В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Последнее означает, что любой компакт Л'с: 5 может иметь общие точки лишь с конечным числом поверхностей 5» ..., 5, ... Нагляднее это можно выразить иначе, сказав, что любая точка поверхности 5 должна обладать окрестностью, которая пересекается не более чем с конечным числом множеств 5» ..., 5, ... Заме чан ие 5. В основной формуле (5) участвует система криволинейных координат Р...,, чь. Естественно поэтому проверить, что определяемая равенством (5) величина 1!А(5) (а тем самым и величина Р'ь(5) из определения'2) инвариантна при диффеаморфном переходе Оиэ(!х, ..., гь)=! (=((!, ..., гь) еиР к новым криволинейным координатам !Т„..., !ь, меняющимся в соответствующей области с! с: 1кь.
4 Для проверки достаточно заметить, что матрицы - '-' =(('-' '-')) ° '='=~(-'-' -'-')) в соответствующих друг другу точках областей 0 и 0 связаны . !др! соотношением 0= е'оба, где ('=~ — ! — матрица Якоби отображед!(! ния 0=9!»! Еи О, а Хо — транспонированная по отношению к 1 матрица. Таким образом, бе! 6(!) = с1е! С((() (бе! /)'(г), откуда следует, что 1~'о.(о(((о-1го.(ор(((((!((((ч(=1го (о(((ч(. и Итак, мы дали инвариантное по отношению к выбору системы координат определение 2 й-мерного объема или площади й-мерной кусочно гладкой поверхности. 3 а и е ч а н и е 6.
Этому замечанию мы предпошлем Оп р еде лен ие 3. Про множество Е, лежащее на й-мерной кусочно гладкой поверхности, будем говорить, что оно является множествам й-мерной меры нуль или имеет площадь нуль в смысле Лебега, если при любом В) 0 его можно покрыть конечной или счетной системой 5» ..., 5„, ... (возможно пересекающихся) поверхностей 5 с: 5 так, что ~ )!А(5„) (е. а Как видно, это дословное повторение определения множества .
меры нуль, лежащего в )~ь. Легко видеть, что в области 0 параметров любой локальной карты ф: 0-о-5 кусочно гладкой поверхности 5 такому множеству Е отвечает множество (р-'(Е) с Р с:1!ь й-мерной меры нуль. Можно даже проверить, что это характеристнческоесвойствомножеств Е ~ 5 площади нуль. На практике при вычислении площадей, а также вводимых ниже поверхностных интегралов полезно иметь в виду, что если кусочно гладкая поверхность 5 получена из кусочно гладкой поверхности 5 удалением из 5 множества Е площади нуль, то площади поверхностей 5 и 5 одинаковы. Польза этого замечания в том, что из кусочно гладкой поверхности часто можно так удалить множество площади нуль, что в результате получится гладкая поверхность 5, задаваемая всего лишь одной картой.
Но тогда площадь 5, а значит, и площадь 5 можно вычислить прямо па формуле (5). Рассмотрим примеры. Пример 1. Отображение 10, 2П[~! (Есозч, )чч(з(п!)Еи(хо есть карта дуги 5 окружности хи+уз=)~и, получаемой удалением из этой окружности 5 единственной точки Е=(И, О), Поскольку Š— множество длины нуль, на 5, можно писать, что 1!!(5) =)!!(5) = ~ Уйи з1пи(+йисозиЕЖ =2пй. ь Пример 2. В примере 4 9 1 было указано следующее параметрическое представление двумерного тора 5 в 1;Ф! г (ф, ф) = ((Ь+ а соз ф) с аз ф! (Ь+ а соз ф) з (п ср, а з( и ф). 7 В.
А. Зорич, ч. П Гл, Х11. ПОВЕРХНОСТИ И ФОРМЫ В Ел В области 0=((ф, ф)[0<ф(2п, 0(ф<2п) отображение (ср тр) с" (ф, ф) диффеоморфно. Образ 8 области 0 при этом ффе физме отличается от тора 5 на множествшЕ, состоящее — =2п. Множество Е из координатной линии ф=2п и линии тр= и. состоит, таким образом, из одной параллели и одного меридиана тора и, к ак легко видеть, имеет площадь нуль. Значит, площадь па а- тора можн на" Ь найти по формуле (5), исходя из прияеденного репах Обла- метрического представления, рассматриваемого в пред сти О.
Проведем необходимые выкладки: ГФ=.( — (Ь+аСОЗ»Р) З[исР, (6+аСОЗф)СОЗсР), ''/ =( — аз[пфсозф, — аз[пфз[пср, асозтр), Ф д„=(Р,», г )=(6+асозчр)з, дсз — — паз=(гч, гч)=0, дзз=(РФ, ГФ)=аз, с[е1 6 = ! усс ум! = аз (Ь'+ а соз ф)з. [ум узз ! Следовательно, зл зл [сз (Я) )сз (8) = ~ ссф ~ а (Ь+ а соз »[с) с[ф = 4паай. о о Отметим в заключение, что указанным в определении 2 спо- .Собом можно теперь вычислять также длины и площади кусочно гладких кривых и поверхностей. Задачи и упражнения 1. а. Пусть Р и Р†д гиперплоскости евклидова пространства Р', 0— пожзбласть Р, а 6 †ортогональн проекция 0 на гиперплоскость Р.
Пока- ,жите, -что [л-1) мерные площади 0 и Р связаны соотношением п(0) =п(Р)созе», где п — угол между гиперплоскостями Р, Р. Ь. Учитывая результат а, укажите геометрический смысл формулы и 1+(,")'+([')с ссх с!у для элемента площади срафика гладкой функпии г [(х, и) в трекмериом евклидовом пространстве. з ааа с. Покажите, что если поверхность 3 в евклидовом пространстве [2 задана в' форме гладкой вектор-функции г г(и, о), определенной в области Р ~ Р, то площадь поверхности 3 можно найти по формуле п(ь)-)) [[г„', Д[дпбп, о дг дг где [г'„, г„'1 †векторн произведение векторов— б.
П , что если поверхность Я ~ Р' задана уравнением Р (х, у, з)= = О, а область (С поверхности 5 взаимно однозначно ортогон но пр роверьте, то аль оектн- Ру есся на область 0 плоскости (х, у), то имеет место формула п[и) ~~ —, хду. г [лгаб Р ! 4 Е ПЛОЩ»дь ПОВЕРХНОсти 2. Найдите площадь сферического прямоугольника, образованного двумя параллелямн и двумя мериднавами 'сферы Л ~ [1».
3. а. Пусть (г, ср, Л) — цилиндрические координаты в [1з. Гладкая кривая, расположенная в плоскости ф=ср» н заданная там уравнением г=с(з), где »в натуральный параметр, вращается вокруг оси Ь. Покажите, что площадь поверхности, полученной вращением куска этой кривой, отвечающего отрезку [зс, аа) изменении параметра а, может быть найдена по формуле и 2л) г(а)с[к Ь. График гладкой неотрицательной функции у с(х), определенной на отрезке [а, Ь) <= сс», вращается сначала вокруг оси Ох, затем вокруг оси Оу. В каждом из этих случаев напишите формулу для площади соответствующей поверхности-вращения в виде интеграла по отрезку [а. Ь[. 4. а.
Центр шара радиуса 1 скользит вдоль гладнбй плоской замкнутой кривой, имеющей длину 1.. Покажите, что площадь поверхности образованного при этом трубчатого тела равна 2л 1 1.. Ь. Исходя из результата а, найдите площадь двумерного тора, полученного вращением окружности радиуса а вокруг оси, лежащей в плоскости окружности и удалевной от ее центра на расстояние Ь ) а. 6. Изобразите заданную в декартовых координатах (х, у, з) пространства Рз винтовую поверхность а ' л у — х1й — =О, [з[( — Ь 2 и найдите площадь той ее части, для которой ге~ха+уз~да ().г )л равен — л гэ, Г ~" +2) покажите, что — ~ =Ил з.
!,1 с. Найдите предел при л -»+со отношения площади полусферы [х ш ш Р'[[х [=1 д х" >О) к площади ее ортогональной проекции иа плоскость х" О. 7. а. Пусть хь ..., х» — система векторов в евклидовом пространстве [сх (л~й). Покажите, что определитель Грама этой системы может быть пред. ставлен 'в виде бе1((хь х))= ~, 'Р, 1<С»( ...<С» ч,л 'с". » сс, с»т Р, бе1 Оч а. Покажите, что площадь Г»л 1 ЕДИНИЧНОЙ СфЕРы в +СО п~ [ ~~(в« /л ! (л — 2)И а если л нечетно, то Г ~ — ) = 2 з Ь. ПРовеРив, что объем Рл(г) шаРа РадиУса г в [2л 2(~ ) Г~ ) ГЯ ( — )1, Гл. ХН. ПОВЕРХНОСТИ И ФОРМЫ ВЕ" % 3.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 19 Ь. Выясните геометрический смысл величин Р! 1 нз а и сформулируйте 1"' » результат задачи а как теорему Пифагора для произвольной размерности й, 1 ~ й ( и. с. Объясните теперь формулу дхг' дхг' др д!» !(11<...сс (» дх» дх" л дР ды а= ') о для плошади, заданной в параметрическом виде х=х(11, ..., !»), !»в 0 с Р й-мерной гладкой поверхности. 8. а, Проверьте, что в определении 2 величина !'» (а) действительно не зависит от указанного там способа разбиения 5 на гладкие куски 31, ...
Ь. Покажите, что кусочно .гладкая поверхность 5 допускает локально конечное разбиение на куски а», '..., Яи, ..., описанные в определенаи 2. с. Докажите, чта из гладкой поверхности 5 всегда можно так удалить множества Е площади нуль, что останегся гладкая поверхность Я=а '», Е, которая уже.может быть описана одной стандартной локальной картой йн 7-»3. 9. Длину кривой, подобно школьному определению дливы окружности, часто определяют как предел длин соответствующим образом вписанных в кривуа! ломаных. Предел берется при стремлении к нулю длин звеньев вписанных ломаных. Следу»ощий простой пример, принадлежащий Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
