В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Н- Гл. Х1. КнхтНЫВ ИитятрЛЛЫ 130 % «. свидании кратного интеграла к повтопномк 13! Оно вытекает из неравенств ту(х) «/(х)д(х)«/)4д(х) с учетом линейности интеграла и следствия 1. Его можно доказать и непосредственно, если перейти от интегралов по Е к соответствующим интегралам по промежутку, проверить неравенства для интегральных сумм, а затем перейти к пределу.
Поскольку все эти рассуждения уже подробно проводились в одномерном случае, мы на деталях не останавливаемся.' Отметим лишь, что интегрируемость произведения / у функций / и д„очевидно, вытекает из критерия Лебега. Продемонстрируем теперь полученные соотношения в работе, проверив с их помощью, что справедлива следующая полезная Лемма. а) Если интеграл от неотрицательной на промежутке 1 функции /: 1- Р равен нулю, то /(х)=0 почти во всех точках промежутка 1. Ь) Утверждение а) остаетсл в силе, если промежуток 1 в нем заменить любым допуапимым (т. е. измеримым по Жардану) множеством Е.
4 По критерию Лебега' функция /епеУ(1) 'непрерывна почти во всех точках промежутка 1, поэтому доказательство утверждения а) будет закончено, если мы покажем, что /(а) =0 в любой точке а ~1, в которой функция / непрерывна. Предположим, что /(а)» О. Тогда /(х)»с) О в некоторой окрестности (/г(а) точки а (окрестность (/г(а) можно считать промежутком). Значит, по доказанным свойствам интеграла ')/(х)с(х= ~ /(х)дх+ ~ /(х)«(х» ~ /(х)с(х» Уг га> ° г;и,гл! ода) » ср ((/г (а)) О.
Полученное противоречие проверяет справедливость утверг ждения а). Если применить это утверждение к функции /)(е и учесть, что р(дЕ)=0, то получим утверждение Ь). 3, Замечание 2. Из доказанной леммы следует, что если Е— измеримое по Жордану множество в )сл, а ьж (Е) — рассмотренное » в замечании 1 линейное пространство классов эквивалентных функций, интегрируемых на Е и различающихся лишь на множествах меры нуль в смысле Лебега, то величина 1/1= ~1/1(х)дх является нормой на еФ(Е). 4 Действительно, ведь из равенства .
~ )/~ (х)«/х О, теперь Е можно заключить, что / лежит в том же классе эквивалентности, что и функция, тождественно равная нулю. Зацачи н упражиенна 1. Пусть Š— измеримое по жордану множество ненулевой меры, а /: Е -»- 11- непрерывная, неотрицательная интегрируеиая функция на Е и М = зпр /(х). хе е Покажите, что !пп /(/»(х)лх)'/"=34. л сл~й 2. Докажите. что если /, е «и е)Р(Е), то спРаведливо а) неравенство Гельдера 1-/( )(/ 3)(х)ех! «/1!/!р(х) е )па/ ~!а!т(х) ех)'/« и (е / !и 1 1 где р»1, 4»1 н — + — 1; Р Ч Ь) Неравенство Минковского ( ( ! /+Е !и (х) рх) цп =- / ( ! / !р (х) Ех) 'т+ / ( ! а !р (х) Ех) пр и / (й / ~й / если р»1, Покажите, что с) предыдущее неравенство меняется на противоположное, если 0 «р «1; б) знак равенства в неравенстве Минковского имеет место тогда и только тогда, когда существует число Хне 0 такое, что с точностью до множества меры нуль на Е выполнено одно из двух соотношений /=ХЕ или Е=)г/; 1) величина 1/)е=Ц!/!р(х)ех)~/р при р»-1 являетси нормой в про.
странстве е)г (Е). Выясните, при каких условиях в неравенстве Гйльдера имеет место анан равенства. 3. Пусть Š— измеримое по Жордану множество в (3», причем р(Е) » О. Проверьте, что-если «р «в С (Е, Щ, а /: Г«-» Г« †выпукл функцня, то <р (х)лх «1 (/.<р) (х) Ех. 4. а. Покажите, что если Š— измеримое по Жордану множество'в Пл, а интегрируемаа на нем функция /: Е -» Р непрерывна в его внутренней точке а ш Е, то 1 Ош ~ /(х) ах=/(а), а-+ (//' (а)) и 1»! где, как обычно, (/ае(а) обозначает.б-окрестность точки в множестве Е, Ь.
Проверьте, что предыдущее соотношение остается в силе, если усло- вие «а — внутренняя точка Еа заменить условием р((/е (а))» 0 для любого б»0, 9 4. Сведение кратного интеграла к повторному 1. Теорема «Рубини *). До сих пор мы 'говорили об определе нии интеграла, условиях его существования и его общих свойствах. Здесь будет доказана теорема, которая наряду с теоремой о замене переменных является инструментом для вычисления кратных интегралов. ») Г.
Фубини (!870 — 1943) — итальянский математик. Его основные труды относится к теории функиий и геометриа в» Гл. Х!. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Э 4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ (з: Теорема *). Пусть Х х У вЂ” промежуток в )ч '", являющийся пряным произведением промежутков Х с (ч и У с- Р. Если функ)(ия /: Х х У вЂ” )ч интегрируема на Х хУ, то интегралы ! )) . «)з «ч.
(з*!))*. ч)«ч, !«ч !)), ч)«*~ кху к У Х существуют одновременно и равны между собой. Прежде чем браться за доказательство теоремы, расшифруем смысл входящих в ее формулировку символов. Интеграл ~ / (х, у) йх йу — это записанный в переменных кху к я Х, уев У знакомый нам интеграл От функции / по промежутку Хх У. Символ ~ йх ~ / (х, у) йу следует. понимать следующим образом: к при фиксированном значении х ее Х вычисляется интеграл Р(х)= = ~/(х, у)йу по промежутку !', а затем полученная функция Р: Х- Р интегрируется на промежутке Х.
При этом, если для некоторого к ~ Х интеграл )/(х, у)йу не существует„то Р(х) полагается равным любому числу между У' (х) = ~ /(х, у) ((у и У ' у'(х) = )/(х, у)((у, не исключая и самих значений 1(х), 1(х) нижнего и верхнего интегралов. Будет показано, что тогда Р~ Й агг (Х). Аналогичный смысл имеет символ ) йу )/(х, у)йх. к В процессе доказательства те(зремы выяснится, что совокуп.
ность тех значений хан Х, для которых 1(х)~,/(х) является множеством т-мерной меры нуль в Х. Аналогично.и совокупность тех уев У, при которых интеграл ~/(х, у) йх может не существовать, окажется множеством к и-мерной меры нуль в У. Заметим, наконец, что, в отличие от интеграла по (т+л)- мерному промежутку Х х У, который мы в свое время условились называть крапщым интегралом, последовательно вычисляемые интегралы от функции /(х, у) по У, затем по Х, или по Х, ') 3га теорема была доказана задолго до появления известной и (сории функний Теоремы Фубини, частным случаем которой она авлиетск.
Однако тео ремы, позволя«)еие сводить вычисление кратных интегралов к повторному ин. (егрирование в л)еныних размерностях, принято называть теоремами типа гео. ремы Фубини или, дла краткости, теоремами Фубини. а затем по У, принято называть повторными интегралами от этой функции. Если Х и У вЂ” отрезки прямой, то сформулированная теорема в принципе сводит вычисление двойного интеграла по промежутку' Х х У к последовательному вычислению двух одномерных интег- ралов. Ясно, что, применяя эту теорему несколько раз, можно.
свести вычисление интеграла по й-мерному промежутку к после- довательном)ь вычислению й одномерных интегралов. Сущность сформулированной теоремы очень проста и состоит в следующем. Рассмотрим интегральную сумму ~ /(хь уу) х (,( х!Х;! !Уу), отвечающую разбиению промежутка ХхУ на про- межутки Х;х Ур Поскольку интеграл от / по промежутку Х хУ существует, то отмеченные точки $(уыХ(хУ( можно выбирать по своему усмотрению, и мы их выбрали как «прямое произведе- ние» выборов х( ее Х; с Х и уу я Уу с: У. Тогда можно записать, что ~ч,' / (х„уу) ! Х( ! ! Уу ! = ~ч,' ! Х; ! Я / (х(, уу) ! У( ! и« (,( ( =~К,'!У,! у,'/(х( у)!Х,! ( а это и есть допредельный вид нашей теоремы.
Дадйм теперь ее формальное доказательство. 4 Любое разбиение Р промежутка ХхУ индуцируется соот- ветствующими разбиениями Р»„Р„промежутков Х и У, При этом каждый промежуток разбиения Р есть прямое произведение .Х(хУу некоторых промежутков Хь У( разбиений Рх, Ру соот- ветственно. По свойствам объема промежутка !Х;х Уу!=!Х(! (Уу), где каждый из объемов вычисляется в том пространстве Р+", (к", (с«, которому принадлежит рассматриваемый промежуток.
Используя свойства нижней и верхней граней, а также опре- деления нижних и верхних интегральных сумм и интегралов, проведем теперь следующие оценки: а(/, Р) = = ~ч', !п! /(х, у)!Х(х Уу!=-. 'Я (п! ('3', (п! /(х, у)!У,!)!Х(!и- ( «ЕХ( ..Х,( У.У, УЕУ( и- ~ч', (п!( ~/(х, у)йу1! Х()~,У', (п! Р(х) ! Х(! ~ «ЕХ е: )', эцр Р(х)!Х(!»,х,' зпр (~/(х, у)йу)!Х(!~ «Е», ~~ зпр ('У', зир /(х, у) ! У(!)! Х(!»; «Е»(( ( ЧЕ) Я зпр / (х, у) ! Х( х У( ! = 5 (/, Р). (,) «ек( УЕ ) ( )з, Гд Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2 (. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ Поскольку ~оддс (Хх у'), то при А(Р)- О оба крайних члена этих неравенств стремятся к значению интеграла от функции по промежутку Хх)/.
Это обстоятельство позволяет из написанных оценок заключить, что Р ~ ой'(Х) и что имеет место равенство /(х, у)((х((у= ')Р(х)((х. хху Мы провели доказательство в случае повторного интегрирова. 'ния по )', а затем по Х. Ясно, что аналогичные рассуждения можно провести и в случае, когда сначала идет интегрирование по Х, а затем по )/. )Р 2. Некоторые следствия. СЛЕдСтВИЕ 1. ЕСЛи / ОН о27 (Х Х У'), та При ПОЧти ВСЕХ (в смысле Лебееа) значениях х~ Х интеграл )/(х, у)((у суи(ествует и при почти всех значениях у ев )' суи(ествует интеграл ~((х, у)с(х. х 4 По доказанной теореме 1/1/(*, 1)дд-(/1,, г))д -о. хат У Но стоящая в скобках разность верхнего и нижнего интегралов неотрицательна.
На основании леммы из 5 3 можно заключить, что эта разность равна нулю почти во всех точках хан Х. Тогда по критерию Дарбу (теорема 3 Э 1) интеграл )/(х, у)дх У существует почти при всех значениях хы Х. Аналогично доказывается и вторая часть сделанного утверждения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
