В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Если задалное в односвязкой области 0 поле А удовлетворяет необходимому условию (3) или (3') потенциальности, то оно потенциально в О. 4 В силу утверждения 1 и замечания ! к нему нам достаточно проверить, что равенство (5) имеет место для любого гладкого пути у в области -О. Путь у по условию гомотопен постоянному пути, носитель которого состоит из одной точки. Интеграл по такому одноточечному пути, очевидно, равен нулю. Но в силу утверждения 3 при гомотопии интеграл не меняется, значит, и 'для пути у должно быть выполнено равенство (5)..
Ь 3 а м е ч а н и е 3. В случае векторных полей и отвечающих им 1-форм утверждение 4 может рассматриваться как обобщение утверждения 2. Однако, с точки зрения не1<оторого естественного расширения постановки вопроса, о чем будет сказано ниже, утверждение 2 желательно иметь в чистом виде независимо от утверждения 4. Замечание 4. Утверждение 2 было доказано без ссылки на возможность гладкой гомотопии гладких путей. 6. Векторный потенциал. Точные и замкнутые формы. Определение 6. Поле А называется еекторкым потенциалом поля В в области 0 с:!ко, если в этой области выполняется соотношение В= го1 А.
Если вспомнить связь между векторными полями и формами в евклидовом ориентированном пространстве Кз, а также определение ротора векторного поля, то соотношение В=го(А можно % 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ переписать В Виде <оо = й<ол. Отсюда следует, чтО <оды о = йоэ = -.=йл<ол=О. Таким образом, мы получаем следующее необходимое .
условие ' д(У В=О, (7) "к<тгорому в области А) должно удовлетворять поле В, чтобы оно :могло иметь векторный потенциал, т. е. чтобы оно могло быть "ротором некоторого векторного поля А в этой' области. ., Поле,' удовлетворяющее условию (7), часто, особенно в физике, называют соленоидальным полем.
Пример 5. В 3 1 мы выписали систему (12) уравнений -Максвелла. Второе из уравнений этой системы как раз совпадает , с равенством (7). Таким образом, естественно появляется жела- .ние считать магнитное поле В ротором некоторого векторного. '4<оля А — векторного потенциала поля В. Именно к такому век- 'яорному потенциалу и переходят при решении системы уравне- "ний Максвелла. Как видно из определений 1 и 6, вопросы о скалярном и -ввкториом потенциале векторных полей (последний вопрос при этом мы ставили только в (к«) являются частными случаями общего вопроса о том, когда дифференциальная р-форма <ол является :дифференциалом йоР-' некоторой формы <оР', Определение 7.
Дифференциальная форма ЫР называется :,точной в области О, если в этой, области существует такая .форма <о~ <, что <ои=й<оР-<. Если форма <оР точна в О, то й<оо=йи<оР-'=О. Таким обра- "ром, условие йо=О (8) '-«вляется необходимым условием точности формы <о. , Как мы уже видели (пример 4), не всякая форма, удовлет- воряющая этому условию, является:точной, поэтому вводится О и р е д е л е н и е 8.
Дифференциальная форма <о называется .замкну<пой в области В, если в этой области она удовлетворяет условию (8). Имеет место Теорема (лемма Пуанкаре). Если форма замкнута в шаре, ,Аю она и точна о кем. Здесь уже речь идет о шаре в !<л и о форме любого порядка, поэтому утверждение 2 является простейшим частным случаем этой теоремы. Лемму Пуанкаре можно истолковать и так: необходимое усло- вие (8) точности формы локально является и достаточным, т. е. увчя любой точки области, где выполнено условие (8), найдется -такая ее окрестность, в которой форма <о точна.
В частности, если векторное поле В удовлетворяет условию(7), то из леммы Пуанкаре следует, что по крайней мере локально .оно является ротором некоторого векторного поля А. Ю В А Зорич. ч. Н Гл. Х!У. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ -30 Мы не останавливаемся здесь на доказательстве 'этой важной теоремы (желающие прочитают его в гл.
ХЧ), а предпочтем в заключение (опираясь на сведения об 1-формах) пояснить в общих чертах связь вопроса о точности замкнутых форм с топо. логийй области их задания. Пример 6. Рассмотрим плоскость Р с двумя выколотыми точкамн р„р, (рис. 95) и изображенные на рисунке их носителями пути уе 71 и у,. Путь уя в пределах рассматриваемой области 0 можно стянуть в точку, поэтому если в О задана замкнутая форма оз, то интеграл от нее по уя равен нулю. Путь у, нельзя стянуть в точку, но, не меняя значения интеграла от формы ю, этот путь можно га прогомотопировать в путь 71. Интеграл по пути у„очевидно, сводится к интегралу по одному циклу, обходящему по часовой 81 стрелке точку ри и удвоенному интегралу по циклу, обходящему точку ра против часовой стрелки. Если через Т, и Т, обозначить интегралы от нашей формы 'гп по малым окружностям, охватывающим соот- ВвтетВЕННО ТОЧКИ П1 И Ра И ПРОХОДИМЫМ, о например, против часовой ,стрелки, то можно понять, что интеграл от формы г» по любому замкнутому пути в области 0 Рис.
' 95 будет равен п,Т,+п,Т„где и, и и,— некоторые целые числа, указывающие, сколько раз и в каком направлении мы обошли каждую из дырок р„р, плоскости ма. Окружности сх, с„зацепляющие р, и рм служат как бы базисом, в котором любой замкнутый путь ус:. О, с точностью до не влияющей на интеграл гомотопии, имеет вид 7=наг!+Пега. Величины ~ го * Т, называют цинлйчггкими постоянными или пгрио» ~1 дами инпггграла, Если область более сложная и в ней имеется й штук независимых простейших циклов, то в соответствии с разложением у = п,с, +... +паса получится, что ~ ю = п,Т, +...
г ... + п»Т,. Оказывается для любого набора Тх, ..., Т, чисел в такой области можно построить замкнутую 1-форму, которря будет иметь именно такой набор периодов (это частный случай теоремы Де Рама; см. гл. ХЧ). Для наглядности мы обратились к рассмотрению плоской области, но все сказанное можно повторить и для любой области Ос И", П р и м е р 7.
1ч полноторин !области. ограниченной н Р тором) все замкнутые пути, очевидно, гомотопны сколько-то раз пробе. эх потенциальные поля гаемой окружности, охватывающей дырку. Эта окружность и составит здесь единственный не точечный базисный цикл с. Более того, все сказанное' можно повторить и для путей выс- ших размерностей. Если вместо одномерных замкнутых путей— отображений окружности или, что то же самое, отображений одномерной сферы, брать отображения й-мерной сферы, ввести для них понятие гомотопии и смотреть, сколько таких негомотоп- ных между собой отображений й-мерной сферы в данную область О ~ (ча существует, то получится некоторая характеристика области 0; которая в топологии оформляется в так называемую й-ю гомотопическую группу области 0 и -обозначается ла(О).
Если все отображения й-мерной сферы в 0 гомотопны постоян- ному отображению, то считается, что группа ла(0) тривиальна (состоит только из одного элемента). Может так случиться, что лх(0) тривиальна, а л,(О) не тривиальна. Пример 8. Если в качествеО взять пространство Ряс выбро. щенной из него точкой О, то, очевидно, любой замкнутый путь в такой области стягивается в точку, а сферу, охватывающую выброшенную из (са точку 0; нельзя в пределах этой области 'прпгомотопировать в точку. Оказывается, за периоды замкнутой й-формы ответственна не совсем гомотопическая группа л„(0), а так называемая группа гомологиг) На(0) (см.
гл. ХЧ), но в примерах, которые мы при- водим, эти группы совпадают. Пример 9. Из сказанного можно заключить, что, например, в области 0 =Р',О всякая замкнутая 1-форма точна (Р' О одно- связная область), но не всякая замкнутая 2-форма является точ- ной. На языке векторных полей это означает, что любое безвих- ревое поле А в.Ра' О является градиентом некоторой функции, но не всякое поле В без источников (д(уВ=О) является в этой области ротором некоторого поля, Пример 10. В противовес г(римеру 9 возьмем в качестве области 0 полноторне. Для полнотория группа л,(0) не три- виальна (см. пример 7), а л,(0) тривиальна, поскольку любое' ОтсбражЕНИЕ 7: Ох-»0 дВуМЕрНОй СфЕрЫ В 0 В.ПрЕдЕЛаХ 0 Стя- гивается в постоянное (образ сферы стягивается в.точку). В этой области не всякое безвихревое поле потенциально, но всякое поле без источников является ротором некоторого поля.
Задачи и упражнения !. Покажите, что любое центральное поле А=1(г) г потенциально. 2. Пусть Е= — Егаб У вЂ” потенциальное силовое поле. Покажите, что положения усгойчинаго раянаиесия частицы н чаком поле находятся и точках минимума поченцнала !Г этога паля. 3. Для электростатического поля Е система уравнений Макснелла (й 1, (!2)), как уже отмечалось, сводится к паре уравнений р Е = †, ух Е= О. Р е» 10» Гп. Х17. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ й 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ Условие фмЕ=О, по крайней мере .локально,, подразумевает, что Е = = — йгад ф Поле точечного заряда потенциально, а поскольку любое ьзектро- статическае поле есть сумма (илн интеграл) таких полей, то ано тоже всегда потенциально.
Подставляя Š— фф в первое иэ уравнений электростатичес- кого поля, получим, что его потенциал ф удовлетворяет уравнению Пуп«гана ') . Аф= — . Потенциал ф полностью определяет поле Е, поэтому описание поля р эа' Е сводится к отысканию функции ф — решения уравнения Пуассона,- Зиая. потенциал точечного заряда (пример 2), решите следующую задачу. а; Два заряда -д, +д находятся в точках (О, О, -д/2), (О, О, Щ2) про- странства Па, наделенного декартовыми координатами (х, у, г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
