В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 60
Текст из файла (страница 60)
чх(!А)=)чхА+ч(ХА, 1. Чх(АхВ)='(В. Ч) А — (А ° Ч) В+(Ч В) А — (Ч' А) Вч для дпо д. Ч ((А)=Ч( А+(Ч ° А, Ь. Ч (АхВ)=В (ЧхА) — А (ЧхВ) н перепишите их в символах йгад, го1, Шч. ( Ог к а з а н н я. А. Ч А' — + А' — + А' —; В. Ч ~Ч .В; д д д дхг дхз дхз ' Ах(ВхС)=В(А С) — (А С) С). 2. а. Запишите в декартовых координатах операторы (20) — (22). Ь. Проверьте прямым вычислением соотношения (20), (21). с.
Проверьте формулу (24). д. Запишите формулу (24) через оператор Ч и докажите ее, используя формулы векторной алгебры 3. Иа рассмотренной в примере 2 системы уравнений Максвелла выведите, что Ч ° /= — — . д) ' 4. в. Укажите параметры Ламе Н,, Нз, Н, декартовых, пнлиндрпческих и сферических координат в Пз Ь. Перепишите формулы (23), (34) — (37), используя параметры Ламе. '70 писать Гл. Х!Ч. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ 5. Поле А=ягаб —, где г Г'х'+у'+г', напишите в ! г а) декартовых координатах к, у, я; Ь) цилиндрических координатах; с) о)мричесхих координатах. б) Найдите го1 А н гнч А, 1' 6.
В цилиндрических координатах (г, ф, а) функция 1 имеет вид !и —. г Запишите поле А=втаб( в а) декартовых координатах; Ь) цилиндрических координатах; с) сферическим координатах. б: Найди~с то1 А и гпч А. 7. Нанишите формулы нреобраэования координат в фиксированном каса- тельном пространстве Т$~";, р ш 17а, нри переходе от декартовой системы коор- динат в 17а к а) цилиндрическим координатам; Ь) сферическим координатам; с) нроиэаольной триортогональной системе криволинейных координат. Ш Применяя полученные в с формулы и формулы (34) — (37), проверьте непосредственно инвариантность векторных нолей Лгаб А, го1 А и величин вы А, Д/ относительно выбора системы координат, в которой провсходило нх вычисление. 8.
Пространство )7а, нак твердое тело, вращается вокруг некоторой оси с постоянной угловой скоростью в Пусть и†поле линейных скоростей точек в финсированный момент времени. а. 3апишите поле в н соответствующих цилиндрических координатах, Ь. Найдите го1 в. с. Укажите, ках направлено поле го1 и по отношению х оси вращения.
Ш Проверьте, что ! го1 в )у 2в в любой точке пространства. е, Истолкуйте геометрический смысл го1 и и геометрический смысл обна- руженного в б ностояаства этого вектора во всех точках- пространства. $2. Интегральные формулы теории поля 1. Классические интегральные формулы в векторных обозначениях а. Венторная запись форм вл, ва.
В предыдущей главе мы уже отметили (см'. там 3 2, формулы (23), (24)), что сужение фор.мы ве работы поля В на ориентированную гладкую кривую (путь) у или сужение формы ву потока поля У на ориентированную поверхность 5 можно записать соответственно в следующем виде: ве)т=(Р; е)!(з, в-;)в=(У, л)с(о, где е — ориентирующий у единичный вектор, сонаправленный с вектором скорости движения вдоль у, ив — элемент (форма) длины на у, л — ориентирующий поверхность 5 вектор единичной нормали к поверхности, а с(о — элемент (форма) площади на поверхности В. В векторном анализе часто используют векторный элемент длины кривой с(з:= е йз и векторный элемент 'площади поверхности с(о:= л с(о.
Используя эти обозначения, можем теперь 1 й Х, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ вл)7=(А, е)с(т=(А, 1(з) =А 'с(з, (1) вв)в=(В, л) с(о=(В, с(о) =В с(о. (2) Ь. Формула Ньютона — Лейбница. Пусть )ееС1Н(О, 1ч) а у: 1а, Ь1-ь0 — путь в области О. В применении к О-форме в) формула Стокса ~ в) =~с(ог), дт 7 с однои стороны, означает равенство ~~=М дт 7 что совпадает с классической формулой ь П (Ь))-Цу(о)) =~~ну(1)) а Ньютона †Лейбни, а с другой стороны, по определению градиента она означает, что ~ В)=~шагав) (3) д7 7 Таким образом, используя соотношения (1), формулу Ньюто. на — Лейбница можно переписать в виде В такой записи она' означает, что приращение функции на пути равно работе ни этол! пути поля градиента втой функции.
Это довольно удобная и информативная запись. Кроме'очевидного вывода о том, что работа поля йгаб~ вдоль пути у зависит только от начала и конца пути, формула позволяет сделать и несколько более тонкое наблюдение. А именно, движение по поверхности 7"=с уровня функции 1 происходит без совершения работы полем ягаб 1, поскольку в этом случае дгас) ) с(е = О. Далее, как показывает левая часть формулы, работа поля дгаб( зависит даже не столько от начала и конца пути, сколько от того, на каких поверхностях уровня функции 7 лежат эти точки. с. формула Стокса. Напомним, что работа поля на замкнутом и ~ти на ' ся и к ляцией поля на этом пути.
тобы отметить, чта интеграл рется по замкнутому пути, вместо традиционного обозначения ~ В с(з часто пишут $Р'.г(у. 7 7 '72 27: Гл. Х1Ч. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ » Х ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Если у — кривая на плоскости, то иногда употребляют еще и символы ~, ~1, в которых указано направление движения по кривой у. Термин циркуляция употребляется и тогда, когда речь идет об интеграле по некоторому конечному набору замкнутых путей. Например, таковым может служить интеграл по краю некоторой компактной поверхности с краем.
Пусть А — гладкое векторное поле в области Р ориентированного евклидова пространства Р, а  — (кусочно) гладкая ориентированная компактная поверхность с краем в области Р. В применении к 1-форме ь»л,с учетом определения ротора векторного поля, формула Стокса означает равенство Ь»Л = ~ Ь»га1Л д5 5 (4) $ А 1(5= ~ ~(го! А) сЬ.
дз 5 (4') В такой записи она означает, что циркуляция векторного поля на границе поверхности равна потоку ротора этого поля через саму поеерхность. Как всегда, при этом на д(В выбирается ориентация, согласованная с ориентацией В. й Формула Гаусса — Остроградского. Пусть )У вЂ” компактная Область ориентированного евклидова пространства Г», ограниченная (кусочно) гладкой поверхностью ду' — краем )'. Если В в гладкое поле в 17, то в соответствии с определением дивергенции поля формула Стокса дает равенство ~ Ь»В= ~ Ь»д1«В (5) дУ У Используя соотношение (2) и запись р с()У формы ь»р через форму объема 1($' в (!«2, равенство (5) можно переписать в виде классической формулы Гаусса — Остроградского ~ ~ В сЬ = ~ ~ ~ йч В 1ПУ. (5') дУ В такой записи она означает, что поток векторного поля через границу области равен интегралу от оиеергенции эпюго поля по самой области.
Используя соотношения (2), формулу (4) можно переписать в виде классической формулы Стокса е. Сводка классических интегральных формул. В итоге мы при- шли к следующей векторной записи трех классических интег- ральных формул анализа: ~ 7' = ~ (177) с(5 (формула Ньютона — Лейбница), дт ~ А с(5= ~(12х А) с(о (формула Стокса), д5 5 ~ В йт= )(17 В)д()У (формула Гаусса — Остроградского). (5") (4") 2.
Физическая интерпретация йч, го(, йтай а. Дивергенция. Формулу (5') можно использовать для выяснения физического смысла величины йч В(х).— дивергенции векторного поля В в некоторой точке х области )У задания поля. Пусть )У(х) — содержащаяся в )У окрестность (напрнмер, шаровая) точки х. Объем этой окрестности позволим себе обозначать тем же символом )У(х), а ее диаметр буквой «(. Из формулы (5') по теореме о среднем для тройного интеграла получаем В «Ь=йч В(х') у'(х), д1' (»1 где х' — некоторая точка окрестности У'(х).
Если с(- О, тох'- х, а коль скоро  — гладкое поле, то и йчВ(х')- йч В(х). Значит, 11 В до с1 Ь В (х) =! Нп У '"' (6) Будем считать В полем скоростей течения (жидкости или газа). Тогда поток. поля через границу области )У(х) или, что то же самое, объемный расход среды через границу этой области, в силу закона сохранения массы возникает только за счет стоков или источников (в том числе связанных с изменением плотности среды) и равен суммарной интенсивности всех этих факторов, которые мы будем называть одним словом «источники» в области )У(х). Значит, дробь в правой части соотношения (б) есть средняя (отнесенная к единице объема) интенсивность источников в области )У(х), а предел этой величины, т.
е. йч В (х) есть удельная (отнеценная к единице объема) интенсивность источника в точке х, Но предел отношения общего количества некоторой величины в области )У(х) к объему этой области, когда 1( — ». О, принято называть плотностью этой величины в точке х, а плотность как функцию точки обычно называют плотностью распределения данной величины в той или иной части пространства. Таким образом, дивергенцию йч В векторного поля В можно интерпретировать как плотность распределения источников в области течения, т.
е, в области задания поля В, 27 4 3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ Гр. Х1Ч. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ Пример 1. Если, в частности, 61ч)»=0, т. е. никаких источников нет, то поток через границу любой области должен бы быть нулевым: сколько втекает в область — столько из нее и вытекает.
И, как показывает формула 15'), это действительно так. П р и мер 2. Точечный электрический заряд величины ру создаст в пространстве электрическое поле. Пусть этот заряд помещен в начало координат. По закону Кулона а) напряженность Е=Е(х) поля в точке х ~(сз (т.е, сила, действующая на пробный единичный заряд в точке х) представляется в виде Е= — —, ч г 4паа )г ~а ' где ер — размерная постоянная, а г — радиус-вектор точки х. Поле Е определено всюду вне начала координат. В сферических координатах Е= — „—, ея, поэтому из. формулы (36 ) предыд 1- дущего параграфа сразу видно, что ШУЕ=О всюду в области определения поля Е. Значит, если взять любую область У, не содержащую начала координат, то в силу формулы (5') поток поля Е через границу дУ области У окажется нулевым.
Возьмем теперь сферу Зл=(х ее Р'и'х(= )с) радиуса )с с цент. ром в начале координат и найдем поток поля Е через эту поверхность в сторону внешней (по отношению к ограничиваемому сферой шару) норма»)и. Поскольку вектор ел как раз и является единичной внешней нормалью к сфере, то Е с(о= ~ — — г(п= г 4п)с = —. 4пе »1» 4парАР» е„' зд зл Таким образом (с точностью до размерной коистанты е„зависящей от выбора системы физических единиц), мы получили величину заряда, содержащегося в ограниченном сферой объеме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
