В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Если элементы матрицы Якоби |ьа отображения |ь|, записать. дхЛ в явном виде — ', то получаем, таким образом, следующую явную дх формулу связи двух координатных представлений одного и того же вектора $: дхл| й=1, 2,;... п, (4) , дх| $3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА зз| структура не зависит от выбора индивидуальной карты, т. е. в этом смысле определение 2 корректно.
Итак, мы определили касательное пространство к многообразию. Интерпретации касательного вектора и касательного пространства могут быть различными (см, задачу 1). Например, папой нз таких интерпретации является отождествление касательного вектора с линейным функционалом. Это отождествление основано на следующем наблюдении, которое, мы сделаем в (х" Каждый вектор 5~ТЕ,", есть вектор скорости, отвечающий некоторому 'гладкому пути х=х((), т. е. 5 =х(() ~,,„причем х,=х((ь). Это позволяет определить производную 0л)(х,) в точ- ке х, по вектору $ ен ТЕ„", от гладкой функции ), заданной в (,л (или в окрестности точки х,). А именно: 017(хь):= дг (1'х) (г) 1, „~ 0ь)(х,) = Г (хь) я, '(6) т.
е. (6) где ~'(х,) — касательное к 1 отображение (дифференциал )) в точ- ке хо. Функционал 0е. Со|((к", (х)-+ й, сопоставляемый формулами (5), (6) вектору $ ее Т|к",„очевидно, линеен по ). Из формулы (6) видно также, что величина 0Ь~(х,) при фиксированной функции 1 линейно зависит от $, т. е, сумме векторов отвечает сумма соответствующих линейных функционалов, а умножение вектора $ на число отвечает умножение функционала О. на это же число. Таким образом, между линейным пространством ТР„", и линейным пространством соответствующих линейных функционалов 0ь имеется изоморфизм.
Остается определить линейный функционал 0Ы указав набор его характеристических свойств, чтобы получить где частные производные вычисляются в соответствующей р точке х| = |РТ (р). Обозначим через ТМ„совокупность векторов, касательных к многообразию М в точке реп М. Определение 2. Если линейн)чо структуру на множестве ТМ, ввести, Отождествляя ТМ„с соответствующим пространством ТК, (ТО"„,|, т. е. суммой векторов из ТМР считать вектор, координатное представление которого в ТР, "( Т11, ") отвечает сумме координатных представлений слагаемых, и аналогично определить умножение вектора на число, то получаемое при этом линейное пространство обозначается обычно одним из символов ТМ, Т (М) и называется касательным иространсгавом к мноеообразию М в точке р ен М.
Из формул (3), (4) видно, что введенная в ТМ линейная 333 Гл. ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ % К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬИЪ|Е ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 333 новую, но, конечно, изоморфную прежней, интерпретацию касательного пространства Т(!х",. Заметим, что, кроме указанной выше линейности, функционал Вь обладает следующим свойством: ОЕАР К)(хл)=,~Ч(хл) К(хл)+!(хл) Г!<К(хл) (7) Это закон дифференцирования произведения. В дифференциальной'алгебре аддитивное отображение а а' кольца А, удовлетворяющее.
соотношению (а Ь)'=а' Ь+и.Ь', называют дифференцированием (точнее, дифференцирование кольца А). Таким образом, функционал Оь,' С<') (К", !))У.й является ) дифференцированиел< кольца Ссп(Р", Й). Но 1ц е;це и линеен относительно линейной структуры пространства С<') ((к, Р)). Можно проверить, что всякий линейный функционал Н С< ) ()к", )к) -)-(к, обладающий свойствами 1(аГ'+РК)=а(ф+р! ГК), а, $) я "м, (8) 1(! 'К) = ! (Г) К(хл)+1(хл) 1(К) (9) имеет вид !7м где $ ее ТК~„"; Таким образом, касательное прост- ранство ТК к (к". в точке хл можно трактовать как линейное пространство функционалов (дифференцирований) на С' )()к', Р), удовлетворяющих условиям (8), (9); Базисным векторам е„:... ел пространства ТК, отвечают д фУнкционалы О, Г (хь) = — ! (х) ~ вычислениЯ соответствУюЩей дхл Ь х, частной производной от функции ! в точке х,.' Таким образом, при функциональной интерпретации пространства Т))Г:, можно скаГд д)< л зать, что функционалы < —,, ..., — „)~ образуют базис ТК„.
Если $=($', ..., 5л) ее ТК„ТО соответствующий' вектору $ д оператор Рь имеет вид Ое=Р—. дх' Совершенно аналогично касательный вектор $ к и-мерному многообразию М класса С' ' в точке раж М можно интерпрети- ровать (или определить) как элемент пространства дифференци- рований 1 на С< ) (М, (к), обладающих свойствами (8), (9), при этом в соотношении (9) х„естественно, заменяется на р, и тем самым функционал 1 связывается именно с точкой р, ее М.
Такое определение касательного вектора $ и касательного пространства ТМ„ формально не требует привлечения локальных координат и в этом смысле, очевидно, инвариантно. В координатах (х,', ... д ..., х<) локальной карты ((Гь <р;) оператор 1 имеет вид Ц вЂ”, +... < .,+(й — = 0ь.
Набор чисел (к<э ..., $<) естественно называется д," координатами касательного вектора 1Е=ТМ„в координатах карты ((Г), ф,). Координатные представления одного и того же функционала 1ен ТМ, в картах ((Г<, Ч)<), ((Гм Ч))) в силу законов дифференцирования связаны соотношениями л д лг< дх< д з< — = ~ — е! —, й= ), 2, ..., п, (4') дх<) дка . дх™ ~ тл ) ) которые, естественно, повторяют соотношения (4). 2. Дифференциальная форма на многообразии. Рассмотрим теперь пространство ТлМР, сопряженное к касательному пространству ТМ;, то есть Т*МР есть пространство линейных вещественнозначных функционалов на 7'М .
Определение 3. Пространство Т*М„сопряженное пространству ТМ„, касательному к многообразию М в точке р ее М, называется кокосательным пространством к многообразию М е точке р. Если многообразие М вЂ” класса С' ), ! ЕНС< )(М, <!), а 1)— отвечающее вектору $ ен ТМ дифференцирование, то нри фиксированной функции ~~С< )(М, Р<) отображение$ 1)1, очевидно, будет элементом пространства Т"М . В случае М = Р" получается $ О~(р)=!'(р)$, поэтому построенное отображение $ Ц, естественно, называется дифференциалом функции ! в точке р и обозначается обычным символом Г(! (р).
Если ТР"- <, Гиля ТН"-,, при ре=дМ) — пространство, отФа <Р) ( Фа <Р) вечающее в карте ((Г„, Гр„) многообразия М касательному про'странству ТМр, то пространство Т*<к — <,, сопряженное к Т<Гг"-..., Фа <Р)' Фа <Я' естественно считать изображением (представителем) пространства Т*МР в этой локальной карте. В координатах (х„', ..., х„") локальной карты (Уа, Ч)а) базису ( —, ..., — ) пространства ТР -< . (дх) дх" ) Ф <Р) а а (илн, ТН" ..., если р е:-дМ) отвечает взаимный с ним базис (дх', ..., дх") в сопряженном пространстве. (Напомним, что <(х<(ь)=К поэтому дх" (! —.) =бн Выражения' этих взаимных базисов в другой карте (!Га, ч)а) могут оказаться не столь прод дх< д дх< Оп р еде лен ив 4.
Говорят, что на гладком и мерном много. образин М задана дифференциальная форма ы степени т, если на каждом касательном к М пространстве ТМ„р АМ, определена кососимметрическая форма ы'л(р): (ТМ,) — )-У,. 334 $3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА ЗЗБ Гл. ХЧ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ дИФФЕРЕННИАЛЬНЫХ ФОРМ в котором х, хз — представители точки р ее М, а ($1)„, ..., (5 ), $1)З, ..., ($„)З вЂ” представители векторов $„..., $ Е=ТМ в картах (()а, 1Ра), ((Р'а, фл) соответственно.
В более формальной записи это означает, что Ха = 1РВа (ХЗ)~ ХЗ фаз (Ха) (2') ела = фаа (ха)»лр»ла = фаа (ха)»ла (3') где, как обычно, фаа и фал являются соответственно функциями 1р ' ° фд, фд' ° 1р преобразования координат, а касательные к ним Отображения фв, =, (фза)л, фаз =.' (фаз)„осуществляют нзоморфизм касательных к й" (Нл) пространств в соответствующих точках х; хз. Как было сказано в 3 1, п. 3, сопряженные,отобра- жЕНИЯ (фяа)* =: фда, (фав)* =: фаа ОСущЕСТВЛЯЮТ НРИ ЭТОМ ПЕРЕНОС форм, и соотношение (10) в точности означает, что ва (ха) = фаз (ха) вз (хз), (1О ) где с» и р — равноценные индексы (которые можно поменять ме:тами).
Матрица (с0 отображения ф„'з(х ) известна: (сг1)=( —;)(х ). ,д»1 ) Таким образом, если ва(ха) = ~ ', а,, 1 дх„" л... л дх„'" (11) 1<1,«...С <л вз(хз) = ~ Ьгг,а,г дхз1 л...л дх1ва, (12) !<Р «...1 ~л то в соответствии с формулой (30) из 3 1 получаем, что а1,, 1 дх„" л1..лдх„а= 1< 11 « - 1 < л д(х'„1, ... „Г ) 1<;Г «...1 <л (13) Практически это означает, всего-навсего, что в каждом пространстве Тй"-... (Или ТН" . На), отвечающем пространству ТМР в каРте ((Р'„, 1Ра) многообРазиЯ М, задана соответствУющаЯ т-фоР- ма ва(ха), где х,„'= ф,,' (р).
То, что две такие формы в„(х„), вд(ха) являются представителями одной. и той же формы в(р), выражается соотношением Ва (Ха) ((ь1)а ° ° ° (ьа)а) — ВЭ (ХЗ) ((»1)З ~ (ьа)з) (10) где —, как всегда, означает определитель матрицы из соответд( ) д( 1 ствующих частных производных. Итак, различные координатные выражения одной и той же формы в получаются друг из друга прямой заменой переменн1ях (с раскрытием соответствую|цих дифференциалов координат и последующими алгебраическими преобразованиями в соответствии с законами внешнего умножения).
Если условиться форму в, считать переносом заданной на МНОГОобраэнн фОрМЫ В В ОбЛаетЬ ПараМЕтрОВ КартЫ (Н„, фа), тО' ЕСтЕСтВЕННО ПИСатЬ, Чта В, = 1Р*В И СЧИтатЬ, Чта Ва = фа ° (фв')Л ВЗ = = ф„"звз, где композиция ф„" (фв')л в данном случае играет роль формальной детализации отображения ф"з = (фз ° ф )*. Определение 5. Дифференциальная т-форма в на л-мерном многообразии М лрикадлежит классу гладкости С(»', если коэффициенты а1,, (х ) ее координатного представления, Валл фага =,У1 а1 ...1 (Хл) дла Л ' '' '1ала 1<1,«, 1 <л в любой каРте (На, 1Ра) атласа, заДаюЩего.
на М глаДкУю стРУктуру, являются функциями соответству1ощего класса С'»1. Из формулы (13) видно, что определение 5 корректно, если само многообразие М имеет гладкость класса С1»">; например, когда М есть многообразие класса С' Для заданных на многообразии дифференциальных форм естественным образом (поточечно) определены операции сложения, умножения на число и внешнего умножения (в частности, умножения на функцию (: М вЂ” ~Я, которая по определению считается формой степени нуль). Первые две из этих операций превращают множество й„" т-форм класса С~»' на М в линейное пространство. В случае й= — ОО это линейное пространство обычно обозначают символом 1» .
Ясно', что внешнее произведение форм в ~»»»', в 'ее()»' дает форму в" +""=в'" лв"' еей»'+"*. 3. Внешний дифференциал. Оп ределен не б. Вксшким дифференциалом называется линейный оператор д: »1» -+»1»+1', обладающий следующими свойствами 1' д: 11»-л-»1» 1 на любой функции 1 ~1»» совпадает с обычным дифференциалом д( этой функции. 2' д: (в ' л в ') = дв"' л в"'*+ ( — 1) ' в"" л дв", где в"" ее О» '1 в"ь ЕЕ Й» *. 3' ГР:= д д=0. Последнее равенство означает, что для любой формы в форма д(дв) нулевая. ззз г», хч. интвггиговлниа диефвеанцилльных догм Наличие требования 3' подразумевает, такйм образом, что речь идет о формах гладкости не нйже чем класса Ссм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
