В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Но сам промежу- ток 1 был по определению связан с системой декартовых коор- динат в )сл. Теперь мы в состоянии доказать Утверждение 2. Величина интеграла от функции ) по множеству Е с: (кл не зависит от выбора декарпювых координат В Рл, 4 Действительно, переход от одной системы декартовых коо- динат в (с к другой такой же системе имеет якобнан, по модулю л равный единице. В силу утверждения ! отсюда следует равенство ~ ) (х) дх = ~ () . ср) ()) д). ех е Но это и означает, что интеграл определен инвариантно: ведь если р — точка множества Е, 'х = (х', ..., хл) — ее координаты в первой системе, а ) = ()с, ..., )л) — во второй, а хллср()) — функция перехода от одних координат к другим, то )(р) =)„(х', ..., хл) =),(В, ..., )л), где П=) ° ~.
Значит, мы показали, что где Ех и Е,— запись множества Е в системе координат х и ) соответственно. Из утверждения 2 и определения 3 3 2 мер)я (Жордаиа) множества Ес:("," можно заключить, что эта мера не зависит от выбора системы декартовых координат в Я", или, что то же самое, мера Жордана инвариантна относительно группы движений евклидова пространства (с".
с. Нренебрежимые множества. Используемые на практике замены переменных или формулы преобразования координат иногда имеют те или иные особенности (например, где-то может быть нарушение взаимной однозначности, обращение в нуль якобиана или .отсутствие дифференцируемости). Как правило, эти особенности бывают на множествах меры нуль и потому для потребностей практики весьма полезна следующая Те о р ем а 2. ))усть ср: О~-ь О, — отображение измеримого (по Жордану) множества 04 с: Р~ на такое же множество 0„~(с,.
Предположим, что в Ос и О„можно указать такие множества 5„5„меры нуль (в смысле Лебега), что О,' 5, и О,' 5х— открьипые мноасества, а ср отображает диффеоморфно и с ограниченным якобианом первое из них на второе. Тогда для любой функции )" ее Я(0„) также () ° ср)',с!е1 ср'~~Я(0,",5~) и $ )(х)дххл ' $ (()«р)'де1ср' ~) ())д). (!О) Ох О,",3, Если, кроме того, величина .~с(е1ср'~ определена и'оераничена в Оь то ~ ((х)дх= ~ ((7 ср)1бе1ср ~) ()) д). (! 1) о .
О, 4 По критерию Лебега функция ) может иметь разрывы в Ох, а значит, и в Ох",5„лишь на множестве меры нуль. Образ Гх ХС КРАГНЫЕ ИптЕГРАЛЫ этого множества точек разрыва при отображении (р-'. О„" 5„-+- -+Ос ', 5, по лемме ! является множеством меры нуль в О, '~ ЯР Таким образом, соотношение (1 (р)!де1(р'~ ях2с (О ',5) будет не медленно следовать из того же критерия Лебега интегрируемо( сти функции, если мы. установим, что множество О,' 5, измеримо. То, что это действительное измеримое по Жордану множество, будет побочным продуктом проводимых ниже рассуждений. По условию Ох '; 5, — открытое множество, поэтому (О 5„) П ПдЯ„=(7), значит, дЯ„сд0,()5, и; следовательно, дО„()5„= = д0„05„, где Я„=Я„()д߄— замыкание в (х„"' множества 5„. ,Получается, что дО„() 5, есть замкнутое ограниченное множество, т. е.
компакт в Р", который, как объединение двух множеств меры нуль, сам является множеством меры нуль в смысле Лебега. Из леммы 3 9 ! нам известно, что тогда множество д0„() 5„ (а вместе с ним и 5„) имеет объем нуль, т. е. для любого е) 0 найдется такое конечное покрьпие 1„..., 1, этого множества промежутками, что ~ !1(!(А. Отсюда, в частности, следует, что с=( множество 0„'~5, (и аналогично.множество Ос'~5() измеримо по Жордану: ведь д(0„ь 5 ) сдО„()дЯ„с д0„(! 5„. Покрытие 1„..., 1„очевидно, можно выбрать еще и так, чтобы любая точка х еид0„' 5 была внутренней точкой по крайней мере одного из промежутков покрытия. Пусть (1„= (1 1ь Множество (1„измеримо, как и множество (г = 0„'~(1„.
По построению множество )г„таково, что (г„с 0„' 5х, и для любого измеримого множества Е, с:Ох, которое содержит компакт )г, справедлива оценка ! 1 с(*(с* — ! с(*( ~ — ~ ! с(*( с ~ ~ к к. ! Ох 'Ех (Мр(0 '~,Ек)<М е, (!2) где М= зпр 1(х).
хыпк Прообраз )гс = (р-2 ()г ) компакта г', является компактом в 0" 5. Р Рассуждая, как и выше, можно построить измеримый компакт йг„подчиненный УсловиЯм )с( с й(гс с: Ос'~5( и обладающий тем свойством, что для любого измеримого множества Е, такого, что )Р'с с Е, с О;~Я„выполняется оценка ((с м(с (, орпа-1((с м(с.(~'(((((х) - . пи(( О,,З, ес Пусть теперь Ех=(р(Е,). Для множеств Е„сО;~Я„и Е, с: с с'~Яс .по утверждению 1 имеет место формула (9).
Сопоставляя соотношения (9), (12), (13) и учитывая произвольность величины е)0, получаем равенство (10). $5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ИНТЕГРАЛЕ Докажем теперь последнее утверждение теоремы 2. Если функция (! ч() ~ де1(р'~ определена на всем множестве О„то, поскольку Ос'~5( открыто в Рс, все множество точек разрыва этой функции на О, состоит из множества А тачек разрыва функции (!. (р) ! де1 (р' ~ ~о,з, (сужения исходной функции на множество Ос'~ Яс) и, быть" может, некоторого подмножества В множества 5,!) дОР Множество А, как мы видели, является множеством меры нуль по Лебегу (ведь интеграл в правой части равенства (10) существует), а поскольку Я,()д0, имеет объем нуль, то это же можно сказать про множество В. Значит, достаточно знать, что функция (! ° (р) (((е1 (р' ! ограничена на О„как по критерию Лебега получится, что 'она интегрируема на О,.
Но !1 (р~ (1) (М на Рс, поэтому функция (1 ° (р)(де1((('! ограничена на 5„ коль скоро функция ~де1(р'( по условию ограничена на Яо Что же касается множества Ос'~5„ то на нем функция (1 ° (р)~с1е1(р'~ интегрируема и, значит, ограничена. Итак, функция (! ° ч()~де1 4('~ интегрируема на ОР Но множества О, и Ос'~5( отличаются лишь иа измеримое множество Я„объем которого, как было показано, равен нулю. Значит, в силу аддитивности интеграла и обрасцения в нуль интеграла по 5, можно заключить, что правые части равенств (10) и (11) в рассматриваемом случае действительно совпадают.
Пример. Отображение прямоугольника 1=((г, (р) еи!х2(0( (г()А1(10 =.Ч>~2п) на круг К=((х, у) еи 0)х2+уА~У~, задаваемое формудами (14) . х = г с 05 (!(, у = с' 5! п (((, не является диффеоморфизмом: вся сторона прямоугольника 1 на которой г = О, переходит при этом отображении в одну точку (О, О); образы точек (г, 0) в (г, 2п), совпадают. Однако если рассмотреть, НаПрИМЕр, МНОжЕСтВа 1" д! И кь'",Е, ГдŠŠ— ОбЪЕдИНЕНИЕ Границы дскс: круга Л' и радиуса, идущего в точку (О, )х), то сужение отображения (14) на область 1;„д1 окажется ее диффеоморфизмом на область Ю' Е. Значит, по теореме 2 для любой функции !~ЕМ'(Ю) можно написать, что ~ ~ 1 (х, у) с(х с(у = ).
) 1(г соз (р, г 5! и р) г с(г с!(р УР или, применяя теорему Фубини, 2(( и ~ ~ ! (х, у) дх с(у = ~ Йр ~ ! (г соз (р, г 5 (п (р) г дг. РР о . О Соотношения (14) суть хорошо известные формулы перехода от полярных координат к декартовым на плоскости. Гл. Х! КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ % а. зАменА пеРеменных в интеГРАле Сказанное можно, естественно, развить и применительно к общей полярной (сферической) системе координат в (ч"., которую мы рассматривали в части (, где был указан также якобиан перехода от полярных координат к декартовым в пространстве (,!" любой размерности.
Задачи н упражнения 1. а. Покажите, что лемма ! справедлива для любого гладного отображе ния ф: Ог-» 0„(см. в этой связи также задачу 8). Ь. Докажите, что если 0 — открытое множество в (2т, а ф щ Со' (О, (/л) ' го ф(0) при т(п является множеством меры нуль в Р'. 2. а.
Процерьте, что мера измеримого множества Е и мера его образа ф (Е) прн диффеоморфизме ф связаны соотношением р (ф (Е)) =бр (Е), где я щ щ / /п! ~ бе1ф (1) !, впр ! бе! ф' (1),~ ( !ЕЕ !та Ь. В частности, если Š— связное множество, то найдется такая точка т щ ге Е, что р (ф(Е)) =! бе! ф'('с) ~ )» (Е). 3. а, Покажите, что если формула (3) справедлива для функции /Рн !г то она верна и в общем случае. Ь. Проведите вновь доказательство теоремы 1, но для случая 1=1, упро- щая его в этой специальной ситуации. 4. Не опираясь на замечание 2, проведите доказательство леммы 3, считая известным лемму 2 и равенство интегралов от двух интегрируемых функций, отличающихся лишь на множестне меры, нуль 5. Вместо свойства аддитивности интеграла и сопутствующего его исполь- зованию анализа измеримости множеств, при сведении формулы (3) к ее локаль- ному варианту (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
