В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Следствие 2. Если промежуток )с:Р" яв)яется прямым 'произведением отрезков !1='(а', ()/], 1'=1, ... „и, то- ьл Ьл ' ~Г(х) дх= ~ ((х" ~ ((х"-1... ~ ~(х), х', ..., хл)((х). / дл дл-1 д! 4 Эта формула, очевидно, получается повторным применением доказанной теоремы. Все внутренние интегралы а правой части понимаются, как и в теореме.
Например, всюду можно поставить знак верхнего или нижнего интеграла. Ь Пример 1.-Пусть /(х, у, «) го(п(х+у). Найдем интеграл от сужения этой функции на промежуток 1 с=Р, определяемый соотношениями Оч,,х~п, (у! ~щ2, Оа.«~1 По следствию 2 1 к/2 к 1 ) ) 1(х, у, г)((х с(у ((г = 1 дг 1 ((у ~ г з)п / о -к/г о юг =)((г $ ( — гсоз(х+У)) о) дУ= Π— к/2 1 =) (2«21п о (х+ у) ((х = 1 к/2 )((г ~ 2«созу((у= о — к/2 1 у~'/2 )дг =') 4«д«=2.
о Доказанную теорему можно использовать и для вычисления интегралов по достаточно общим множествам. Следствие 3. Пусть 0 — ограниченное множество в Рл ', а Е=((х, у) енй" ~(хи)0) Л((р,(х)(у~фо(х))). Если/еой(Е), то од (х) )Г(х, у)((х((улл ~((х ~ ~(х, у)((у. б о '21 (х! 4 Пусть Ех=((х, у)вне")ф)(х)(у~ф;(х)), если хяР и Е,= 8 при х~ФР.
Заметим, что )(е(х, у)=)(о (х) уе (у), Вспоминая определение интеграла помно)((еству и используя теорему Фубини, получаем $~(х, у)((х/(у= 5 ~у„в(х, у)((хдулд а /~е ((Х ~ /йа(Х, у)((у= /1( 11/'(Х у)КЕ„(у) "У)ХО(Х) "Хлл ~ах /эд (х) / од (х) ) (х, у) с(у 11(о (х)((х = (( $ /'(х, у) ((у ((х / о,(х) о о1(х) Внутренний интеграл здесь тоже может не существовать на некотором множестве точек х ~ О меры нуль в смысле Лебега, и тогда ему приписывается тот же смысл, что и в доказанной теореме Фубини.
Заме чан не. Если в условиях следствия 3 множество Р измеримо по Жордану,' а функции ф/: 0-~(к, 1=1, 2; непрерывны, то множество Е ~ Р" измеримо по Жордану. 4 Граница дЕ множества Е состоит из двух графиков непрерывных функций ф/: Р-~-ГК), 1=1, 2 (являющихся в силу Примера 2 э 1 множествами меры нуль), и части дЕ прямого произведения границы д0 множества 0 ~ Я" ' на достаточно большой одномерный отрезок длины 1.
По условию дР можно покрыть системой (и — 1)-мерных промежутков, сумма (и — 1)-мерных объемов которых будет меньше В(1. Прямое произведение этих промежутков на выбранный отрезок (длины 1) даст покрытие множества дЕ промежутками, сумма объемов которых меньше а. )Р 66 Гл. Х!. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 4 <. ОВедение кРАтнОГО интеГРАлА к пОВтОРнОму 1З )и (Е) = ~ (фи (х) — <р, (х)) <(х. о (2) П р и м е р 2.
Для к р уга Е = [(х, у) Й )Яя ) х'+ у' = г') по этой формуле получаем р(Е)= 5 Ь'"-у'-[ — Уг'-у'))йу=2 1 У '-у'ду= и -т л/2 л/2 = 4 Г)) гга — узду=4 ~ г сов фдггдп <р= 4гя ~ созифс(ф=пга. а е а Следствие 5. Пусть Š— измеримое множество, лежащее в промежутке 1~2<". Представим 1 в виде прямого произведения 1=1„к!, (и — 11-мерного промежутка 1, и отрезка 1 . Тогда при почти всех значениях уе ен 1„сечение Е„, =((х, у) ен Е1у=уе) мнот" жества Е (и — 1)-мерной еиперплоскостью у = уа является измеримым ее подмножеством, причем )< (Е) = ~ Й ( Еи) "у (3) ! где р (Е„) — (и — 1)-мерная мера множества Е„, если оно измеримо, и любое число между числами ~1 дх и ~ 1 дх, если Е„оказа- ' Е Е и /юсь неизмеримым множеством.
4 Следствие 5 вытекает непосредственно из доказанной теоремы и следствия 1, если положить в них 1=1(е и учесть, что )(е (х у) = )(е„(х) ' )(/„(у) Отсюда, в частности, получается С лед с тв и е 5 (принцип Кавальери ")). Пусть А и  — 'два тела в пространстве (ка, имеющие объем (т. е. измеримые по Жордану). Пусть А,=[(х, у, г) ы А)'г=с) и В,=)(х, у, г) ен В) г=с) — сечения тел А и В плоскостью 2=с. Если при каждом с е= 1< множества А„В, измеримы и имеют одинаковую площадь, то тела А и В имеют одинаковые объемы. ") Б. Каяальеря (1698 в 1647) — ятальяяскяй математик, автор так мазыааемого метода педелямык для определения плошадей я объемоа.
На основании. этого замечания можно сказать, что на измеримом множестве Е такой структуры (как и на любом измеримом множестве Е) функция ): Е- 1 ~Я интегрируема. Опираясь на следствие 3 и на определение меры измеримого множества можно теперь заключить, что справедливо Следствие 4. Если в условиях следствия 3 множество Е измеримо по Жордану, а функ<(пи ф!: 0- Я, !=1, 2, непрерывны, . то множество Е измеримо и его объем можно вычислять по фор- муле ,Ясно, что принцип Кавальери можно сформулировать и для пространства 1<" любой размерности.
Пример 3. Используя формулу (3), вычислим объем У„шара В=(х~Я"))х)(г) радиуса и в евклидовом пространстве Я". Очевидно, У,=2г. В примере 2 мы нашли, что Уа пг'. По. кажем, что У„=с„ги, где гл — постоянная (которую мы ниже вычислим). Выберем какой-нибудь диаметр [ — г, г! шара и для каждой точки хан [ — 'г, г] рассмотрим сечение В, шара В гиперплоскостью, ортогональной выбранному диаметру. Поскольку В„ есть шар размерности и — 1, радиус которого по теореме Пифа.
гора равен угг' — х', то, действуя по индукции и используя формулу (3), можно написать: и и — 1 / л/2 и.= 1,[и — и!~о=(, 1 *итие)~. — т — Л/2 (При переходе к последнему равенству, как видно, была сделана замена х=гз!пф.) Итак, показано, что !',=с„г", причем л/2 с„=с„, ) соз" фйф. (4) — л/2 Теперь найдем постоянную с„в явном виде. Заметим, что при т'=»2 л/2 л/2 соз" <р с(ф = ~ соз"-'ф (1 — 2!Пи !р) йф = — л/2 -л/2 ле!2 =1, + — ! Гдп <р д соз ' <р = 1, — — 1, — л/2 ' т.
е. имеет место рекуррентное соотношение т — 1 1м= ! -2. м- (5) В частности, 1,=и!2. Непосредственно из определения величины 1 видно, что 1,=2. Учитывая эти значения 1, и 12» из рекуррентной формулы (5) находим, что (2й)И (2й — 1)И !<и+! — — (2ь+1)1, ° 2, 1яа — — 2/)1, п. (6) Возвращаясь к формуле (4), теперь получаем (2я)И (22]И 2 (2я — 1)И (2л) 2"+! 22 (2й+1)И аи ! (2Ь+1)И 12й)И ''' ! (2Ь+1)И ° (2й — 1)и 122 — 1)и (2й — 2)и, (2л)"-< с а=с ! — и=с,и, .
и. — 2= ... ='си-»-- 2, (2Ь)11 (2й)И (2й — ЦИ ' ' ' (кй)И !31 4 3 злменА пеРеменных В интеГРАле Гл. Х1. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Но, как мы видели выше, с,=й, а сз=п, поэтому окончательные формулы для иокомого объема Ул таковы: Умы=2 йь+!)и Г'ьл", Узь = (уь!! Г", где й~р[, причем первая из этих формул справедлива и при 1=0.
Задачи и упражнения 1. а. Постройте такое подмножества квадрата 1 ~ [!з, что,'с одной стороны, его пересечение с любой вертикальной и любой горизонтальной прямой состоит не более чем из одной точки, а, с другой стороны, замыкание этого множества совпадает с 1. Ь. Постройте функцию /: 1 -ь Р, для которой оба участвующих в теореме Фубини повторных интеграла существуют и равны между собой, в то время как / л е)лз (1). с. Панажите на примере, чта если значения участвующей в теореме Фубинн функции Е(х), подчиненные там условиям еу (х) ~у (х)~ ау (х), в точ.
ках, где ат (х) ( чу (х), просто положить равными нулю, то функция р может оказаться неинтегрируемой. (Рассмотрите, например, в [!з функцию /(х, у), равную единице, если точка (х, у) щи не является рациовальной, и равную 1 — !/д в рациональной точке (р/д, гл/л), где обе дроби несакратимы.) 2. а. В связи с формулой (3) покажите, что если все сечения ограничен. ного множества Е семейством параллельных гиперпласкостей измеримы, та зто еще ие означает, что Е измеримо.
Ь. Пусть в дополнение к условиям а известна, что функция р (Е„) из формулы (3) ннтегрируема на отрезке /ю Можно ли в этом случае утверждать, что Š†измерим множество? 3. Используя теорему Фубини и положительность интеграла ат.положи. дз/ дз/ тельной функции, дайте простое доказательство равенства — = — сме. дх ду ду дх шанных производных, в предположании, что они являются непрерывными функциями. 4. Пусть /: 1, ь -ь Р— непрерывная функция, определенная на проме.
жутке /л,ь= [х ~а Рл ! а1 ~ х'~ Ы, з= 1, ..., и), а функция Е; /л,ь -л Р, определена равенствам Е(х)=' $ /(1)й/, /л,л \ где 1,х ~ /,ь Найдите частные производные этой функции по переменным Б. Определенная на прямоугольнике /=[а, Ь)х[с, и[ ~Из непрерывная д/ функция /(хгу) имеет непрерывную в 1 частную производную —. ду' ь а. Пусть Е (у) =)г'/ (х, у) йх.
Исходя из равенства Е (у) = ~ ~ 1' — (х, !) й/.!- Г. д/ ~,1 д/ л + /(х, с) йх, проверьте правило Лейбница, согласно которому Е' (у) ь ~ — (х, у) йх. Г д/ .~ ду л Ь. Пусть 6 (х, у) = ) / (1. у) й/. Найдите — и —, дп дп дх ду ' Л 1у1 с. Пусть Н(у)= ) /(х, у)йх, где Ь щС'!' [а, Ь[. Ивйдите Н'(у). л а. Рассмотрим последовательность интегралов л Ез(х)=~/(у)йу, Ел(х)= ! — /(у)йу, л (х — у)" 1 л! где /~ С(Р, Щ.
а. Проверьте, что Е„'(х)=Ел, (х)! Е/А1(0)=0, если Ь~л! Е!л+!1(х) = ' = 1(х) Ь. Покажите, что х к, "л — 1 к ! )" л... [ ~ьйл; — (Л-Л ~ЛИи. Т. а. Пусть /: Е -ь Р— функция, непрерывная на множестве Е = = цх, у) !м аз!0:6х( ! /! 0<у~я). данажите, что 1 х ! 1 ) йх [/(х, у) йу= [ йу ~/(х, у) йх.
о б Ь я ал з!ах Ь. На примере повторного интеграла ~ йх ) ! ° йу объясните, почему не э каждый повторный интеграл является расписанным по теореме Фубини двой. ным интегралом. $ 5. Замена переменных в кратном интеграле 1. Постановка вопроса и эвристический вывод формулы замены перез енных. Рассматривая интеграл в одномерном случае, мы получили в свое время важную формулу замены переменной в таком интеграле. Теперь наша задача состоит в том, чтобы найти формулу замены переменных в общем случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
