В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 55
Текст из файла (страница 55)
л й(! л...л с(!». Теперь проведем выкладку: =5'( — 1)' ' — ',.й»л... ж = ! дй 1 йс.. йР !" да д! дй =( — 1)' ~ (а(!1, ...,й-', 1, Р+', ..., Р)— !»-1 — а(Р, ..., 1! ', О, (!»1, ..., Р))йр л...л й!! л...л йР= = ( — 1)1-' ~ а(!1, ..., (1-1, 1, )Г, ..., !»-1)й)1 . й)»-1 1 ! »-1 +( — 1)с ~ а(Р, ..., (1-1, О, )1, ..., Р-')й11..„й1»-1. !»-1 Здесь 1»-1 такой же, только й — 1-мерный куб в Р-', как и куб Р в (ч»; кроме того, мы здесь сделали'замену переменных 11 )1 (1-! 11-1 1!»1 )! (» 1»-1 Отображения !»-1-э ! ()1 С» — 1) (!1 Г!-1 ! Г! !»-1) ~ !» Р-':-э ! =(Р, ..., Р-') ° (Р, ..., 11-1, О, 11, ..., Р-') ен Р суть параметризации соответственно верхней Га и нижней Г„ граней куба Р, ортогоиальных оси Ох'.
Эти координаты на обеих гранях задают один и тот же ориентирующий грань репер е„,:,. ..., е; „е!»„..., е», отличающийся от репера е1, ..., е» )!ро- странства ьс» отсутствием вектора е!. Вектор е! на грани' Га является внешней по отношению к Р нормалью, как и вектор — е; длЯ гРани ГГФ РепеР еь е„ ..., е, „ ень ..., е» пеРеходит в репер е„ ..., е» пространства Р после с — 1 перестановки соседних векторов, т. е. совпадение или несовпадение ориентации этих реперов определяется знаком числа ( — 1)1-1.
Таким образом, указанная параметризация задает на Г;, ориентацию,' которая превращается в ориентацию Г;„ согласованную с ориентацией Р, если ее взять' с поправочным коэффициентом ( — 1)1-' (т. е. не менять при нечетном ! и менять при четном 1). Аналогичные рассуждения показывают, что для грани Гм придется взять поправочный коэффициент ( — 1)! к ориентации, заданной предъявленной параметризацией грани Г!». Итак, последние два интеграла (вместе со стоящими при них коэффициентами) можно интерпретировать соответственно как интегралы от формы св по граням Га и Г, куба Р, взятым с ориентацией, индуцированной на них ориентацией куба Р.
Теперь заметим, что остальная часть Г границы куба 1» есть цилиндрическая поверхность с образующей параллельной оси Ох', поэтому сужение на нее формы а(1)й(! л... л й' л... Ась» есть (й — 1)-форма, тождественно равная нулю на Г. Действительно, ведь Г имеет параметризацию вида (и', ..., и"-1, х') =: (и, х') (х'(и), ..., х'-'(и), х', х'+'(и), ..., х'(и)), поэтому после взятия дифференциалов йх', ..., йхс-1, йх'", ..., с(х' их внешнее произ- ведение окажется произведением (й — 1) форм от я — 2 перемен- .
ных и', ..., и"-', что тождественно равно нулю. Значит, сул!Му последних интегралов можно интерпретировать как интеграл от формы со, взятый по краю дР куба Р, ориенти- рованному согласованно с ориентацией самого куба Р. Формула )йсо= ~ »», д!» а вместе с ней и формула (1!) доказаны. 43 Гл, ХП!.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 24' 4 3. интеГРАльные ФОРмулы АнхлизА Как видно, формула (11) является следствием формулы Ньютона — Лейбница, теоремы О сведении кратного интеграла к повторному и серии определений таких понятий, как поверхность, кРай поверхности, ориентация, дифференциальная форма, ее дифференцирование и перенос. Формулы (!), (6), (10) Грина, Гаусса — Остроградского и Стокса являются частными случаями общей формулы (11). Более того, если заданную на отрезке !а, 51 с: 1«функцию Р интерпре. тировать как 0-форму ш, интегралом по точке от 0-формы считать значение функции в этой точке, то саму формулу Ньютона — Лейбница тоже можно рассматривать как простейший (но независимый) вариант формулы (11).
Формулу (11) обычно называют общей фо/ы«улой Стокса. В качестве исторической справки процитируем здесь несколько строк из предисловия М, Спивака к его книге, упомянутая в списке литературы. «Впервые формулировка теоремы *) появилась в виде приписки к письму сэра Уильяма Томсона (лорда Кельвцна) к Стоксу, датированному 2 июля 1850 г. Опубликована она была а качестве восьмого вопроса к экзаменам на смитовскую премию 1854 г. Этот конкурсный экзамен, которому ежегодно подвергались лучшие студенты — математики Кембриджского университета, с 1849 по 1882 г., проводился профессором Стоксом.
Ко времени его смерти результат был повсеместно известен как теорема Стокса. .Современниками Стокса были даны по крайней мере три доказа. тельства: одно опублйковал Томсон, другое было изложено в «Трактате о натуральной философии» Томсона и Тейта и третье предложил Максвелл в «Электричестве и магнетизме». С тех пор именем Стокса были названы значительно более общие результаты, сыгравшие столь заметную роль в развитии некоторых разделов математики, что теорема Стокса вполне может дать материал для размышлевий о ценности обобщений». Отметим, что язык форм и вид (1!) общей формулы Стокса для.поверхностей в ьм, по-видимому, Впервые предложил Пуанкаре. Для областей л-мерного пространства !«" формулу знал уже Остроградский. Таким образом, общую формулу Стокса (1!) не случайно порой называют формулой Ньютона — Лейбница.
— Грина — Гаусса — Ост роградского — Стокса — Пуанкаре. Из сказанного можно заключить, что это еще далеко не полное ее название. Используем эту формулу, чтобы обобщить результат, получен. ный в примере 1. Пр и ме р 5, Покажем, что любое гладкое отображение /. В- В замкнутого шара В~)," в себя имеет по крайней мере одну неподвижную точку. ") Имеется в аиду классическая формула Ото«с» (!О!. Если бы отображение / не имело неподвижных точек, то, как и в примере 1, можно было бы построить гладкое отображение йс В- дВ, тождественное на сфере дВ. В области (", ",0 Г рассмотрим векторное поле —,, где г — радиус-вектор точки .'г!м' х=(х', ...,' х") я !« ",О, и отвечающую этому полю форму потока г ! ч«» ( — 1) хгдх'Л...Лдх'Л...Лдхм й г,л ' ) ((х'!«+...+(хм!«)м (см, формулу (8) из 2 2).
Поток такого поля через границу шара В=(хан(«™~!х!=1) в сторону внешней нормали к сфере дВ, очевидно, равен площади сферы дВ, т. е. ~ шчьО, Но, как легко да проверить прямой выкладкой, йш=О в («"',О, откуда с использованием общей формулы Стокса, как и в примере 1, следует, что ~ ш = ~ «рею= ~ сбр«ш= ~ «р«сЬ= ~ «р«0= О. дв да' в в В Полученное противоречие завершает доказательство. Ь Задачи и упражнения 1, з Изменится лн формула (1! Грина, если перейти ат свет«мы «аордпязт к, г х системе каордвпзт /Л х! Ь. Изменится ля пря этом формула !1")р 2.
з докажите, что формула (1) остается в силе, если ~уякцвя Р, и' Р дР вепрерыивы з замкнутом квадрате /, ях частные производные —., —. яепрерыввы во вцутрепнях точхзх квадрата / з двойной интеграл вз формулы (1') существует хотя бы хвк несобственный Ь. Проверьге, что если граница компактной области Р состоит вз кусочно елздпях кривых, и» в аналогичных указанным в з предполо»хевяях формула (1) остается в силе 3.
з. Проведите подробно доказательство равенства (2'). Ь. Покажите, что если граница компактной области Р ~ (!» состоит яз конечного чвслз глвдхвх кривых, имеющих лишь конечное число точек перегвбв, то Р— простая область по отношению к любой паре координатных осей. с. Верно ля, что если граница плоская области состав« вз гладких кривых, то 'в П» можно тзк выбрать оея координат, что по отпошепяю и вям опв окажется простой облзетью? 4. з.
Покажите, что ееля ,«уякпвя Р, и в формуле Грина таковы, что дО дР— 1, то площадь а (Р) облзетп Р можва находить па формуле а (Р) = дх др . = ) Рдх+Оду. дп Ь. Выясните геометрвчеекяй смысл интеграла ) у ах, взятого по некоторой т (быть может, и незамкнутой) кривой пв плоско«те с декзртовымя коордявзтами х, р. Исходя вз етого, вновь истолкуйте формулу а(Р) = — ) р ах, дв 26.
60 Г» ХП! КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 4 3. интеГРАльные ФОРЬчулы АнАлизА с. В качестве проверки последней формулы иайлнте с ее помощью площадь кл уз области 0 = ((х. у)ш (чз — -!- у- = 1) . а» Ьз 3. а Пусть к= х(!) — диффеоморфизм области В,с П» на область 0„ с П', Используя результаты задача 4, а также независимость криволинейного инте- грала от допустимого изменения параметризации пути, докажите, что ) йх ) ~ х'(1) !й!, о о где йх=йхл йхл, й! й!' с'!», , 'х' 00 = бе1 к' (1). Ь. Выведите из а формулу )г / (х) йх = )г / (х (1)) . Йе! х' (1) ! й! О» О, замены переменных в двойном интеграле.
б. Пусть /(х, у, 1) — гладкая функция, удовлетворяющая в области апре. деления условию ! — ! +~ — ! чь О Тогда прн каждом фиксированном значении . параметра 1 уравнение /(х, у,!)=0 задает кривуле Т, в плоскости )!з, Так на плоскости возникает семейство !Тг) кривых, зависящих от параметра 1. Глад кая кривая Гс Пз, задаваемая параметрическими уравнениями х х(1), у=у(1), называется огибающей семейслма кривых (Тг),. если при любом значении 1, нз совместной области определения (Т,) и функций .к(1), у(!), точка к(1,), у(1з) лежит на соответствующей кривой Т, н нрнвые Г и Т касаются в этой точке а а.
Считая, что х, у — декартовы координаты на плоскости, покажите, что задающие огибающую фуннцни х-(1), у (1) должны удовлетворять системе уравнений / (х, у, !) = О, — (х у О д/ а сама огибающая с геометрической точки зрения есть граница проекции (тени) поверхности /(х, у, 1) =0 пространства Д» на плоскость П» !». ч, и !»л и!.
Ь В плосности с декартовыми-координатами х, у дано семейство прямых кссна-1-у з!па-р(а) 0 Роль параметра здесь играет полярный угол а Укажите геометрический смысл величины р(а) и найдите огибающую этого семейства, если р(а) с+асоза+Ьнпа, а, Ь, с — постоянные, с. Опщпите зону досягаемости снаряда, который может быть .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
