В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 38
Текст из файла (страница 38)
7!. Пример 5. Если гибкую ленту (прямоугольник) склеить по стрелкам, указанным на рис, 71, а, то можно получить кольцо (рис. 71, с) или цилиндрическую поверхность (рис. 71, Ь), что с топологической точки зрения одно и то же (эти поверхности гомеоморфны). Рис. 72. Если же ленуу склеить по стрелкам, изображенным на рис. 72, а, то получим в Р поверхность (рис.
72, Ь), называемую в математике листом Мебиуса з). Локальные координаты на этой поверхности естественно вводятся посредством координат на плоскости, в которой лежит исходный прямоугольник. Пример 6. Сопоставляя изложен- ное в примерах 4 и „5, поддавшись ес- /,1 тественной аналогий, можно теперь предписать склейку прямоугольника 1 (рис.
73, а), объединяющую в себе и элементы тора и элементы листа Меу. э. биуса. Но подобно тому, как лист Рис. 78.. Мебиуса нельзя было склеить без раз- рывов или самопересечений, не выходя за пределы плоскости Р, так и 'предписанную склейку не удастся выполнить в (сз. Однако в (са это уже можно сделать и в результате получить в (сз поверхность, которую принято называть ") А. Ф.
Мебиус (1790 — 1868) — немепкий математин и астроном. бутылкой Клейма"). Попытка изобразить эту поверхность предпринята на рнс. 73, Ь. Последний пример дает некоторое представление о том,а(!то поверхность порой легче описать саму по себе, нежели ее же, лежащую в определенном пространстве И'.' Более того, многие важные поверхности (различной размерности) первоначально возникают не как подмножества 1с", а, например, как фазовые пространства 'механических систем, как геометрический образ непрерывных групп преобразований, как фактор-пространства относительно 'групп автоморфизмов исходного пространства, и так далее, и тому подобное.
Мы ограничимся пока этими первоначальными замечаниями, оставляя их уточнение до гл. ЪЧ, где будет дано общее определение поверхности, не обязательцо лежащей в (с". Но уже здесь, еще не дав этого общего определения, сообщим, что, согласно известной теореме Уитни *'), любую 'й-мерную поверхность можно гомеоморфно отобразить на некоторую поверхность, лежащую в пространстве .(сзз'1. Значит, рассматривая поверхности в (с", мы на самом-то деле ничего не теряем с точки зрения их топологического разнообразия и классификации. Эти вопросы, однако, лежат уже в стороне от наших скромных потребностей в геометрии.
Задачи и упражнения 1. для каждого из множеств Е„, задаваемых условиями - Е» — — ((х, у) еа Пз ~ х' — у' =а), Е» — цх, у. г) «м Из!ха — у'=ай Л Е« =((х, у, г) наР1х'+у' — гз а), Е» = (г еа С'11 г' — 1 1= с«Б з зависимости от значения параметра а «в (2 выясните: а) является ли Е» поверхностью; Ь) если да, то какова размерность Е»; с) связно ли Е». 2. Пусть й Па-«-1«ч-гладкое отображение, удовлетворяющее условию а. Покажите, что множестве 1((2") является гладкой поверхностью в Р'.
Ь. Какой характеристикой отображения 1 определяется размерность этой поверхиости7 З. Пусть еа, е„ ..., е„ вЂ” ортоиормированный базис в евклидовом пространстве Р'«4, х=хееа+х«44+ ... +х"е, (х) — точка (х', х', ..., х"), е„... ..., с„— базис в Р' «= П"«1. ') Ф. Х Клейн (1849 — 1925) — крупный немецкий математик, впервые строго обосновавший непротиворечивость неевклидовой геометрии. Знаток истории математики, один из организаторов издания 49нциклопедии математических науки **) Х Уитни (1907) †современн американский математик-тополог, один из создателей теории расслоенных пространств, Гл.
ХП. ПОВЕРХНОСТИ И ФОРМЫ В (О (7: $ г. ОРиентация пОВеРхнОсти й 2. Ориентация поверхности Рис. 74. Формулы х — хоео х — х ео о фо= — при х Ф е„фо= ! — хо ' !+хо при х чь — ео задают стереографические проекции ойг; Вл' (ео) -+(ел фо1 ол''~ ( — ео) +(чл иа точек (е,) и ( — е,) соответственно. а. Выясните геометрический смысл этих отображений. Ь. Проверьте, что если ! оы(ел и ! чьо, то (ф, ° ф-,') (Г) = —,„где оК' = =(фг 1,л,(о !) с. Покажите, что дае каРты ф,'=ф11 Рл-«ол'~,(ео), ф,'=фо1 (ол-« -«ял'ч( — е,) образуют атлас сферы ол ~ Рл"г.
б. Докажите, что любой атлас сферы должен иметь не менее двух карт. Напомним, прежде всего, что переход от одного репера е„ ... Е„ ПРОСтраиетна (,1л К друГОМу Е„ ..., Е„ ОСущсетВЛяЕтСя посредством квадратной матрицы (а'), возиикающбй из разложений еу=аг)еь ОпРеделитель этой матРицы всегда отличен от нУлЯ и все реперы пространства разбиваются иа два класса эквивалентности, если в один класс отнести реперы', для которых определитель матрицы взаимного перехода положителен. Такие классы эквивалентности называют классами ориентации реперов пространства Р.
Задать ориентацию (чл значит по определению фиксировать один из этих классов ориентации реперов Ял. Таким образом, ориенлгировиннов пространство Р' — это само пространство Р плюс фиксированный класс ориентации его реперов. Чтобы указать класс ориентации, достаточно предъявить любой его репер, поэтому можно сказать, что ориентированное пространство Кл — это (чл вместе с фиксироваяным в нем репером.
Репер в Кл порождает в Р систему координат и переход от одной такой системы координат к другой осуществляется матрицей (агг), транспонированной по отношению к матрице (а() связи реперов. Поскольку определители этид матриц одинаковы, можно было бы все сказанное выше об ориентации повторить на уровне классов оривнпигции систем координат в !сл, относя в один класс те координатные системы, взаимный переход между которыми осуществляется матрицей с положительным якобианом. Оба эти по 'существу совпадающие подхода к описанию понятия ориентации пространства Р проявятся и при описании понятия ориентации поверхности, к которому мы переходим.
Напомним, однако, еще полезную для дальнейшего связь между координатами и реперами в случае, когда речь идет о системе криволинейных координат. Пусть 6 и 0 — диффеоморфные области, лежащие в двух экземплярах пространства Кь, наделенных декартовыми координатами. (Х', ..., Х") И ((1, ..., (л) СООтВЕтетВЕННО. ДнффЕОМОрфИЗМ ф: 0-«6 можно рассматривать как введение в области 6 кри- ВОЛИНЕйНЫХ КООрдИНат ((1, .:, (л) ПО ЗаКОНу Х=гр((); т. Е.
тОЧКа х ен 6 наделяегся декартовыми координатами ((1, ..., (л) точки (=ф-ь(х) я О. Если в каждой точке Тя 0 рассмотреть репер ею ..., е„касательного пространства ТК", составленный из ортов координатных направлений, то в 0 возникнет' ноле реперов, которое можно рассматривать как разнесение по точкам О параллельно самому себе орторепера исходного пространства Р', содержащего область О. Поскольку ор: 0-о. 6 — диффеоморфизм, Отображение гр' (()! ТОг -о. Т6 <о касательных .пространств, ОСущЕСтВЛяЕМОЕ ПО ЗаКОНу ТО! =ЭЕ ф'(()Е=йеи Тбхг В КаждОй точке ( является изоморфизмом касательных пространств.
Зйачит, из репера еы ..., е„в ТО, при этом получится репер = ф'(()ею ..., $„=ф'(() е„в Т6„, а поле реперов на 0 преобразуется в поле реперов на 6 (рис. 74), Поскольку гр ~ ~ С!1'(О, 6), то векторное поле $(х) =$(ф(())=ф'(() е(() непрерывно в 6, если векторное лоле е(() непрерывно в О. Таким образом, любое непрерывное поле реперов (состоящее из и непрерывных векторных волей) при диффеоморфизме преобразуется в непрерывное поле реперов. Рассмотрим теперь пару диффеоморфизмов гр;: О! -«6, = 1 2 которые по закону х= орг((;) вводят в одной и той же 1 (л области 6 две системы криволинейных координат ((„..., ",) .и ((1 г.. (л), Взаимно обратные диффеоморфизмы 1рг орт'.
От-«Ог, г'"' г' фт ° ор,: О,— «О, осуществляют взаимные переходы между этими системами координат. Якобианы этих отображений в соответствующих друг другу точках областей 0„0, взаимно обратны и, следовательно, имеют один и тот же знак. Если область 6 (а ВМЕСТЕ С НЕЮ 01 И с)г) СВяэиа, тО ВВИду НЕПрЕрЫВНОСтИ И НЕ- обращения в нуль рассматриваемых якобианов они имеют один и тот же знак во всех точках областей О, и О, соответственно. Значит, все вводимые указанным способом в связной области 6 системы криволинейных координат распадаются точ)!о иа два класса эквивалентности, если в один класс отнести те системы, Гк Хп.
ПОВЕРХНОСТИ И ФОРМЫ В Ы $2. ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ взаимные преобразования которых осуществляются с положительным якобианом. Такие классы эквивалентности называют классами ориентации систем криволинейных координат в области 6. Задать ориентацшо в области 6 по определению означает фиксировать в б класс ориентации систем ее криволинейных координат. Нетрудно проверить, что принадлежащие одному классу ориентации системы криволинейных координат области 6 порождают в 6 (как это описано выше) такие непрерывные поля реперов, которые в каждой точке х ~ 6 лежат в одном классе ориентации реперов касательного пространства Тб„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
