В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 50
Текст из файла (страница 50)
задачу 5), аавнсит не только от начального и конечного состояний системы, но н от пути перехода. Важной характеристикой Ус вещества и совершаемого им (или нвд ним) термодинамического процесса является теплоемРис. 85. кость — отношение полученного веществом тепла к изменению его температуры. Точное опреде. ление теплоемкости можно дать в следующей «орме.
Пусть х — точка в плоскости состояний Р (с координатами У, Р или ', Т. или Р, У), а е щ ТЄ— вектор, указывщощий направление смещения :з точки х. Пусть / — малый параметр. Рассматриваем смешение из состояния в состояние х+/н вдоль отрезка на плоскости Р, определяемого этими состониями. пусть 6()(х, ге) — полученное в этом процессе веществом тепло, з «Т(х, /е) — изменение температуры вещества. Теялоеихостыо С С(х, е) вещества (системы), отвечающей состоянию х «направлению е смешения из этого состояния, называется величина С(х, е) 6«)(х, /е) г о 6Т (х, /е)' В частности, если система теплоизолирована, то ее эволюция происходит без омена теплом с внешней средой. Это так называемый адиабатичсский процесс. !твечающая такому процессу кривая на плоскости состояний Р называется оиабашой.
Значит, смещению из данного состояния х в направлении адиабаты гвечает нулевая теплоемкость системы. Смещению по изотерме (Т=сопз() отвечает бесконечная теплоемкость. Особенно часто используются теплоемкости С,= С (х, е,), С,=С (х, е ), чвечающие смещениям по изохоре (У сопз1) и изобаре (Р сопз1) соответгвенно. Опыт показывает, что в довольно широком диапазоне состояний дан«ой массы вещества каждую из величин С „С, можно считать практически :остоянной.
Теплоемкости, отвечзющие одному молю данного вещества, при«ято называть нолярныии и обозначать (в отличие от прочих) прописными в не строчными) буквамк Мы будем считать, что имеем дело с одним молем :еществ а. Между количеством 6«г полученного веществом в данном процессе тепла, вменением 6У его внутренней энергии и совершенной им механической рабоой 6А в силу закона сохранения энергии имеется связь 6«/= АУ+ 6А..Таким бравом, .при малом смещении Ге из состояния х «и Р полученное веществом тепло можно найти как знзчение формы 6Г):=«/У+Р«(У в точке х на векторе /е щ ТР (бюрмулу Р «(У работы см.
в задаче 5с). Значит, если координатами состояния считать Т и У, а в качестве параметра при смещении (в неизотермичесном направлении) принять Т, то можно написать, что 6«) дУ дУ «(У с(У С= 11ш — = — + — ° — +Р—. в АТ дТ дУ «/Т с(Т Производная — определяет направление смешения из состояния х «ы Р 6У дТ 6У плоскости состояний с координатами Т, У В частности, если — „=О, то смешение идат в направлении изохоры !'=сопз1, и ыы получаем, что д!/ оУ /дУ ! С = —, Если Р=сопа, то — =. ( — ) (в общем случае У дТ ' с/Т дТ Р = сазм = У (Р, Т) — это разрешенное относительно У уравнение состояния /(Р, У, Т) = "=( — -) Е.
' ")( — ) где индексы Р, У, Т в правой части указывают параметр состояния, фиксируемый при отыскании соответствующей частной производной Сопоставляя полученные выражения для С и С„, андии, что СР— С,,=Я вЂ” ) +Р) ~ — ) . Экспериментами на газах (опыты Джоуля" — Томсона) установлено и затем посту)!кроваво в модели идеального газа, что его внутренняя энергия У зави- /дУ ) сит только от температуры Т, т.
е, ! — ~ / й Таким образом, для идеаль- ' '«дУ/т ного газа С =С ~ — ) . Учитывая, что для моля идеального газа РУ ««Т, / дУ ! !'~ дТ )р' отсюда получаем соотношение СР— Су — — /Г, НазЫваечпе в тЕриоДннамикЕ уРаа- нси««см Майера *"), То, что для моля газа внутренняя энергия зависит только от температуры, позволяет записать форму 6«) в виде 6«) = — «/Т + Р с(У = С, «/Т+ Р «(У.
дТ Чтобы вычислить количество тепла, полученное молем газа на пути у изменения его состояний, надо, следовательно, найти интеграл от формы С «/Т+Р с/У по у. Эту форму иногда удобна иметь в переменных У, Р. Если воспольэо. ваться уравнением состояния РУ= йТ и соотношением СР†СР††/«', то полу. «нм 6«)=Си — «/У+Си р «/Р.
Р з Напишите формулу для количества «) тепла, получаемого молем газа прн изменении его состояний вдоль пути у плоскости состояний Р. ") Д. П. Джоуль (!8!8- !889) — английский физик; открыл закон тепло- ваго действия тока, а также определил независимо от Майера механический эквивалент геплоты. '") Ю Р Майер (18!4 в !878) — немецкий ученый, врач по образованию; высказал закон сохрзнения и превращении энергии, нашел механический эквивалент теплоты. 9 В.А Зорич,ч,ц Гк. Хсп. КРИВОЛИНЕПНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 226 Ь.
С Считая величины С, СР постоянными, найднсе величину О, отвечаю. ЩУВ КакСДОМУ Иэ ПУтЕй У гп У т, УОР УКаэаННЫХ В ПУНКТЕ Ь ЗаДаЧИ 6. с. Найдите (вслед за Пуассоном) уравнение адиабаты, проходящей через точку (Уе, Р;1 плоскости состояний Р, координатами У, Р.
(Пуассон аацсел, сРссу что на адиабате РУ сопз1. Величина С 1С называется адиабати. Р ческой лсмтоянкой данного газа, Для воздуха С,1С, = 1А.) Вычислите после этого работу, ноторую необходимо совершить, чтобы теплоизолирочанный от внешней среды моль воздуха, находящегося в состоянии ()с, Р ), 1 ,оместить в объем 1'с = — Уа. 2 7. Напомним, что цикл Карно ') изменения состояния рабочего телв теп. юной машины (например, газа, находящегося в цилиндре под поршнем) состоит следующем (рис 86) Имеются два энергоемких тела, нагреватель ч холодиль.
.ик (например, паровой котел и атмосфера), находящиеся при постоянной тем- пературе Т, и Т, соответственно (Т, ~ Т«). Ра- 1 бочее тело (газ) рассматриваемой тепловой ма- шины, имея в состоянии 1 температуру Тс, У приводится в контакт с нагревателем и эа счет уменьшения внешнего давления по изотерме кваЗнстатически расшвряется н переводится в со стояние 2. При этом машина заимствует от нагревателя тепло (), и производит механическую работу Ам против внешнего давления.
В состоя- 22 5 нин 2 газ теплоизолируют и заставляют квази- статически расширяться до состояния 3, пока его температура не достигнет температуры Те холодильнииа При этом машина также соверРис. 86 шит некоторув раГюту Ам прстнв внешнего давления В состоянии 3 газ приводят в кон. такт с холодильником и путем увеличения дав.
лепна изотермическн сжимают до состояния 4. При этом над газом сове)ь шается работа (сам газ совершает отрицательную работу Аг,) и газ отдает холодильнику некоторск- количество тепла С)2 Состояние 4 выбирается так, чтобы из пего можно было вернуться в исходное состояние 1 квазиста. тическнм ежа~нем газа по аднабазе Итак, из -состояния 4 газ в состояние 1 П н . а ия газ возвращают р этом над газом придется совершить работу (а сам газ произведет отрицательную работу А«,) В результате описанного кругового процесса (цикла Карно) внутренняя энергия газа (рабочего тела машины), очевидно, ие изменится (ведь мы вернулись в исходное состояние), поэтому произведенная ПолУчениос от нагРевателЯ тепло С)с лишь частично пошло на совеРшение А' ),-Е, работы А.
Величину Ч= — естественно назвать коэффициентам ло- Ф «какого действия рассматрйваемой тепло«ой машины. а. Используя результаты, полученные в пп, а и с задачи 6, покажите, что для цикла Карно имеет место равенство Т, Тг Ь. А«окажите теперь следующую первую из двух знаменитых теорем Карно.
Коэффициент полезного действия тепловой иашикы, раб та й Карко, загигшл только от лммпгратуры Т, и Т, нагрегатггя и хогадилькика (но не зависит ог устройства машины и вада ее рабозего тела). 8. Пусть у — замкнутый путь в плоскости Р состояний рабочего тела произ. вольной тепловой машины (см задачу 7), отвечающий залскнутому циклу ее *) Н. Л. С. Карно (1796 — 1832) — французский инженер, один из родона чальников термодинамики, $2 ФОРМА ОБЪЕМА работы. Квлнчество тепла, которым рабочее тело (например, газ) обменивается с внешней средой, и температура, при которой происходит теплообмен, связаны фундзмсптальным кграгенгтгои Клаузиуса *) ) †.( О.
Здесь 6(г' †фор тепбс) Т ' т лообмгна, о которой говорилось в задаче 6. а. Покажите, что для цикла Карно (см, задачу 7) неравенство Клаузиуса обращается в равенство. Ь. Покажите, что если рабочий цикл у может протекать н в обратном направлении, то для него неравенство Клаузиуса обращается в равенство. с. Пусть у, и у« — те участки пути у, на которых рабочее тело тепловой машины соспветственио получает тепло извне и отдает его в окружающую среду. Пусть Т, — максимальная 'температура рабочего тела на участке у,, а Т,— (его) минимальная температура на участке у, цикла у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
