В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Проверьте прямым вычислением, что полученнзя в примере 2 форма а действнтельно удовлетворяет урзвненню да=а. 2. в, Докзжнте, что любая однасвязнвя область в Пв стягнввемз по себе в точку. 2) Ж, де Рзм (1903 — !969) — бельгийский ывтематнк; основные рвботы относятся к злгебрзнческой тополагнн.
и') Напомним, что бнлпнейнвя форма 5(х, у) называется невырожденной, еслн пр» любам фнкснровзнном значении одной аз переменных получается нв равная нулю тождественно лннейнвя форма по другой переменной. Ь. Покажите, что в Из предыдущее утверждение, вообще говоря, не имеет мести. 3. Прознзлнзнруйте доказательство теоремы Пуанкаре н покзжнтс, что еслн глздкае отображение йп МХ7-ь М рассматривать кзк семейство зависящнх ат параметра! им 7 отобрзжепнйьд м- м, та для любой замкнутой нз м формы ю, все формы А!ион 12ы 7 будут лежать в одном клзссе когомологнй.
4. в. пусть 1 Агчыс!'1(м, н) — гладко зависящее от пзрзметрз 12в чж 7 ~= Р семейство отображений мнагообрззня М в многообразие Н. Проверьте, что для любой формы ю 2в и(н) спрзведлнвз следующяя формула голотопни: д — (д,*ю) (х) = ддгч (1хщ) (х)+ли (1 дю) (х). Здесь хщМ; Х вЂ” векторное поле нз Н, причем Х(х, ОщТЖА, н Х(х, 1) есть вектор скорастн для путя Р ь Ар (х) прн Р=1; оператор 1„внутреннего пронзведення формы н векторнога поля определен в задаче 7 предыдущего пврзгрзфз. Ь. Йз формулы (1!) получите утвержденне, выскзззнное в зздзче 3. с. Опираясь нз формулу (11), докзжнте вновь теорему 1 Пузнкзре. д.
Поквжнте, чта если Х вЂ” стягнвземое в точку многообрззне, то для любого многообрззня М н прн любом целом знзченнн р имеет 21есто равенство НР (Д' Х М) = НР (М). е. Получите нз форл1улы (11! соотношение (20) предыдущего параграфа. 5. з. Используя теорему 4, з также непосредственно покзжнте, что еслн ззмкнутзя 2-формз нз сфере 52 такова, что [<о=О, то форма Ф вЂ точн. Ь. Покажите, что группа и'(5') нзоморфнз И.
с. Покажите, что Нт (52) =О. В. з. Пусть ф: 52-ь 52 — отабрзженне, которое каждой точке х чы 52 ставит ' в соответствие диаметрально пратнвоположную ей точку — х 2м 52 (знтнпод). Покажите, что между формами нз проектнвиой плоскости 51Р2 н формами вз арере 5', ннвзрнзнтнымн относительно отобрзженнй ф (т. е. фью=а), имеется взаимно однознзчное соответствие. Ь. Представим РР2 кзк фактор-многообразие 521Г, где à †груп преобрззовзняй сферы 52, состоящая нз тождественного отображения н знтнпопзльного отображения ф. Пусть я: 52 -~- ИР2= 521à — естественнзя праекцня, т. е. п(х)=(х, — х). Покажите, р что п ° ф=п, и проверьте, что УЧ 2ы Ир(5') (1р'Ч=Ч) Е=ОЗФ ен Ир(ггрз) (п*ю=Ч). с.
Используя задачу 5з, покажите теперь, чта Нз(РР2) =О. и д. Докажите, что если функция )чвС(5', И) тз- с' кави, что 1(х) — 1( — х) Расопз1, то ГАЛО. Учитывая задачу 5с, выведите отсюда, что нт(РР2) О. 7.з. Представив ИР2 в виде стзндзртного пряма. угольннкв П с отождествлением пратнвопаложных сто. р с ч рон, укззвнным нз рнс. 98 орнентнруюшнмн стороны стрелками, понзжнте, что дП=2с' — 2с; аг=Р— ГД Рнс.
98. дс'= Р— И Ь. Выведите нз сделанного в предыдущем зздзннн наблюдения, что нз ИР2 нет нетрнвнзльных двулгерных анклав н, нспользуя теорел1у де Рама, пока. жите, что Нз(ИР2)=0. с. Пакзжнте, что едннственным (с точностью до множителя) нетрнвнзльным ! одномерным циклом нз (аз является цикл с' — с н, поскольку г' — с=. дП, 2 выведнте нз теоремы де Рама, что Н' (ИР2)=0.
12 В. А. Зорич, ч. П З54 г . хж интвгрировлнив днееврвнцидльных оонм В. Найдите группы Н»(М), Нг (М), Нз(М), если; а) М= ба — окружность; Ь) М=Тз — двумерный тор; с) М=К» — бутылка Клейна. 9. а. Докюките, что диффеоморфные многообразия имеют 'изоморфные группы (ко)гомологий соответствующей размерности. Ь. Гза примере Пз н й1»з покажите, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
10, Пусть Х и У вЂ линейн пространства над полем П, а ь(х, у) †невы- рожденная билинейная форма б: Хх У -» 11. Рассмотрим отображение Х »'г'». осуществляемое соответствием Х н» х»-» ь (х, ° ) ан У». а. Докажите, что построенное отображение иньективно. Ь. Покажите, что для любой системы уы ..., дь линейно независимых вектороа пространства У в Х найдутся такие векторы хд ..., х", что х'(ру):= б(х', у)=б' где б'=о при гчь1 и б,.=1 при г=1. с. Проверьте, что построенное отображение Х-» У» является изоморфизмом линейных пространств Х и 1".
б. Покажите, что первая н вторая теоремы де Рама означают в совокупности, что с точностью до изоморфизма НЯ(М) Н" (М). Р ГЛАВА ХУ1 РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ И ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ АНАЛИЗА НАД РЯДАМИ И СЕМЕЙСТВАМИ ФУНКЦИЙ 5 1. Поточечная и равномерная сходимость !. Поточечная сходимость. Определен не 1. Говорят, что последовательность (1„, гге-:Р4) функций 1„: Х-» К сходится в точке х АХ, если сходится последовательность (1„(х), п ен(»)) значений этих функций в точке х. Определение 2.
Множество Ес-Х точек, в которых последовательность (1„, п ен)»)) функций 1„: Х-ь)с сходится, называется множеством схсдимости последовательности функций. Определение 3. На множестве Е сходимости последовательности функций (1„, и ~(ч)) естественно возникает функция )': Е-ь Р, задаваемая соотношением 1(х):= 1(ш 1„(х). Эта функция 6 Ю называется предельной функцией последов тельности (1, пе=М) или пределом последовательности функций ()„', п ~)»1).
Определение 4. Если 1: Š— ь)с — предельная функция последовательности (1„, и ен Щ, то говорят, что эта последовательность функций сходится (или сходится поточечно) к функции 1 на множестве Е, В этом случае пишут 1(х)= 1пп 1„(х) на Е, или 1„-~-1 на Е » со при и — ьоо.
Пример 1. Пусть Х (х~К~х)0), а функции 1„: Х вЂ” ь)с заданы соотношением 1„(х) = х", и ~ М. Множеством сходимости этой последовательности функций, очевидно, является отрезок 1=10, 1), а предельной является функция 1: 1- )», задаваемая условиями О, если 0(х~1, 1(х) = 1, если х= 1. Пример 2, Рассматриваемая на )ч последовательность функз1п п»х ция 1„(х)= — сходится на (ч к функции 1: )ч-~-О, тождественно равной нулю. 1о ° Га.
ХЧ!. РЯДЫ И СЕМЕЙСЧВА ФУНКЦИЙ » !. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ П р н м е р 3. Последовательность („(х) = — „, тоже имеет своим 2!П ЛХ пределом функцию (! («-~-О, тождественно равную нулю. Пример 4. Рассмотрим на отрезке !'=[О, 1] последовательность функций („(х) = 2 (и+ 1) х (1 — х')". Поскольку ийь-»-0 при !д ! ( 1, эта последовательность на всем отрезке 1 стремится к нулю.
Пример 5. Пусты, и ее(4, и пусть( (х):= 1нп (созт!Йх)'". а аа Если т! х — целое, то (м(х)=1, если же т! х йй У„то, очевидно, (х) О. Рассмотрим теперь последовательность [(, !и ее!2([ и покажем, что на всей числовой оси она сходится к функции Дирихле ( О. если х ~ ((,[, аа(х)=! ( 1, если х ~ (((. Действительно, если хай;), то т!хяЕ и ( (х)=0 прн любом значении тее!ч, значит,'((х) О. Если же х= Р Щ где ряЕ, дон!2(, то уже при т)д будет т(хеех, й ( (х) 1, что влечет ((х) =1, Итак. И!п ( (х) !У'(х). 2. Постановка основных вопросов, Предельный переход встре- чается в анализе на каждом шагу и часто бывает важно знать, какими функциональными свойствами обладает предельная функ- ция.
Главные из таких свойств для анализа — непрерывность, диф- ференцируемость, интегрируемость. Значит, важно выяснить, бу- дет ли предельная функция непрерывной, дифференцируемой или. интегрируемой, если соответствующим свойством обладали допре- дельные функции. При этом особенно важно найти достаточно удобные в работе условия, при выполнении которых из сходи- мости функций следует сходимость производных или интегралов от этих функций 'к производной или интегралу от предельной функции. Как показывают разобранные выше простейшие примеры, без каких-либо дополнительных условий соотношение «(„ -»-( на [а, 6] при и - Оо», вообще говоря, не влечет ни непрерывности предель- ной функции, даже при непрерывности функций !„, ни соотношеь ь ннй („'-».(' или )(„(х)2(х-ь)((х)дх, даже, если все указанные а а производные и интегралы определены.
Действительно, в примере 1 предельная функция разрывна на отрезке [О, !], котя допредельные функции непрерывны на нем; ь ! !) 2 ! з! Ха+в! х ".+(Я2л+ !)! х +" (!) но после приведенных примеров мы понимаем, что соотношения 21П Х вЂ” ~Ь ~ Х"" !), (2) т=о Х ~е ! ( !)~Л о!Пхь(х= У ,С,~ 3 (ат+ !)! Х»Ф«1 (Х а а=«а (3! вообще говоря, нуждаются в проверке. В самом деле, если равенство О(х) =а,(х)+а,(х)+...+а (х)+,. в примере 2 производные и соз и'х допредельных функций вообще не сходятся, а значит, не сходятся и к производной от предельной функции, которая в данном случае тождественно равна нулю; 1 в примере 4 ~(„(х)дх=! при любом значении и ы!2), в то о ! время как )((х) 2(х=О; о в примере 5 каждая из функций („ равна нулю всюду, кроме ь конечного числа точек, поэтому ~( (х)2(х=О иа любом отрезке' а [а, (2] с: Р, в то время как предельная функция 2е вообще не интегрируема ни на каком отрезке числовой оси.
Вместе с тем: в примерах 2, 3, 4 непрерывны как допредельные, так и предельные функции; ОО» ЛХ в примере 3 предел производных — функций последователь. Л ности, совпадает с производной от предельной функции этой Л последовательности; 1 в примере 1 )(„(х)2(х- )((х)2(х при и- ОО. о о Наша основная цель — выяснить, в каких же случаях предельные переходы под знаком интеграла или под знаком дифференцирования законны.
Рассмотрим в этой связи еще П р и м е р 6. Мы знаем, «то при любом х ее (к ь 1. поточвчнля и эхвномвгнхя сходимость гл хть аяды и свмвнствь ьтнкции 339 понимать в том смысле, что 5 (х) = !пп 5„(х), где 5„(х) = л = ~ а (х), то соотношения щ=! 5'(х) = Я а' (х), т=! ь а\ ь ) 5(х)йх =,У, $а„(х)йх т=!а в силу линейности операций дифференцирования и интегрирова- ния равносильны равенствам 5' (х) = 1пп 5' (х), л аа ь ь ~ 5 (х) йх * Иш ~ 5„(х) йх, а са а к которым мы теперь должны относиться с осторожностью. В данном случае оба соотношения (2), (3) легко проверяются, поскольку известно, что при любом хан)с сов х= 1- — х'+...+ — х""+...
( !)т 22Г ' " (2т)! Однако представьте 'себе, что равенство (1) является определением функции з!пх. Ведь именно так обстояло дело с определением функций з!пг, созе, е* для комплексных значений аргумента. Тогда нам нужно было бы свойства возникшей новой функции (ее непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость), как и законность равенств (2), (3), извлекать непосредственно из того, что эта функция является пределом последовательности частичных сумм написанного ряда. Главным понятием, и помощью которого в $ 3 будут получены достаточные условия законности указанных предельных переходов, является понятие равномерной сходимости. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
