!ш —,„= ~ е " с(у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
