В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 83
Текст из файла (страница 83)
е. окончательный результат А ие зависит от того, выполнить ли сначала операции, отвечающие переходу по верхней и правой стороне диаграммы, или в том же смысле сначала пройти по левой, а затем по нижней ее стороне. Докажем сформулированную теорему. 4 Поскольку Рс~р на Х при базе Лг, по критерию Коши для любого в) 0 найдется такой элемент Вг базы Лг, что при любых 1„1, ~Вг и любом х ~ Х будет выполнено неравенство (Рс,(х) — Рс,(х) !<В. (4) Переходя в этом неравенстве и пределу по базе Ях, получим соотношение (Ас,— Ас,~ =е, (5) справедливое для любых !г, !лен Вг.
По критерию Коши существования предела функции отсюда следует, что функция А, имеет некоторый предел А по базе Лг. Проверим теперь, что А = = 1!гпР(х). ссх смиксировав !х енВг, найдем такой элемент Вх базы Ях, что при любом к ~ Вх имеет место неравенство срс,(х) — Ас,!<е, (б) Не меняя („ совершим в (4) и (5) предельный переход по базе Яг относительно параметра !г. Тогда получим, что ! Р (х) — Р„(х) ~ ~ е, (7) ~А — Ас.~~в (8) причем неравенство (7) справедливо при любом х~ Х. Сопоставляя соотношения (б) — (8), пользуясь неравенством треугольника, получаем, что ! Р (х) — А ! < ЗВ при любом хя Вх.
Тем самым проверено, что А=1цпР(х). мл 377 $ 3. СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ л=ь 'У, 'ел= 1пп ~Ч, слх", «=О «с Оп О (9) (! +х) ° 373 Гл. ХЧЕ РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ Заме чан не 1. Как видно из приведенного доказательства, теорема 1 остается в силе для функций Р;. Х-л'т' со значениями в любэм полном метрическом пространстве )'. Замечание 2. Если к условиям теоремы ! добавить требование существования предела 1пп А,=А, то, как видно из донанг зательства, равенство !!ТпР(х) =А можно получить, даже не предппх полагая полноту пространства )' значений функций Р;. Х«-У. 3. Непрерывность и предельный переход. Теорема 2. Пуста (/о /~ Т) — семейство функций /с'.
Х-л-!ь, зависятцих от параметра /; Я вЂ” база в Т. Если /,:ь/ на Х при базе З и функции /, непрерывны в точке хь ~ Х, то функция /: Х- Я тоже непрерывна в этой точке. В нашем случае диаграмма (3) приобретает следующий конкретный вид: Здесь все предельные переходы, кроме правого вертикального, заданы самими условиями теоремы 2. Нетривиальное нужное нам следствие теоремы 1 состоит именно в том, что !Цп /(х) =/(хь). В «х« Замечание 8. Мы не конкретизировали природу множества Х.
На самом деле это может быть любое топологическое пространство лишь бы в Х была определена база х- хь. Значения функций /, могут лежать в любом метрическом пространстве, которое, как следует из замечания 2, даже не обязано быть полным. Сл едет в и е 1. Если последовательность функций, непрерывных на множестве, сходится на нем равномерно, то предельная функция тоже непрерывна на этом множестве. Следствие 2. Если ряд из функций, непрерывных на некоторолс множестве, сходится на нем равномерно, то сумма ряда тоже непрерывна на этом множестве.
В качестве иллюстрации возможного использования полученных результатов рассмотрим П ример 1. Метод Абеля суммирования рядов. Сопоставляя следствие 2 со второй теоремой Абеля (утверждения 4 нз ~ 2), приходим к заключению, что справедливо У,твержденне' 1. Если степенной ряд Я сл(г — гь)л ехал=О дшпся в некопюрой точке ь, то он сходится равномерно на от- резке 1г„ь|, идуи!ем из г, в точку ь и сумма ряда непрерывна на этом отрезке. В частности, это означает, что-если числовой ряд г,' сл схо- дится, то степенной ряд ~, слхл сходится равномерно на отрезке п=ь О О=Х О= 1 ДЕйСтВИтЕЛЬНОй ОСИ Н ЕГО СУММа Э(Х) = ~ С«Х« НЕПРЕ«=О рывна на этом отрезке. Поскольку в(1)= ~ сл, можно, таким образом, сказать, что если ряд ~~ сл сходится, то справедливо «=О равенство Интересно, что в соотношении (9) правая часть порой может иметь смысл даже тогда, когда ряд, стоящий слева, в традиционном его понимании является расходящимся. Например, ряду 1 — 1+1 —...
соответствует ряд х — х'+хь —..., который прн !х!«с! сходится к функции 'х/(1+х). При х- 1 эта функция имеет предел 1/2. Метод суммирования ряда, называемый методом Абеля, состоит в приписывании левой части равенства (9) значения правой части этого равенства, если последнее значение определено. Мы видели, что если ряд Я вл в традиционном смысле сходится, то л=ь по методу Абеля ему будет сопоставлена его же классическая сумма.
Вместе с тем, например, расходящемуся в традиционном смысле ряду ~ ( — 1)л метод Абеля сопоставляет естественную и-О усредненную величину !/2. Дальнейшие вопросы в связи с разобранным примером 1 можно найти в задачах 5 — 8. Пример 2. В свое время, обсуждая формулу Тейлора, мы показали„чао при !х!<-1,имеет место разложение 878 879 $ Х СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ Г».
ХУ!. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ Можно проверить, что при а) 0 числовой ряд + сс ! и (а — 1) « сс(а — !) ...(а †» + 1) !1+ 2! ' ''' ' и! +"' сходится. Значит, по теореме Абеля, если а)0, ряд (10) сходится равномерно на отрезке 0<х = 1. Но функция (! +х)" непрерывна в точке х=1! поэтому можно утверждать, что если а О, то равенство (10) имеет место и при х=1. В частности, можно утверждать, что при се)0 Р)а 1 а «з+ а(а — 1) «е 1! 2! ( !)», ( )"'(~ +!)12» ! (11) »! и этот ряд сходится к функции (1 — (з)' равномерно на отрезке [ — 1, 1]. 1 Полагая в (11) а= — и В=1 — х' при !х! =1, получаем, что ~ х,! = 1 — —, (1 — х') + (1 — х')' —... (12) 2! и стоящий справа ряд многочленов сходится к функции ~!х~ равномерно на отрезке [ — 1, !].
Таким образом, какую бы точность е) 0 ни задать, найдется такой многочлен Р(х), что (13) гпах ~ ~ х ', — Р (х) ! < а. -!<»~1 Вернемся теперь к обшей теории. Мы показали, что непрерывность функций сохраняется при равномерном предельном переходе. Условие равномерности предельного перехода является, однако, только достаточным для того, чтобы пределом непрерывных функций была непрерывная же функ- 7!Ня (см. по этому поводу примеры 8, 9 из 9 1). Вместе с тем имеется конкретная ситуация, в которой из сходимости непрерывных функций к непрерывной же следует, что эта сходимость является равномерной. Утве р ж де н и е 2 (теорема Дини ')).
Если последовательность [)», и ~1)) функций )»! Ж-«-Я, непрерывных на компакте Ж, монотонна и сходится к непрерывной функции 7": е»«"-«-!к, то сходимость )„-н) является равнбмерной на»Ф'. 4 Пусть для определенности 7„стремятся к 7 не убывая. Фиксируем произвольное е)0 и для любой точки хаим найдем *1 У. Лйии (1845 †!918!†нтальниский математик; наиболее известные его работы отиоснтсн к теории функций. такой номер и„, что 0 =.)(х) — )„(х)<е.
Поскольку функции !' и у„непрерывны на м«, неравенства 0<)(ь! — )„'(ь)<н останутся в силе и в некоторой окрестаости (7(х) точки хенЛ'. Из покрытия компакта !ус такими окрестностями можно извлечь конечное покрытие (7(х,), ..., (7(ха) и затем фиксировать номер п(е)=гпах[я,, ..., п„~~. Тогда при любом п)п(В) в силу иеубывания последовательности (1„, и ~!'() будем иметь 0<)(й)— — )„ф е в любой точке $ ~Ю. Следствие 3.
Если члены ряда У, 'а„(х) суть нестрица»=! тельные непрерывные на компакте Ж функции а»с Ж-«.Я и ряд сходится на Ю к непрерывной функции, пи он сходится на м«" равномерно. » 4 Частичные суммы з„(х) = Я а, (х) данного ряда удовлетво! ряют условиям теоремы Дини. В. Пример 3. Покажем, что последовательность функций)„(х) = =п(1 — х)и' при и-«-+со сходится к функции )(х)=1п — равномерно на каждом отрезке [а, Ь], лежащем в промежутке 0< <х <1. 4 Положим я(1):= 1(1 — х11!).
Тогда д'(1) = 1 — х«Я + +х«я!пх«1'>0 при 0<х<1 и 0<1. В самом деле, если О< < х < 1 и 0 -1, то 0: и: = х«1' < 1, а !р (и): = 1 — и + и 1и и ~ 0 при 0<и<1, так как !р'(и)=!пи<0, если 0<и<1, в то время как «р(1)=0. Итак, при любом фиксированном значении х~]0, 1[ функция й(1) монотонно возрастает при 1-«-+со. Заметим теперь„что — !»» 1пп а(1) = — 1пп ° !пх= — 1пх. 1 ~+о« +" — !их 1 Т, Таким образом, /„(х) / 1п — на промежутке 0<х<1 при и! -«-+со.
По теореме Дини отсюда следует, что указанная сходи- 1 масть 1„(х) к 1и — является равномерной на каждом отрезке [а, Ь]~])), 1]. Отметим, что при этом на промежутке 0<к~1 равномерной ! сходимости, очевидно, нет, поскольку функция!и — неограничена на нем, в то время как каждая из функций 1„(х) ограничена иа атом промежутке (зависяшей от и константой). !Р зз! э х своиствл певдвльнон еэнкции зяо г . хч!. Ояды и сгмвпствл ээнкцин 4. Интегрирование н предельный переход.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
