В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 34
Текст из файла (страница 34)
е. к проверке формулы для малой окрестности точек отобра- жаемой области) можно пользоваться другим приемом локализации, основан ным йа линейности интеграла. а. Если гладкие 'функции г„..., в» таковы, что О«г! «1, ! =1, ..., й, » / '» а ~ в,(х)=1 на 0„, то ) ~ ~ вг/ (х)ах= ) 1(х)дх для любой функции О,г=! / О„ / ~- =еа (Ол). Ь Если вирра! лежит а множестве (/ с 0„, то ) (в;/) (х) ух= ) (в!/) (х) дх о„ и с. С учетом лемм 3 и 4 н свойства линейности интеграла из а и Ь можно вывестн формулу (3), если для любого открытого покрытия (//а) компакта а=вирр/ с О„построить такой набор гладких в 0» функций г„..., г„, что » О«вг«1, 1=!...., й; ~ г»=1 на ИГ; идля лгобой функции в! щ (г!) пай!= ! дется мнгякество Пв! щ (//а) такое, что зпрр г; с / а! Набор (в!) в этом случае называют раэбиенигм гдалина на компакте гЕ„ подчиненным йохрьгтию 1 ю 6.
Эта задача содержит план построения того разбиения единицы, о кото. ром шла речь в задаче 5. а. Постройте функцию /щС'~! ((7, (2) такую, что /!! ! ! Ец! и апрр/с с ( — ! — 6, 1+ 6), где б ) О. Ь. Постройте функцию /щС'в" ((/», Г/) с указанными в а свойствами для единичного кубика в (2» и его б.раздутая, с. Покажите, что для любого открытого покрытия компакта вль"с )Эл существует гладкое разбиение единицы на й, подчиненное этому покрытию д. В развитие с постройте С'"ьразбиение единицы в (/в, подчиненное локально конечному открытому покрытию всего пространства.
(Локальная конечность покрытия означает, что любая гочка покрываемого множества, в данном случае (2в, именг окрестность, пересенающуюся лишь с конечным числом элементов покрытия. Длй разбиения единицы, содержащего бесконечное число функций (г;), вводится требование, чтобы любая точка множества, на котором это разбиение строится, принадлежала не более чем конечному числу носителей функций системы (г!) При этом условии не возникает вопросов о том, н каком смысле понимать равенство ~в!= — 1, гочнее, стоящую а его г левой части сумму.) 7.
Несколько иное а сравнении с изложенным доказательство георемы 1, опирающееся на возможность (/Ьзложения лишь линейного отображения в композицию простейших и более близкое к указанным а п ! эвристическим соображениям, можно получить, доказав последовательно следующие утверждения. а. !1роверьте, что при простейших линейных отображениях /х Рв-»Р' вида (х', ..., х", ..., х")» (х', ..., х" ', лх», х»л', ..., х"), л ~ О и (х', ...
..., х», ..., хл)» (хЕ ...., х»-т, х»-1-хй х»'Ь ..., х") для любого измеримого множествз Е с (/л выполнено соотношение р (/. (Е)) = де! 0 ( р (Е) и докажите, что это соотнслпение справедливо для любого линейного отображения /и»?™ -» (Используйте теорему Фубини и возможность' разложения линейного преобразования в -композицию указанных простейших.) Ь. Покажите, что если ф: О,-» 0 — диффеоморфизм, то для любого измеримого компакта их сх О, и его образа ф (эгь') имеет место соотношение И(ф(т~)) « ~ бе! ф'(1) )г/1. (Если а щ О,, то ВОР' (а)) ' и в представлении к! ф (1) =(гр' (а) ° (гр' (а))' - ф) (1) отображение р' (а) линейное, а отображение (ф' (а)) ' ° ф близко к тождественному в окрестности точки а,) с. Покажите, что если рассматрнваемая в теореме 1 функция / неотрицательна, то $ /(х) йх « ~ ((1 ° ф) ~ Йе1ф' !)(1) д/ о„ О( Ф Применив предыдущее неравенство к функцнн (/ ° <р) ! бе! гр' ! и отобра.
жению ф '; Ол -» О„покажите, что для неотрицательной функции 1 формула (3) верна. е. Представив функцаю 1 из теоремы 1 а виде разности интегрируемых неотрицательных функций, докажите справедливость формулы (3). В. Л е м м а С а р да. Пусть Р— открытое множество в (гл, ф щСн'(Р, (гл) и 5 — множество критических точек отображения ф. Тогда ф (Е) являгтгл ннажггтвом мгрлг нуль (в смысл» Лгбгги).
Напомним, что критической точной гладкого отображения ф области О с с )чт в пространство (/л называлась такая точка х щ Р, в которой гапйф' (х) < «пнп (т, и). В случае т=а это равносильно условию де1 ф' (х) =О. а Проверьте лемму Сарда для линейного отображения. Ь. Пусть / — промежуток в области О, а ф гц Сн' (Р, (/в). Покажите, что существует такая функция а(й), а: (2в- )2, что сс(й)-»О прн й- О н ! ф(х+й) — ф(х) — ф'(х) й ' «а(й) ' й , 'при любых х, х+й ге / с.
Используя Ь, оцените уклонение образа ф (/) промежутка ! при отображении !р от его же образа при линейном отображении ! (х) =ф(а)+ф (а) (х — а), где а щ l. б. Опираясь на а, Ь, с, покажите, что если Я вЂ” множество критических точек отображения ф в промежутке 1, го ф(5) есть множество меры нуль е. Закончите теперь докааательство леммы Сирла 1. Используя лемму Сарда, покажите, что в теореме 1 достаточно потребовать, чтобы отображение ф было вааимно однозначным отображением класса С (Ор 0).
Отметим, что приведенная лемма Сарда является простым частным случаем теоремы Сарда и Морса, по которой утверждение леммы справедливо, даже если Р с(2", а гр щ С» (О, (/ч), где у=шах (т — и+1, 1). Величина й здесь, как показал на примере Уитни, не может быть уменьшена, каково бы ни было сочетание чисел т и а. Г». Х!. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ % 6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В геометрии лемма Сарда известна как, утверждение о том, что если ср: 0-ь(?» — гладкое отображение открытого множества 0 < Р" в (ч», то для почти всех точек хт <р(0) их полный прообраз ф-! (х)=М„в 0 есть поверх- нбсть (многообразие) коразмерности и в Р» (т е. т — гдщ М„п для почти всех х сщ 0). 9. Пусть вместо диффеоморфизма ф в теореме !.рассматривается произ- вольное отображение ср спС'!'(0„0,) такое, что бе1ср'(!) ~П в 0Р Пусть п(х)=сагс1 1! ~ ьнрр(! ° ср) !<р(!)=х), т.
е. и (х) — число точек носителя функ- ции ! ° ср, которые при отображении ср: 0»-»О» переходят а точку хт0„. Имеет место следуксщая формула: ) (! п) (х) лх = ) ((1 ° ср) ! Йе1 ср' !) (!) ж. » О, а, Какой геометрический смысл этой формулы при 1 ЕЕ 1? Ь. Докажите эту формулу для специального отображения кольца О, = = (! т (?) ! 1 < ! ! ! < 2) на кольцо 0»=(х си (ч»х ! 1 < ! х! <2), если в поляр-' ных координатах (г, ф) и (р, В) плоскостей Гс» и (?1 соогветственно зто отобра- жение записывается формулами г=р, ф=26. с.
Попробуйте теперь доказать формулу в общем виде, й 6. Несобственные кратные интегралы 1. Основные определения. Оп р еде лен ие 1. Исчерпанием множества Е с (с будем называть такую последовате,пьность измеримых 'множеств (Е„), что Е„~Е„ыс: Е при любом н е=1( и Ц Е„=Е. »=1 Лемм а. Если (Е,) — исчерпание измеримого множества Е, пю: а) 1ип р(Е„)=р(Е); » оо Ь) для любой функции ! Еп ей! (Е) также !'!г епеж (Е») и Иш ~ ) (х) дх = ~ ) (х) дх.
» сов е 4 а) Поскольку Е с:. Е»ы с: Е, то р(Е„) < р(Е„!) < р (Е) и )пп р (Е„) <р(Е). Для доказательства равенства а) покажем, что » со ° выполняется также неравенство 1пп р (Е„) ~ р, (Е). » со Граница дЕ множества Е имеет объем нуль, поэтому ее можно покрыть конечным числом открытых промежутков, сумма объемов которых меньше наперед заданной величины в)0.
Пусть б— объединение всех этих открытых промежутков. Тогда множество Е() Л=:Е открыто в Р', при*юм по построению Е. содержит замыкание Е множества Е и р (Е) < р (Е)+ р (б) < р (Е)+е. Для каждого множества Е„исчерпания (Е„) можно повторить описанное построение со значением е„=е/2». Тогда получим последовательность открытых множеств Е,=Е„() б, таких, что Е„с: с Ею р(Е„) < р (Е,)+р(Л„)<р(Е„)+е„и Ц Е„:э ( ) Е„:ОЕ.
»ы! » ! Система открытых множеств б, Е„Е„... образует открытое покрытие компакта Е. Пусть б, Д„ Е„ ..., Е„ — извлеченное из него конечное покры- тие компакта Е. Поскольку Е,с Е, с-...с Е„ то множества б, б„ ..., Л„ Еа тоже образуют покрытие Е и, значит, р (Е) <р(Е) -=. р(ЕА)+р (Ь)+р (б!)+...+(бз) <р. (Еа)+2е.
Отсюда следует, что, р(Е) < Вгп р. (Е„). » со ЬЬ То, что Г(е ~еж (Е ), нам хорошо известно и следует из критерия Лебега существование интеграла по измеримому мно- жеству. По условию )~ ног (Е), значит, существует постоянная М такая, что !1(х) (<М на Е. Из .аддитивности интеграла и общей оценки интеграла получаем ~ )(х) дх — ~ ) (х) дх~ = ~ 1(х)дх ~ Мр (Е",Е,).
е » с» Отсюда с учетом доказанного в а) заключаем, что утверждение Ь) действительно имеет место. О п р еде ле н и е 2, Пусть (Е„) — исчерпание множества Е, а функция (: Е-ь И интегрируема на множествах Е»еп(Е,). Тогда величина ) 1(х) дх: !ип ~ ) (х) дх, Е » с»В » если указанный предел существует и его величина не зависит от выбора любого еакого исчерпания множества Е, называется несоб- ственным интегралом от фунниии ) по множеству Е. Стоящий в левой части последнего равенства символ интеграла обычно пишут для любой заданной на Е функции, но говорят, что этот интеграл существует или сходится, если существует указанный в определении 2 предел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
