В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 32
Текст из файла (страница 32)
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ паре соответствующих друг другу при отображении ф отрезков раведство (4), после сложения получаем формулу (3). б За меча ни е ). Доказанная нами ранее формула замены-перемевной в одномерном интеграле имела еид РТЕ) ~ 1()й»=~(1 ф ф')(1) 1, (5) э ьх) ь ~ 1(х) дх, если а» Ь, а ь — ~1(») дх, если а) Ь, а $1(х) й«= 1 то становится ясно, что в случае, когда ф —.диффеоморфизм, фор. мулы (4) и (5) отличаются лишь внешним видом, а по существу 'совпадают. 3 а меч ание 2. Интересно отметить (и этим мы не преминем воспользоваться), что если ф: 11-»1„— диффеоморфизм отрезков, то всегда справедливы формулы ) 1(х) Д = ~)(1'ф ф д(1) й(, Тх ° 11 ~ 1 (х) е(х = ~ (1 * ф' ,ф' )) (1) й(, гх относящиеся к верхним и нижним интегралам от вещественнозиачных функций. А если это так, то, значит, в одномерном случае можно считать установленным, что формула (3) остается в силе для любой ограниченной функции 1, если интегралы в ней понимать как верхние или как нижние интегралы'Дарбу.
4 Будем временно считать, что 1 — неотрицательная функция, ограниченная константой М. Снова, как и при доказательстве утверждения а) леммы 2, можно взять отвечающие друг другу в силу отображения ф разбиения Р„, Р, отрезков 1„ и 1, соответственно и, написать следующие оценки, в которых е — максимальное из колебаний функ- где ф было любым гладким отображением отрезка [а, р) на отрезок с концами ф(а) и ф(()). В формуле (5) стоит не модуль ) ф' ~ производной, а сама производная.
Это связано с тем, что. в левой части формулы (5) может быть ф(р) «- ф(а). Если, однако, заметить, что для отрезка 1 с концами а и Ь имеют место соотношения 14, 4 б. ЕАменА пеРеменных е интеГРАле ции ф на промежутках разбиения Р;. ~ бир 1(х) ) «1 — »1 1)» ~ '; зир )(ф (1)) бир ~ ф' (1) ) ) (1 — 11 1( =. )Ы Д)1 1Ы Ю) ,)'.,' р Ч(ф(1)) зир !ф'(1)!)1А11~» )ЫД). ') )Ы Ы) 1 Х р (7(ф(1))6ф'(())+е))~А( ~» ! Ы Д)1 » Х еи (Р (Ч (1)) ~ Ч ' (1) !) ~ А1;1+ е Х биР У (ф (1))! 511!» 1 )ЫД)1 ~~ А),.
=~ зир (~(ф(1)) ~ф'(1) ~) ~А(1!+ЕМ~11~. )Ы Юь Учитывая равномерную непрерывность ф, отсюда при ) (Р)) -»О получаем 1 1(х) ах ) (1 ф ~ р' ,') (1) й(. 1 1, Применяя доказанное к отображению ф-' и функции 1 ф~ф'5 получаем обратное неравенство и устанавливаем тем самым для неотрицательных функций первое из равенств замечания 2. Но поскольку любую функцию можно представить в виде 1 = = шах(1, 0) — гпах( — 1, О) (разности неотрицательных), то это равенство можно считать доказанным и в общем случае.
Аналогично проверяется и второе равенство. Из доказанных равенств, конечно, можно вновь получить утверждение а) леммы 2 в случае еещественнозначной функции(. 4. Случай простейшего диффеоморфизма в И'. Пусть 1)т: 01-» -» 0„— диффеоморфизм области О, с бт)" на область 17„с Р„"; (Р, ..., Гл), (х', ..., х") — координаты точек'(б= К и х енбс'„' соответственно. Напомним Определение 2. Диффеоморфизм ф: 0,-»О„называется простейшим, если его координатная запись имеет вид , 1(Р (л) Р «» — 1 )рь-1 (11 1л) (ь-1 «ь 1 ь ((1 (а) фл (11 (ь (л) хьл)= )р"" (Р... 1") = 11+1 Хл )рл (11 (л) Таким образом, при простейшем диффеоморфизме меняется только одна из координат (в данном случае координата с индексом Ь) Гл.
ХЬ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Лемм а 3. Для п росте($ й(его диффеоморфизма ф: Ос -л О„формула (3) верна. 4 С точностью до перенумерации координат можно считать, что рассматривается диффеоморфизм ф, меняющий только и-ю координату.— Введем для удобства записи следующие обозначения: (х', ..., х"-', хп) =:(х, хп); (В, ..., 1 ', 1п)=(1, 1п); 0,(хо):=((х, хп).ЕЕ О $х=хо); Осп((о):= ((1, 1") ен 0($1=1о) Таким образом, 0 „(2), Оп(1) —.это просто, одномерные сечения множеств Ок и О, соответственно прямыми, параллельными п-й координатной оси. Пусть 1„— промежуток' в йк„, содержащий 0„.
Представим 1 в виде прямого произведения 1 =1-„х1 (и — 1)- мерного промежутка 1„- и отрезка 1 „и-й координатной оси. Аналогичное разложение 1, =1-, х 1,и запишем для иксированного в Рс промежутка 1„содержащего ОР Используя определение интеграла по множеству, теорему Фубини и замечание 2, можно написать, что ') 1(х) дх= ) 1 ХО (х)((хпп 1((х ~ 1 у„о (2, хп)дхп= О„ С„ С л к к 1 ~ 1 С ( ~ Х и ) Око(й ~ ($1 ) 1(1 фп (1 1п))) т ~ (1 1п)($1л Осп (Сб = ~ ($1 ~ '() ф $ бе1 Ч ' $ ХО,) (1, 1п) ($1" = С- Сп = )с (1 Ч $ бе1 ф' $ ХО,) (1) ($1 = $ (1 ф $ бе1 ф'!) (1) ($1.
С О, В этой выкладке мы учли также то обстоятельство, что для вясл рассматриваемого диффеоморфизма ()е1ф'= — „. Ь б. Композиция отображений и формула замены переменных. Лемма 4. Если О, э 0( о 0„— два диффеоморфизма, для каждого из коспорых справедлива формула (3) замены переменных в интеграле, то она справедлива и для композиции ф ф: О,-л О, этих отображений. < Для доказательства достаточно вспомнить, что ((р ф)' = =-(р' ° ф' и что ((е( (ф ф)'(т)=($е1ф'(1) бе1 ф'(т), где 1=ф(т). э Б. 3АменА пеРеменных а интеГРАле Действительно, тогда получаем, что ~ 1(х) дх= ~ (1 (р$ бе1(р' $)(1)(11= О„ О, = $ ((1 ф ф) $ ($е(ф' ф$ $($е(ф'$)(т)с(т= = $ ((7 (ф ф))$($е1(ф*ф)'$))(Г)($Г.
О„ 6. Аддитивиость интеграла и завершение доказательства формулы замены переменных в интеграле. Леммы 3 и 4 наводят на мысль воспользоваться возможностью локального разложения любого диффеоморфизма в композицию простейших (см. утвер. ждение 2 из п. 4 2 6 гл. Ч$$1 часть.1) и на этом пути получить в общем случае формулу (3). Сводить интеграл по множеству к интегралам по малым окрестностям его точек можно по-разному.
Например, можно вос*ользоваться аддитивностью интеграла. Так мы и поступим. Опираясь на леммы 1, 3, 4, проведем теперь доказательство теоремы $ о замене переменных в кратном интеграле. 4 Для каждой точки 1 компакта ллс=зпрр((1 ф)$бе1ф'$) с: с:. Ос построим такую ее б(1)-окрестность У (1), в которой диффеоморфизм ф раскладывается в композицию простейших. Из 6 (1) — окрестностей У (1) с: (с (1) точек 1 ~ Юс выделим конечное по- 2 крытие (1(1,'), ..., 0(1А) компакта Жс. Пусть б= — ш)п(б(1(), ...
..:, 6 (1А)). Тогда любое множество, диаметр которого меньше чем б, и которое пересекается с Уо„очевидно, содержится вместе . со своим замыканием хотя бы в одной из окрестностей системы (1(1() " (1(1) Пусть теперь 1 — промежуток, содержащий множество В„ а Р— такое разбиение промежутка 1, что А(Р) (ш(п(6, ($), где число 6 найдено выше, а ($ — расстояние от рос до границы множества О,. Пусть (1() — те промежутки разбиения Р, которые имеют с ллс непустое пересечение. Ясно, что если 1( ~(Ц, то 1;с0( и ) (1 ф$бе(ф'$)(1)($1-)((1 ф$йе(ф'$)ХО)(1)($1пп ОС С = ~'', ') (1' (р $ бе1 ф' $) (1) ($1. (6) Образ Е,=ф(1,) промежутков 1, по лемме $ является измеря.
мым множеством. Тогда и множество Е = Ц Ес измеримо, и зпрр1 с: Е = Е с: Ок. Используя аддитивность интеграла, отсюда 48 14' Гл. ХЬ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ $6 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ИНТЕГРАЛЕ выводим, что ~ )(х)с(хлл ~ )уо (х)дх= ~ )1(О (х)дх+ ~Ц)(О (х)дх= Ох О„ ! .",е е = ~ ~ХО„(х) дх = ~ ~ (х) дх = Х ~ 1(х) дх. (7) Е е е По построению любой промежуток lс ~ (Ц содержится в не- которой окрестности () (х)), в пределах которой диффеоморфнзм ср раскладывается в композицию простейших.
Значит, на основании лемм 3 и 4 можно записать, что ~ ( (х) дх = ~ () ср ! де1 ср' !) ()) с(). (8) ес П Сопоставляя соотношения (6), (7), (8), получаем формулу (3). > 7. Некоторые следствия и обобщения формулы замены пере- менных в кратных интегралах. а. Замена переменных при отображениях измеримых множеств. Утверждение 1, Пусть ср: О,-л.Ох — диффеоморфизм от. крытого ограниченного множества Огс:(сл на таксе же множе- ство О„с: (к', Е~ и ń— подмножества О и О, соответственно, причем такие, что Е, ~ Ос, Ех лл Ох и Ех = ср (Е,).
Если ~ вней(Е,), то ) ° ср! с!е1 ср'! ЕееЯ'(Е) и имеет место равенство $ ) (х) дх лл $ () ср ! с$е1 ср' !) ()) д). (9) х е, м Действительно, ~ ) (х) дх = ~ () уе ) (х) дх = ~ ((()уе ) ° ср) ! де( ср' !) ()) с() е Ох О, = )(() 'Р),'де( Р'!Хе,)())д)лл )(Ч р)!бе( р'!)())д). е В этой выкладке мы использовали определение интеграла по множеству, формулу 3 и то обстоятельство, что )(е =)(е ° ~р. х Ь. Инвариантность интеграла. Напомним, что интеграл по множеству Е от функции ): Е- (с сводится к вычислению инте- грала от функции ~2е по промежутку ):з Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
