В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Пример 7. Сохраняя обозначения примера 6 и учитывая соотношения (22), (29), теперь получаем !*(е/' л:.. л е!д) = !де!с л ... л !де!д = =(сдес ) л..!л /с/де'д) =с! '.. с!де'Сл... л е'»= ! с. Проверьте, что иэ форм вида е ' Л ... Ле» можно образовать базис про. странства Ид=()д (Х) и найдите б!щ ()д, зная, что сиги Х=л. д=л б. Покажите, что если !) Д+ ()д. то'б!щ И=2" д э . 3, Влааняя (гроссмана»а ')) алгебра 6 над линейным пространством Х и 'полем Р (обозначаемая обычна свмволом Д (Х) в соответствии с символом Л оцерации умножения 3 6) определяется как ассоциативная алгебра с едини:цей 1, обладающая следующими свойствами: 4' С порождается единицей 1 и Х, т, е любая подалгебра в С, содержа.
, щвя 1 и Х, совпадает с 6; 2' л Л я=о для любого вектора к е Х; 3' б!щ 6=2щю х а. Покажите, что если е„..., е„— базис в Х, то совокупность 1, е„... ,-..., е„, е, Ле„..., е „Ле„, ..., »сЛ ... Ле„элементов 6 вида гс Л ...Л е!„=. : е!, где l =(! <... < сд) е (1, 2, ..., л), обРазУет базис в 6, Ь. Исходя нз полученного в а результата, можно провести следующее .',формальное построение алгебры 6= Д (Х). Для указанных в а подмножеств /=(!1, ..., сд) множества (1. 2, ..., л) образуем формальные элементы е (отождествляя е ! с е, а еф,с 1), которые ,примем за базис линейного пространства 6 над полем Р.
Умножение в 6 определим формулой ~~расе ) /~Ь е'1=~ а Ьз (/, /)е ( . )( ггхе в(!, /) зйп П (! — !). ПРовеРьте, что пРи этом полУчаетсн гРас- СЕ!, СЕ ! "вманова алгебра Д (Х). с. Докажите единственность (с точностью до изоморфизма) алгебры Д (Х). д=а д.
Покажите, что алгебра д (Х) градуирована д (Х)= ф дд (Х), где д=о '.Дд(х) — линейная оболочка элементов вида ес л ... л ес»1 при этом, если а е 'чи ДР(Х), а Ь е Де(Х), то а Л Ь си ДР+е(Х). Проверьте, что а Л Ь =. !С= ( !)Ре Ь Л а. ;.! 4. Пусть А; Х -д 1' — линейное отображение пространства Х в простран. '„'~тво у.
Покажите, что существует единственный гомомарфиэм д (А): д (Х)- г-в Д (у) из Д (Х) в Д (!'), совпадающий с А 'на подпространстве Д'(Х) ~= ' е Д (Х), отождествляемом с Х. Ь. Покажите„что гомоморфиэм Д (А) переводит Дд(Х) в Дд(у). Сужедйие д (А) на д»(Х) обозначают через дд (А). с Пусть (еь !=1, ..., т) — базис в Х, а [е!, /=1, ..., и) — базис в у, и пусть оператору А в этих базисах отвечает матрица (а/с). Покажите, что :,'если (ес, / с (1, ..., эс)), (гл /с (1, ..., и)) — соответствующие базисы пространств д (Х) и д (у), то матрица оператора дд(А) имеет вид а! = бе1 (ас), с е /, !'е /, где сагд / =сагб / д.
д. )(роверьте, что если А: Х -д У, В: У -д 3 †линейн операторы, то справедливо равенство Д (В А) Д (В) Д (А). ') Г. Грассман (!809 — 1877) — немецкий математик, физик и филолог; ему, ;в частности, принадлежит первое систематическое построение учения о многомерном линейном и евклидовом векторном пространствах, э также само апре.
.';деление скалярного произведения векторов З!2 Гл. хч. интвГРНРОБАнии диФФБРБнциАльных ФОРМ з)з « а.мноГооБРАзив $2. й(ногообразне 1. Определение многообразия. Оп р еде л е н и е 1. Хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой топологии *) называется и-мерным много. сбразием, если любая его точка имеет окрестность У, гомеоморфйую либо всему пространству К", либо полупространству Н" = = (х ~ Р ~ х' «--. О). Определение 2. Отображение Ф: (са — «У~М (или Ф: Н"-р-У ~ М), осуществляющее указанный в определении 1 гомеоморфизм, называется локальной картой многообразия М, Р (Н")— областью параметров, а У вЂ” районом или областью действия карты на многообразии М. Локальная карта наделяет каждую точку хе=У координатами соответствующей ей точки 1=рр-'(х) ~!са. Таким образом, в районе У действия карты вводится локальная система координат, и потому отображение гр или, в более развернутой' записи, пара (У, 'р) в самом привычном смысле слова является картой района У.
Оп ределен не 3. Набор карт, районы действия которых в совокупности покрывают все многообразие, называется атласом многообразия. П Ример 1. Сфера У=(х ев)са))х)=1) является двумерным многообразием. Если За интерпретировать как поверхность Земли, то атлас географических карт будет атласом многообразия За. Одномерная сфера Зг =(х ы Р) ~ х) =! ) — окружность Б Р, очевидно, является одномерным многообразием.
Вообще, сфера 5" = !х ен !са+Р)) х) = !) является пмерным многообразием. (См гл: ХП, 2 1.) 3 а м е ч а н и е 1. Вводимый определением 1 объект (многообразие М)„очевидно, не изменится, если вместо Р' и Н" брать- лю-, бые гомеоморфные (с и Н" области параметров в пространстве Р. Например, это могут быть открытый куб 1а=(х~(ся)0<хр<1, = 1, ..., п) и куб с присоединенной к 'нему гранью 1я = =«х~(са)0(х« --1 и 0<х'(1, 1=2, ..., п). Такими стан.— дартными областями параметров довольно часто пользуются. Нетрудно также проверить, что вводимый определением 1 объект не изменится, если потребовать лишь, чтобы каждая точка х ы М имела в М окрестность У, гомеоморфную некоторому открытому подмножеству полупространства Н".- Пр имер 2. Если Х вЂ” т-мерное многообразие с атласом карт ((У„, Ф„)), а )т — и-мерное многообразке с атласом ((р'З, ррэ)), то Х х )' можно рассматривать как (т+ и)-мерное многообразие с атласом (((р'„р, у «)), где В'ов=УахУз, а отображение )(„з —— ') См га !Х, 1 2, а также замечания 2, 3 настоящего параграфа.
'- (Ф,Фь) переводит Б, Чань прямое произведение областей определение рр, и ррэ. '' . В частности, двумерный тор Т'=Згхдг (рис. 69) или и-мерный юр т-р ..'.хр' ° °,,Юр ~' р на уазмер ности. Если районы Уь Уу действия двух карт (Уи Фг), (У;, гру) агногообразия М пересекаются, т. е. У; П У1 чь ф, то между мно" )кествами 1ц=рр,'(Уу), 1н=Ф (У,) естественно устанавливаются «)рзимно обратные гомеоморфизмы Фц.
'1п — и 1н, ррд —— 1н -н 1гр «Ъе Фи Ф~ .ФР)ги, Фи= Ф7' гРГ)гвг Эти гомеомоРфизмы часто назы. «йпот функциями замены координат, поскольку они осуществляют :переход от одной сиетемы локальных координат к другой такой же системе в общей- области У;() Уг их действия (рис. 96). Рис. 96. Определение 4. Число и в определении 1 называется раз. мерностью многообразия М и обычно обозначается символом й(ш М. О п р ед е л е н и е 5. Если при указанном в определении 1 гомеоморфизме гр: Н" — р-У точке х ~ У соответствуег точка Ф '(х) на границе дН".полупространства Н", то х называют точкой края многообразия М (и окрестности У).
Совокупность всех точек края многообразия М называется краем этого многообразия и обычно обозначаетея символом дМ.. В силу топологической инвариантности внутренних точек '(теорема Брауэра *)) понятия размерности и точки края многооб- -') Теорема утверждает, что прн гомеоморфном отображении рр: Е р-~ Ф(Е) множества Е с (с» на множестве Ф(Е) ~ рея внутренние точки'множества Е «рреобравукпся.во внутренние точки множества ф (Е).
з1з $2 МНОГООБРАЗИЕ 314 г . хч. интеггиговкние диффеиенцилльных фоим разия определены корректно, т. е. не зависят от используемых в определениях 4 и 5 индивидуальных локальных карт. Теорему Брауэра мы не щказывалн, но инвариантность внутренних точек относительно диффеоморфизмов нам хорошо известна (это следствие теоремы об обратной функции). Поскольку в дальнейшем нам придется иметь дело именно с диффеоморфизмами, мы не останав.
'ливаемся здесь на теореме Брауэра, Пример 3. ЗамкнутЪ~й шар В"=(х~Р'((х(а--1) или, как говорят, замкнутый и-мерный диск, является и-мерным многообразием, краем которого является (и — !)-Мерная сфера Я"-' = = (х енК" ( ~к ~ =1). Замечание 2. Многообразие М, множество точек края которого непусто, обычно называют многообразием с краем, оставляя термин многообразие (в собственном смысле слова) за многообра. виями без края.
В определении 1 эти случаи не разделены. У т ве р ж де н и е 1. Край дМ и-мерного многообразия с краем М является (и — 1)-мерным многообразием без края. 4 Действительно, дН' Я"-', а сужение на дН" карт вида чь: Н" Н; атласа многообразия М порождает атлас дМ. Пример 4. Рассмотрим плоский двойной маятник (рис. 97), плечо а которого много меньше плеча Ь и может вращаться свободно, а размах колебаний плеча Ь ограничен упорами. Конфигурация такой системы в любой кон. кретный 'момент характеризуется двумя углами а, ().
Если бы огра! ничений не было, то конфигурационное пространство двойного маятника, очевидно, можно было бы отождествить с двумерным тором 7' = 5' х 51. При наличии указанных ограРа ничений конфигурационное про. странство двойного маятника параметризуется точками цилиндра Рис. 97. ЯхЦ, где 5' — окружность, от- вечающая возможным положениям плеча а, а 1з=(() Е=Р! ~й(~Л) — отрезок, в пределах которого может меняться угол Р, характеризующий положение плеча Ь. В этом случае мы получаем многообразие с краем.
Край этого многообразия состоит из двух окружностей Яа1х( — Л)> Яа1х(Л), являющихся произведением окружности Е' и концов ( — Л), (О) отрезка 1'й. Замечание 3. На рассмотренном примере 4 видно, что порой координаты на множестве М (в примере это а, й) возникают естественным Образом и они сами вводят на М топологию. Значит, в определении 1 многообразия нег нужды всегда заранее треба. вать, чтобы на М уже была топология. Суть понятия многообразия ,в о, том, что точки некоторого множества М параметризуются А точками некоторого набора подобластей пространства Р . Между появляющимися при этом на частях М системами координат возникает естественная связь, которая выражается в отображениях соответствующих областей пространства Р.
Значит, можно считать, Гчто М получается из набора областей пространства Ра указанием э : анана отождествления их точек или, описательно говоря, путем 'указания закона их подклейки друг к другу. ИтаК, задать мно- "пюбразие по существу означает — задать набор подобластей К" и закон соответствия точек этих подобластей. На дальнейших уточнениях сказанного (формализации понятия склеивания или отождествления точек, введении топологии на М и т. п.) мы . не задерживаемся.
О п р е д е л е н и е б. Многообразие называется компактным '-(Связным), если оно является компактом (связно) как топологическое ' иространство. . Рассмотренные в примерах ! — 4 многообразия компактны и связны. Край появившегося в примере 4 цилиндра Я х Ц состоит : из двух независимых окружностей и является одномерным ком- .'пактным, но несвязным многообразием.
Край 5"-'=дВВа п-мерного диска из примера 3 является компактным многообразием, которое связно при и) 1 й несвязно (состоит из двух точек) при а=1. Пример 5. Само пространство Р", очевидно, является связ- :,' ным, некомпактным многообразием без края, а полупространство Н" ' доставляет простейший пример связного некомпактного многообра- - зия с краем. (И в том и в другом случае атлас можно взять состоящим из единственной карты, отвечающей тождественному '.отображению. ) Ут ве р жде н не 2. Если многообразие М связно, то' оно -линейно связно. 4 Фиксировав точку х, ~ М рассмотрим множество Е„тех г точек многообразия М, которые можно соединить с х, в преде- '.,лах М некоторым путем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
