В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Уточним вопрос. Пусть 0„ †множест в [сл, ) — интегрируемая на 0 функция, а !р: 01-Р΄— отображение (1 !р(1)) множества 01~К'" на 0„. Спрашивается, по какому закону, зная 1 и р, находить функцию ф в О, так, чтобы иметь равенство 1 1 (х) ь(х = 1 ф (1) 1[1, о„ о, позволяющее сводить вычисление интеграла по 0„ к вычислению инте[4[)йла по О!р Предположим сначала, что О, есть промежуток 1 ~ К", а !р: 1 -Р 0„ — диффеоморфное отображение этого промежутка на 0„. 14. $ а. зАмена пеРеменных В интегРАче 40 Га ХЪ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Любому разбиению Р-промежутка 1 на промежутки 1„1„..., Та соответствует разложение,О, на множества ср(),), 1=1, ..., й. Если все эти множества измеримы и пересекаются попарно лишь по множествам меры нуль, то в силу аддитивности интеграла )1(х)дх = ~х~ ~~ )(х) дх.
оа ! ! е(11) Если 1 непрер(явна на О , то по теореме о среднем ~ 1(х)~ =1(й) р(р(11)), "(гз) где $сееф(!з). Поскольку 1($с)=)(~р(т;)), где та=ар-'($з), то нам остается связать р(~р(1з)) с р((;). Если бы ср было линейным преобразованием, то у()з) был бы параллелепипед, объем которого, как известно из аналитической геометрии и алгебры, был бы равен !бе1ф',,')а(l;).
Но диффео. морфизм локально является почти линейным отображением, по. этому, если размеры промежутков 1; достаточно малы, то с малой относительной погрешностью можно считать, что р (~р (Ц)— ! де1 ~р' (тз) ! ~ )Н (можно показать, что при некотором выборе точки т; ~1; будет иметь место даже точное равенство). Таким образом, а а 1(х) дх,5' ) (<р (т,) ~ с!е1 ср' (т;) ~' ,)з !., (2) «е(11) Но справа в этом приближенном равенстве стоит интегральная сумма от функции ((ср(1)) ~'бе1<р'(1) ~ по промежутку 1, отвечающая разбиению Р этого промежутка с отмеченными точками т.
В пределе при А(Р)-+-О из (1) и (2) получаем ~ ( (х) дх = ~ ) (ср'(1)) ~ бе1 ср' (1) , 'с((. о„ о, Это и есть искомая формула. Намеченный путь к ней можно пройти со всеми обоснованиями, однако чтобы избежать утоми. тельных технических трудностей, мы в дальнейшем доказательстве кое в чем отклонимся от этого пути. Перейдем к точным формулировкам. Напомним Определение !.
Носилпелем заданной в области 0~(с" функции 1: 0-з-ьз назовем замыкание в 0 множества тех точек области О, в которых ) (х) ФО. В этом параграфе мы рассмотрим ситуацию, когда интегрируемая функция ): 0„— з-Р равна нулю в окрестности границы области Р„, точнее, когда носитель функции 0 (обозначаемый эпрр)) является лежащим в О„компактом *) Ю. Интегралы от ) по О„и по М', если они существуют, очевидно, совпадают, по скольку вне ай в Р функция равна нулю. С точки зрения отображений, условие зцрр(= Ю с: О„равносильно тому, что замена х=ф(1) действует не только на множестве Ю, по которому в сущности и надо интегрировать, но и в некоторой окрестности 0„ этого множества.
Теперь сформулируем, что мы собираемся доказать. Теорема 1. Если ср: О,-з-0„— диффеоморфизм огрониченного открытого множества Р, ~ К" на такое же множество 0„= = ср(Р,) ~ (с", а ) ее аЯ (Р,) и зцрр) — компакт 'в 0„, то 1'. <р! де1 <р' ~ ~ еб' (0,) и справедлива формула ! 1(х) дх = ~ ) ф (1) ь 'бе1 Чз' (1) ! бй (З) оа = ч(о,) ос 2. Измеримые множества и гладкие отображения. Л е м м а !.
Пусть ср: О, — 0„— диффеоморфизм (классс Сп'(Во 0„)) откРьипого множества О, ~(с" на такое же множество О, ~ 1с". Тогда справедливы следующие утверждения: а) Если Е, с: Ос — множесгпво меры нуль (в смысле иуебега), то его образ ср(Е,) ~ 0 также является, множеством меры нуль. Ь) Если множество Е„содержащееся в О, вместе со своим замыканием Е„имеет объем нуль (в смысле меры Жорданс), то его образ ~р(Е,) = Е„содержится в Р„вместе со своим замыканием и тоже имеет объем нуль. с) Если измеримое (по Жордану) множество Е, содержится в области О, вместе со своим замыканием Е„тп его образ Е„= = <р(Е,) является измерилсым множеством и Е с-0„.
й Заметим, прежде всего, что любое открытое подмножество 0 пространства (с" можно представить в виде объединения счетного числа замкнутых промежутков (которые к тому же по. парно не имеют общих внутренних точек). Для этого, например, можно разбить координатные оси на отрезки длины Л и рассмотреть соответствующее разбиение пространства )с" на кубики с ребрами длины Л. Фиксировав Л = 1, возьмем те кубики этого раз. биения, которые содержатся в О. Обозначим через Р, их объединение.
Взяв далее Л = 112 добавим к Р, те кубики нового разбиения, которые содержатся в 0',Р,. Получим множество Р, и т. д. Продолжая процесс, получим последовательность Р, с:... ...~ Р„с... множеств, каждое из которых состоит из конечного или счетного числа промежутков, не имеющих общих внутренних точек и, как видно из построения, ( ) Р„= О.
') Такие функции обычно называют чьиииюиьжи в рассматриваемой еб. ласти. Гл. Х(. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 146 $6. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ Е ИНТЕГРАЛЕ Поскольку объединение не более чем счетного числа множеств меры нуль является множеством меры нуль, утверждение а), таким образом, достаточно проверить для множества Е,, лежащего в замкнутом промежутке 1 с-ВР Зто мы и сделаем. Поскольку. (1енС("(1) (т.
е, (р'ЕНС(1)), то существует постоянная М таная, что 1(р'(1)1:=М на 1. В силу теоремы о конечном приращении для любой пары точек 1„1, ен1 и их образов х1 —— (р (11), х, = (р (1,) должно тогда выполняться соотношение ~хл — х, ! л- М(16 — 1,(, Пусть теперь (Ц вЂ” такое покрытие множества Е, промежутками, что ~ ~1,~ -е. Без ограничения общности можно считать, что 1, = 1( П 1 с- 1. Совокупность ((р(1()) множеств 4((1(), очевидно, образует покрытие множества Е„=(р(Е,). Если 1,— центр промежутка 1Н то ввиду установленной вын(е оценки возможного изменения расстояний при отображении (р все множество ч((1() можно накрыть . таким промежутком 1( с центром х(=(р(1(), линейные элементы которого в М раз отличаются от соответствующих элементов промежутка 1Р Поскольку ~ 1(~ =М" ~1(~, а (р(Е) с: Ц1(, то мы по( лучили покрытие множества (р (Е,) = Е„промежутками, сумма объемов которых меньше чем М"е.
Тем самым основное утверждение, а) леммы доказано. Утверждение Ь) следует из а), если учесть, что Е„а значит, по доказанному и Е„=(р(Е() суть множества меры нуль в смысле Лебега и что Е„а значит и Š— компакты. Ведь в силу леммы 3 3 1 всякий компакт, являющийся множеством меры нуль в смысле Лебега, имеет объем нуль. Наконец, утверждение с) получается непосредственно из Ь), если вспомнить определение измеримого множества и то, что при диффеоморфизме внутренние точки множества Е, перейдут во внутренние точки его образа Е, = (р(Е,); а значит, дЕ, = . =ф(дЕ,). 4 Следствие.
При условиях теоремы стоящий в правой части формулы (3) интеграл существует. 4 Поскольку )де((р'(1)~4=0 в О(, то зпрр1 (р (де((р'(= = зпрр1 (р=(р-1(зпрр)) — компакт в ОР Значит, точки разрыва функции 1.(р ) де1(р' ~)(о в Р" совсем не связаны с функцией )(оп а являются прообразами точек разрыва функции 1 в 0„. Но 1ен енвтг(0„), поэтому совокупность Е„точек разрыва функции 1 в О„является множеством меры нуль по Лебегу.' Тогда по утверждению а) доказанной леммы множество Е(=(р-1(Е„) имеет меру нуль. На основании критерия Лебега теперь можно заключить, что функция 1 ° (р((де1(р' ~)(о, интегрируема на любом промежутке 1(. зО(.
3. Одномерный случай. Лемма 2, а) Если йк 1,— 1 — диффеоморфизм отрезка 1,с: с(х( на отрезок l„с )х1, а ) ЕНФ(1„), то 1 ° (р !Ч(' / енвтг (1() и 11(х)йх= 1(1 ° (Р.~(р'!)(1)й1. (4) ( Ь) формула (3) справедлива в 11' 4 Хотя утверждение а) леммы 2 нам; по существу, уже известно, мы дадим здесь независимое от изложенного в части 1 его короткое доказательство, использующее имеющийся теперь в нашем распоряжении критерий Лебега существования инте. грала. Поскольку ) ен Ю (1„), а (р: 1, -(- 1„ — диффеоморфизм, функция ограничена на 1Р Точками разрыва этой функции могут быть только прообразы точек разрыва функции '(р(((( на Пос едние по критерию Лебега образуют множество меры нуль.
осл Образ этого множества нрн диффеоморфизме (Р-: 1,— «1„как м видели при доказательстве леммы 1, имеет меру нуль. Значит, 1 р ( р' ~ ен аа (1(). -1 Пусть Є— разбиение отрезка 1„. Посредством отображения (роно' индуцирует разбиение Р, отрезка 1„причем из равномерной непрерывности отображений (р н (р-' следует, что )((Р„)- О<=> с:>)((Р()- О. Для разбиений Р„, Р, с отмеченными точками $( = = (р(т() запишем интегральные суммы: ~ч, 1(е()! х; — х( 1 ) = ~ ) ° (р (тд; (р (1() — (р (1;,) ( = ( = Х ) (р (т;) ', Ч ' (тд Н 1; — 1 1 Ь причем точки $; можно считать выбранными именно так, что $( = = (р (т,), где т; — точка, получаемая применением теоремы Лагранжа к разности (р(10 — (р(1(,). Поскольку оба интеграла в соотношении (4) существуют, вы.
бор отмеченных точек в интегральных суммах можно делать по своему усмот усмотрению„не влияя на величину предела. Значит, из -а-0 написанного равенства интегральных сумм в пределе при Х(Р„)-а- ()((Р()-~.0) получается равенство (4) для интегралов. Утверждение. Ь) леммы 2 вытекает из доказанного равенства (4).
Прежде всего отметим, что в одномерном случае )де1(р'(=)(р'!. Далее, компакт зпрр1 легко покрыть конечной системой отрезков, лежащих в 0 и попарно не имеющих общих внутренних точек. Тогда интеграл от 1 по множеству 0 сведется к сумме интегралов от 1 по отрезкам указанной системы, а интеграл от 1*4('Ч(' по О, сведется к сумме интегралов по отреэкам, являющимся прообразами отрезков этой системы. Применяя к каждой 44 Гл. Х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
