В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Используя полученные неравенства, теперь находим, что при любых т, и) А( й (д,„(х), у„(х)) ( йу(у„(х), д„фТ))+йу(д,„Я ), й„($!))+ +йг(д„(х), й„($,)) <.В+В,+г = Зг. Но х — произвольная точка компакта Ю, значит, по критерию Коши последовательность (д„, п ~(!ч/ действительно равномерно сходится на Л . э ь 2. Метрическое пространство С (К, )г). Одной из наиболее естественных метрик на множестве С(К, )') функций /: Ю-ь'т', непрерывных на компакте Ю и принимающих значения в метрическом пространстве )', является следующая метрика равномерной сходимости й(/, д)= гпах с!Т(/(х), д(х)), «ЕЬХ где /, д ее С (АГ, 1'), а максимум существует, так как Л' — компакт.
Происхождение названия метрики связано с тем, что, очевидно, й(/„, /)-«.ОСО/„~~/ Иа Ьи. Учитывая последнее соотношение, на основании теоремы 2 из 9 3 и критерия Коши равномерной сходимости можно заключить, что метрическое пространство С(Ж, )') с метрикой равномерной сходимости является полным. 395 Э 4 ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИП 994 г . Ху~ Ряды и семепствл Функции Напомним, что компактным подмножеством метрического пространства называется такое подмножество, из любой последовательности точек которого можно извлечь последовательность Коши (или, что то же самое, фундаментальную последовательность). Если исходное метрвческое пространство полное, то такая последовательность будет даже сходящейся.
Теорема Арцела — Асколи дает описание компактных подмножеств метрического пространства С(ой', 1'). Следующая важная теорема, которую мы собираемся доказать, даст описание достаточно разнообразных всюду плотных подмножеств пространства С (ЯГА 'г'). Естественный интерес, который ' представляют такие подмножества, связан с тем, что функциями, составляющими их, можно равномерно, т. е. со сколь угодно малой абсолютной погрешностью на .всем о»о, аппроксимировать любую функцию 1": Ю- )», непрерывную на Ю. П р и м е р 4.
Классический результат Вейерштрасса, к которому мы будем еще не раз возвращаться и который обоб~цает приведенная ниже теорема Стоуна, состоит в следующем. Теорема 2 (Вейерштрасс). Если 1ЕНС([а, Ь), С), то суи)ествует такая последовательность ',Р„, и ~)о) многочленов Р,: [а, Ь]- $, что .Ри-. 1 на [а, Ь).
При этом, если 1е—: е:— С ([а,Ь], Р), то и многочлены Р, можно волбрать из С ([а, Ь], Р). На геометрическом языке это означает, например, что много- члены с вещественными коэффициентами образуют всюду плотное подмножество в пространстве С([а, Ь], Р). Пример 5. Есчи теорема 2 требует все-таки нетривиального доказательства (оно дано ниже), то на основании равномерной непрерывности любой функции [~С([а, Ь), Р) легко заключить, что множество кусочно линейных непрерывных вещественнозначных на отрезке [а, Ь] функций является всюду плотным подмножеством в С([а, Ь], К). За меч а н йе. Отметим, что если Е, всюду плотно в Е,, а Е, всюду плотно в Е„то в смысле той же метрики Е,, очевидно, ' будет всюду плотным в Е,.
Это означает, например, что для доказательства теоремы 2 достаточно показать, что кусочно линейную функцию можно сколь угодно хорошо приблизить многочленом на соответствующем отрезке. 3. Теорема Стоуна. Прежде чем переходить к общей теореме Стоуна, приведем следующее, полезное для восприятия дальнейшего доказательство теоремы 2 (Вейерштрасса) в случае вещественнозначных функций. 4 Заметим сначала, что если 1, д ее С ([а, Ь), Е), а я И и функции 1, а допускают равномерную (сколь угодно точную) аппроксимацию многочленами, то ее допускают и непрерывные на [а, Ь) функции [+д, [.й, а1'.
На отрезке [ — 1, 1], как» было показано в примере 2, 9 3, ' функция ~ х ~ допускает равномерное приближение полиномами и Р„(х) = ~, а„х". Значит, соответствующая последовательность пои-о -'линомов М Р„(х/М) дает равномерную аппроксимацию функции 1х1 уже на отрезке 1х) (М. и Если 1 ер С ([а, Ь], Р) и М = шах ) 7 (х) /, то из ~ у ~ — ~ с„у" < е пРи ~У! =М следУет ![(х) ! — У, со[о(х) (е пРи а =х~Ь.
Знао=о чит, если [ допускает равномерную аппроксимацию многочленами на отрезке [а, Ь], то ~, 'с,[о и 111 тоже допускаюттакую аппроко=о симацию Наконец, если 1 и а допускают равномерную аппроксимацию многочленами на отрезке [а, Ь]„ то в силу сказанного ее допускают и функции гпах [[ а) — (([+й)+|) — д() ш(п[/ д) = 1 2 (([+й) 1 Пусть а($,<$о(Ь, 1(х)= — О, йод, (х)= — ', Ь(х)=1, . 61во, =шах [Ц, й), Рой,=пни(Ь, Фьо,). Линейные комбинации функций вида Р1,1,, очевидно, порождают все множество непрерывных кусочно линейных функций на отрезке [а, Ь], откуда в силу примера 6 и следует теорема Вейерштрасса.
Прежде чем формулировать теорему Стоуна определим несколько новых понятий. Определен не 3. Совокупность А вещественно (комплексно)- ,значиых функций на множестве Х называется вещественной (комплексной) алгеброй функций на Х, если из 1, аееА и авек(С) следует, что Д+д)яА; Д а)яА; (аДяА. П р имер 6. Пусть Х с: $. Многочлены Р(г) =с, +с,г+.;.
::... + с„г", п ~ Ь(, очевидно, образуют комплексную алгебру функций на Х. Если взять Х = [а, Ь] ~ 1к и многочлены брать только с действительными коэффициентами, то получим вещественную алгебру функций на отрезке [а, Ь]. Пример 7. Линейные комбинации с коэффициентами из Я "или С функпий е"", и=О, 1, 2, очевидно, тоже образуют алгебру тсоответственно вещественную или комплексную) на любом 'отрезке [а, Ь]~ Р. Гл. ХУ! РЯДЫ И СЕМЕЯСТВА ФУНКЦИИ $ Е ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИИ 397 То же можно сказать и о линейных комбинациях функций (е' ", пее У,). Определен ие 1.
Будем говорить, что некоторая совокупность 5 функций, определенных на множестве Х, разделяет точки множества Х, если для любой пары точек х„хаен Х найдется функция 1" ен 5 такая, что !'(х1)чь1'(хз). Пример 8. Совокупность (е", и ~ К) функций и даже каждая из них разделяет точки !к. Вместе с тем совокупность (е'"х, и ее л,) 2П-периодических функций разделяет точки отрезка, если его длина меньше 2п и, очевидно, не разделяет точки отрезка длины, большей или равной 2Н. Пример 9.
Вещественные многочлены в совокупности образуют множество функций, разделяющее точки любого отрезка [а, Ц, так как это делает уже один многочлен Р (х) = х. Сказанное можно повторить относительно множества Х с-Ж и совокупности комплексных полиномов на Х. В качестве одной разделяющей функции теперь можно взять Р(х)=г. Определен ие б. Будем говорить, что семейство У функций 1: Х;+.!В не исчезает на множестве Х, если для любой точки х, ~ Х найдется функция )нее У такая, что (а(ха) ФО. Пример 1О.
Семейство .У = (1, х, х', ...)' на отрезке [О, 11 не исчезает, а вот все функции семейства У а= (х, х', ...) обращаются в нуль при х=О. Л е м м а 2. Если алгебра А. вещественных (или комплексных) на множестве Х функций не исчезает на Х, то для любых различных точек хе, х1 ен Х и л!обых веи(ественных (или соответственно комплексных) чисел са, с1 в А найдется такал функция 1, что [(хе) =се [(х1) =с,. м Очевидно, лемму достаточно доказать, лишь когда с,=О, с,=1 и когда с,=1, с,=О. По условию в А найдется такая функция д, что у(ха) Фд(хг).
1 Если д(ха)=О, то Уже фУнкциЯ 1= . дбУдетУдовлетвоРЯть = Е(хг) первой паре условий: 1(ха)=0, 1(хг)=1. Если д(хе) 4: О, то да(х,) — д(хе)д(хз) ~О и тогда первой паре условий будет удовлетворять функция Г (х) = е " я (хе) Е (хе)Е (х! очевидно, принадлежащая алгебре А. Для того чтобы построить функцию из А, удовлетворяющую требованиям 1(ха) = 1, 1(х1) = О, придется использовать то обстоятельство, что А не вырождается на К.
Если разделяющая точки х,, х, функция й такова, что д (х,) ~ О, то в качестве 1 можно взять, ~~ ' ) при д(х1)ФО или 1 ва (хд — в (х,) в (хе) д, если д(х,)=0. Остается показать, что в А существует такая специальная разделяющая точки х,, х, функция 5, которая, наряду с условием з(х,) Ф э(х,), удовлетворяет требованию э(х,) ~ О, Пусть д, Ь ен А, д(хе) Фд(хз), д(ха)=0, Ь(х,) ФО. Очевидно, найдется такое число )ьее(с, что Х(Ь(хе) — Ь(х,))Фд(хг). Тогда функция з=д+М и будет искомой. Т е о р е м а 3 (Стоун а)).
Пусть А — алгебра определенных на компакте еп' непрерывных вещественнозначных функций. Если А разделяет точки компакта ай' и не исчезает на Ю, то А является всюду плотным подмножеством пространства С (ео", (с). М Пусть А — замыкание в С(ч", Р) множества А ~С(ЯГ, Р), т. е. А состоит из тех непрерывных функций (ее С(ео", Р), которые можно сколь угодно точно равномерно приближать функциями из А, Теорема утверждает, что А = С(Ю, (с). Повторяя проведенные при доказательстве теоремы Вейерштрасса рассуждения, замечаем, что если 1, у я А и а я Р, то функции 1+ у, 1 д, а), 1) ~, и!ах (1", д), ш(п (1, у) тоже принадлежат А.
По индукции можно проверить, что вообще, если 1„1„... ..., („ен А, то шах(11, 1„..., Ц и ппп(11, Г„..., Ц тоже лежат в А. Теперь покажем, что для любой функции [~ С(Ю, (;1), лобой точки х ~ Ю и любого числа В 0 найдется такая функция д, ~ А, что д„(х) =1(х) и у,(1)>Г(1) — е при любом 1ее Ю. Чтобы в этом убедиться, для каждой точки у~ л;" В4эзьмем в соответствии с леммой 2 функцию 'Ь„ен А такую, что Ь„(х) = =1(х) и Ь„(у) =1(у). В силу непрерывности на АГ функций 1 и Ь„найдется такая открытая окрестность Уу точки у, что Ь„(1))1(1) — В при любом 1ен 0„. Из покрытйя компакта Я откРытыми множествами (1я извлекаем конечное покРытие (У„,, У„,, ..., Она).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
