В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Заметим, что в евклидовом пространстве дифференциал й) гладкой в области 0 с- Р' функции 1: О- Р тоже можно считать 1-формой, порожденной векторным полем, которым в данном случае является поле Р= угад ~. В самом деле, ведь по определению 'вектор йга21 1(х) таков, что для любого вектора ~ ен ТО„ имеет место равенство й1(х) (Э) =(дгад1(х), Э). Пример 8. Заданное в области Р евклидова пространства Р' векторное поле У 'может также следующим образом порождать дифференциальную форму 22" — ' степени п — 1. Если в точке хек еиО взять соответствующий ей вектор поля У(х) и еще и — '1 векторов Э„..., Э„2 ~ ТО„, приложенный к точке х, то ориентированный объем параллелепипеда, натянутого на векторы У(х), равный определителИ матрицы, строки которой состоят из координат этих векторов, очевидно, будет кососимметрической (п — 1)-формой по переменным К„..., $„2.
При п=3 форма 22г есть обычное смешанное произведение (У(х), Э„Э2) векторов, из которых один У(х) задан, а тогда по двум оставшимся аргументам получается кососимметрическая 2-форма мг=(У,, ). Например, если в области О имеется установившееся течение жидкости и У(х) — вектор скорости течения в точке хен0, то величина (У(х), К„$2) есть элементарный объем жидкости, которая протекает за единицу времени через натянутую на малые векторы $„, э2 еи70„площадку (параллелограмм). Выбирая поразному векторы $„$„мы будем получать различные по конфигурации и расположению в пространстве площадки (параллелограммы), одной из вершин которых является точка х. Для каждой такой площадки будет, вообще говоря, свое значение ( У(х), $;, э2) формы гэг(х). Как было сказано, оно показывает, сколько жидкости протекло за единицу времени через данную площадку, т. е.
характеризует расход жидкости или поток через выбранную элементарную площадку. По этой причине форму гаю как, впрочем, и ее многомерный аналог ь2" †', часто называют формой потока векторного поля У в области О. 2. Координатная запись дифференциальной формы. Остано.. нимся теперь на координатной записи кососимметрических алгебраических и дифференциальных форм и покажем, в частности, что любая дифференциальная й-форма в некотором смысле является линейной комбинацией стандартных дифференциальных форм вида (4). Для сокращения записи будем (как мы это делали в аналогичных случаях и прежде) по повторяющимся сверху и снизу индексам подразумевать суммирование в пределах области допустимых значений этих индексов.
Пусть Š— 12-линейная форма в Р. Если в 12" фиксирован базис е„ ..., е„, то каждый вектор $ ~ Р получает координатное представление Э = $'е; в этом базисе, а форма Е приобретает координатную запись Е(~2, ", Ы=Е(Яе,, ..., ~2"е,.)= Е Я1, й2) = Е ($~ еь„, $2пеп ) = Е (еь, еп ) 3Д.,' = =Е(е2, е,) $Щ+Е(е„е,)Цо2+Е(е„е2)з(1Ц+ + Е (е„е,) ЦЦ+ Е (е„еа) ЦЩ+ Е (е„е2) ЦЦ+ +Е(е2, е,) $;э2+Е(е2, е,) Цэ2+Е (е,„е,) Цэ2= = Е (е„е2) ($$22 — ЦЦ)+ 1.
(е„, е2) (Ы22 — Ыээ)+ +Е(е„е,)(ЦЦ вЂ” $1Э2)= ~ Е(еь, еь)~, где суммирование ведется по всем возможным комбинациям индексов 1„12, которые удовлетворяют указанным под знаком суммы неравенствам. Аналогично н в общем случае для кососимметрической формы Е можно получить следующее представление: 1'л Е(й„..., $2)= ~ Е(е;„, ..., е;„) (б) Числа а;,. ~, =Е(е,,, ..., е,„) вполне характеризуют форму 1., если известно в каком базисе е„..., е„они получены. Эти числа, очевидно, симметричны или кососимметричны по их индексам тогда и только тогда, когда соответствующим видом симметрии обладает форма Е.
В случае кососимметрической формы 1 координатное представление (5) можно несколько преобразовать. Чтобы направление этого преобразования стало ясным н естественным, рассмотрим частный случай соотношения (5), когда Š— кососимметрическая 2-форма в Д. Тогда для векторов $, = 5",еь, ~, = $2*еп, где 1„1, = = 1, 2, 3, получаем Гр. Хп. ПОВЕРХИОСТИ И ФОРМЫ ВЕ" Э К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬИЫЕ ФОРМЫ Тогда в соответствии с формулой (2) последнее равенство можно переписать в виде ~($ " Ь)= (.(е«,, ..., е;„)и' л...Лп!»(е! ..., $»). !<С,с» <!»<р Таким образом, любую кососимметрическую форму С'можно представить в виде линейной комбинации В=,У, аю, !»и" Л ...Л и'» (7) ! ~ с, ~ ... < !» ~ р й-форм и ! Л ... Л и'», являющихся внешним произведением, составленным из простейших 1-форм и'...,, и" в Р'.
Пусть теперь в некоторой области 0 ~ 1«р задана дифференциальная деформа ы и некоторая система криволинейных координат х', ..., х". В каждой точке х ее О фиксируем базис е„(х), ... ..., е„(х) пространства Т0„, составленный из единичных векторов координатных направлений. (Например, если х', ..., х'— декартовы координаты в Р', то е, (х), ..., е„(х) есть просто репер е„..., е„пространства Р, параллельно перенесенный из начала координат в точку х.) Тогда в каждой точке х ы О на основании формул (4) и (6) получаем, что ы(х)(й„..., й»)'= «ь (е«, (х), ..., е;„(х))дх'! л ..; л йх'» ($„.. „~») !к«»<- <! нли ы(х) Х а«!...
!„(х)ах' л ...лдх». (8) !Е! С., ~«„<р Таким образом, любая дифференциальная й-форма является комбинацией простейших й-форм дх! л ...лдх», составленных из фференциалов координат. Отсюда, собственно, и название «дифренциальная формам Коэффициенты а, ,„(х) линейной комбинации (8), вообще говоря, зависят от точки х, т. е. это какие-то функции, определенные в области, где задана форма ь»». В частности, нам уже давно известно разложение дифференциала д) (х) — —, (х) дх'+...
+ — „(х) «(х», д/ д! (9) а, как видно из равенств, (лР(х), $) = (г! (х) еь(х), $! ец(х)) = = (е«,(х), е!. (х)) г! (х) е!» = д«,«,(х) г"! (х) $!» = =й«,«,(х)г! (х)«1х'» (Е), имеет также место разложение ы'„(х) = (Г(х), ) = (дси (х) г"! (х)) дх! = а, (х) дх', (10) которое в декартовых координатах выглядит особенно просто: ы„'(х) = (е (х), ) = ~х„г! (х) дх'.
(11) »-=! Далее, в ««» имеет место равенство ) и«(х) !»» (х) !»«(х) »! 1» «» ь»(х)~~1 0~ 1 р(х)~0 Ц11 )г»(.)~31 «1~ откуда следует, что «ь' (х) = )л! (х) дх' л дх»+ )л» (х) «(л«л дх'+ (л» (х) дх' л. дх». (12) !' ° Аналогично, из разложения по строке определителя и-го порядка для формы ы"-! получаем следующее разложение: ы", " (х) = ) ', ( — 1)» м 1!! (х) дх' л... л дх! л ... л дх", (13) »'= ! где знак стоит над дифференциалом, который следует опустить в указанном слагаемом. 3.
Внешний дифференциал формы. Все, что было до сих пор сказано о дифференциальных формах; пока в сущности относилось к каждой точке х области задания формы в отдельности и имело чисто алгебраический характер. Специфической для анализа операцией над дифференциальными формами является операция их (внешнего) дифференцирования. Условимся в дальнейшем под дифференциальными формами нулевого порядка в области Ос: г» понимать функции 1: 0-» 1«, определенные в этой области. Определение 2. (Внешним) дифференциалом от (ьформы ~ в случае, если ( — дифференцируемая функция, называется обыч.
ный дифференциал д1 от этой функции. Если заданная в области Р с: Ир дифференциальная р-форма (, '1) ы(х)=а«,, (х)дх~! л ... лдх'р »" р имеет дифференцируемые коэффициенты а«, ! (х), то ее (внеш. ' ний) дифференциал есть форма ! ( ды (х): = да«, ... ! (х) л йх ' л ... л дх р Гл. Хп. ПОВЕРХНОСТИ И ФОРМЫ В Вл Используя разложение (9) дифференциала функции и опираясь на вытекающую из соотношения (1) дистрибутивность внешнего произведения 1-форм, заключаем„что да) да)(х) = — à — (х) дх' Л дх ) Л ° ° ° Л Йх Р = дх =ссп ..1 (х) дх л дх) л .:, л дхгр 1"' р т. е.
(внешний) дифференпиал от р-формы (Р~О) всегда есть форма степени р+1. Отметим, что данное выше определение ! дифференциальной Р-формы в области Р с: Р, как теперь можно понять, слишком общо, поскольку никак не связывает формы ы(х), соответствую- щие различным точкам области' Р. Реально в анализе исполь- зуются лишь формы, коэффициенты а) 1 (х) коо!)динатного пред- 1 р ставления которых являются достаточно регулярными (чаще всего бесконечно дифференцируемыми) функциями в области О.
/7оря-. док гладкости формы са в области 0 с: (Сл принято характеризо- вать низшим из порядков гладкости ее коэффициентов. Совокуп- ность всех форм степени у~ О с коэффициентами класса С1 ) (Р, (с) чаще всего обозначают символом (1р(О, Р) или !)р. Таким образом, определенная нами операция дифференциро- вания форм осуществляет отображение д: !1р — «-11р+1, Рассмотрим несколько полезных конкретных примеров. Пример 9. Для О-формы а)=! (х, у, г) — дифференцируемой функции, определенной в области Р с: Р, — получаем да) =д — дх+д- ду+д — де.
д! д! д! П р и м е р 10. Пусть «)(х, у)=Р(х, у)дх+Д(х, у) ду — дифференциальная 1-форма в области О пространства 1,", наде- ленного координатами х, у. Считая Р и !',) днфференцируемыми в 0 функциями, в соответствии с определением 2 получаем да) (х, д) =дР Л дх+Щл ду= = ( — дх+ — ду) л дх+( — дх+ — ду) Л ду= = -- ду л дх+ — дх л ду = ( — — — ) (х, у) дх л ду. дР дО !дс! дР) ду дх ')д ду ~ Пример 1!.
Для 1-формы а) = Рдх+Ядд-(-!с дг, заданной в области О пространства 144, получаем (ду дх) у ' (д йх) ~Лдх+ (д — — д — )дхЛс(у. 4 З ДИФФЕРЕНЦИХЛЬНЬШ ФОРМЫ Пример 12. Подсчет дифференциала 2-формы 'в = Р ду л дг -)- Я дг л дх+ Й дх л ду, где Р, (;1, !с — дифференцируемые в области О» И' функции, приводит к соотношению д = ( — + -О + Д дх Л ду Л де. Если (х', х', хх) — декартовы координаты в евклидовом прост- ранстве 1С', а х !(Х), х Г(х)=(Р', Р', Р')(х), х У= =(У', Ул У')(х) — гладкие скалярное и векторные поля в обла- сти Рл» Ь, то вместе с ними (особенно в физических задачах) часто рассматривают соответственно векторные поля йгад~=( —, —, — ! — ерпдиент скалярного поля (, (14) (дх) ' дх« ' дх«) гдУ« дУ« дУ) дул дУ«дУ)1, ротор векторного поля Г (!5) и скалярное поле у д1" 1 д1" 1 дн' дивергенция векторного поля У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
