В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Если же такого общего для всех указанных исчерпаний предела не существует, то говорят, что интеграл от функции ! по множеству Е не существует или что интеграл расходится. Цель определения 2 состоит в томе чтобы распространить понятие интеграла на случай неограниченной подынтегральной функции или неограниченной области интегрирования. Введенный символ несобственного интеграла совпадает с сим- волом обычного — собственного интеграла, поэтому необходимо 3 а меча н ие 1. Если Š— измеримое множество и ! ~еж(Е), .то интеграл от ! по Е в смысле определения 2 существует и совпадает с собственным интегралом от функции ! по множеству Е.
4 Именно. об этом говорит утверждение Ь) доказанной выше леммы. Ь Совокупность всех исчерпаний любого смоль-нибудь обильного множества практически необозрима, да всеми исчерпаниями н не Гк. Х!. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ О 6. НЕСОЕСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ пользуются. Проверку сходимости несобственного интеграла часто облегчает Утверждение 1.
Если функция г' Е- Р неотрицательна' и хотя бы для одного исчерпания (Еи) множегтла Е указанный в определении 2 предел существует, то несобственньгй интеграл от функции г'по множеству Е сходится. 4 Пусть (ЕА) — другое исчерпание множества Е, на элементах которого функция 1 интегрируема. Множества Е'„: = Ео П Ел, п = 1, 2, ..., образуют исчерпание измеримого множества Ев, поэтому из утверждения ()) леммы следует, что ~ г'(х)г(х=)пп ~ г'(х)дх~!!гп- ~ Г" (х)йх=А. л со и сов гв ел л Поскольку Г" ~ О, а Ев с ЕА+ ) с: Е, то :-( Бгп ~ г (х) дх = В ~ А. Ео Но теперь исчернаиия (Е,), (Е„') равноправны, поэтому А~ В и, значит, А = В.
П р и м е р 1. Найдем несобственный интеграл ~ ~ е- 12*+2' дх ау. Будем исчерпывать плоскость Р последовательностью кругов Ел=((Х, У) ~Р!Хо-РУ2<П2). ПОСЛЕ ПЕРЕХОДа К ПОЛЯРНЫМ КООР- динатам легко получаем, что ~ ~ е — )к'+вл) г(хг(у ~ лц) ~ е — не де — и (1 е лв) ~„и ел о о ПРИ П-РОС. В силу утверждения 1 уже можно заключить, что рассматриваемый интеграл сходится и равен и. Из полученного результата можно извлечь полезное следствие, если рассмотреть теперь исчерпание плоскости квадратами Е'„=((х, у) ен Р ! ! х! <пД! у! <и).
По теореме Фубини л и и 2 Це — )м+м)йхйу= ~ л ~ е-гк'+к)с!х= ~ е-Рг(( е -и -л — л л В силу утверждения 1 последняя величина при п-Рсо должна стремиться к и. Таким образом, мы вслед за Эйлером и Пуассоном получаем, что +со 11 — к' дх )г' ГГ Некоторые дополнительные не вполне очевидные на первый взгляд особенности определения 2 несобственного кратного интеграла будут указаны ниже в замечании 3. 2. й)!ажорантный признак сходимостн несобственного интеграла. Утверждение 2. Пусть Г и д — определенньм на множестве Е и интегрируемые на одних и тех же его измеримых подмножествах функции, причем )Г" )(х) (д(х) на Е. Тогда из схадимости несобственного интеграла ~д(х) дх вытекает сходимость интегралов ~ ! г" ! (х) йх и ) г' (х) г(х.
е е Пусть (Е„) — исчерпание множества Е, на элементах которого обе функции д и Г интегрируемы. Из критерия Лебега вытекает интегрируемость функции !)! на множествах Ел, п ен()), поэтому можно записать, что 1 !)!(х)д — 1 !~!(.)д.= 1 !)!(х)д. Е.в ел д (х) дх = ~ д (х) дх — ~ д (х)с!х, Еловссвл ел+о гл где й и п — любые натуральные числа.
Эти неравенства с учетом утверждения ! и критерия Коши существования предела последовательности позволяют заключить, что интеграл ) !Г"!(х) с(х сходится. е Рассмотрим теперь функции 1„:= ~ (!1!+1), 1-1= е (1)! — Г). 1 1 Очевидно, Ои-),<!1! и 0<) (!)!. В силу уже доказанного несобственные интегралы от функций (о и г по множеству Е сходятся. 'Но г"=г,— ), значит, сходится и несобственный интеграл от функции г' по этому же множеству (н он равен разности интегралов от функций Г, и 1 ). Ь Для того чтобы утверждением 2 можно было эффективно пользоваться при исследовании сходимости несобственных интегралов, полезно иметь некоторый набор эталонных функций для сравнения.
Рассмотрим в этой связи Пример 2. В и-мерном единичном шаре ВсР с выколо гым центром 0 рассматривается функция 1,)г, где г=й(0, х)— расстояние от точки х ен В',0 до точки О. Выясним, при каких )начениях а я(к интеграл от этой функции по области В'~,0 сходится. Для этого построим исчерпание области кольцевыми областями В(е) =(хя В,'е<д(0, х) <1). Переходя к полярным координатам с центром О, по теореме Фубини получаем ~ „);),= ~)(~)д ~' — ",'„"'.=.~ "'„„, вгм о в Га. Х!. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ е О.
НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ где ((ф=((ф! ... ((ф„„1(ф) — некоторое произведение синусов углов фн ..., фл „появляющееся в якобиане перехода к полярным координатам .в Р, а с — величина.интеграла по 5, которая зависит только от и и не зависит от Г и Б. При е -«+ О полученная величина интеграла по В (е) будет иметь конечный предел, если а ( а. В остальных случаях последний интеграл стремится к бесконечности, когда е †« +О. ! Итак, мы показали, что функция —, где (( — расстояние Ва(0, х) ' до точки О, интегрируется в проколотой окрестности Этой точки, лишь при (е(п, где и — размерность пространства.
Аналогично показывается, что вне шара В, т. е, в окрестности бесконечности, эта же функция интегрируется в несобственном смысле; лишь когда а- и.' Пример 3, Пусть 1=(х~Р")0(х)(1, (=1,:, п)— н-мерный куб, а 1А — его й-мерная грань, задаваемая условиями хо+'=...=ха=О. На множестве 1ч,!е рассмотрим. функцию —, ( )Р' (х) ' где (((х) — расстояние от точки х ~ 1",1„до грани 1„. Выясним, при каких значениях (о еп Р интеграл от этой функции по множеству 1',1А сходится. Заметим, что если х= (х', ..., х', х"+', ..., хл), то (((х) = ')/"(хе+!)е+...
+ (хч)'. Пусть 1(е) — это куб 1, из которого удалена е-окрестность грани 1,. По теореме Фубийи =1Ь ... Вхо+! ... Вхл»(и Ва (х) 11 " ' ) ((хо+!)е -1-, +(хв)е)а)е ~ ~ и (а ' ! (е) е ! А(е) )а-е (е) ГдЕ и=(Х"", ..., Хл), 1л Е(Е) — ГраНЬ 1л ЕС=1Ра-е, ИЗ Катарай удалена Б окрестность точки и =О. Но на базе приобретенного в примере 1 опыта ясно, что последний интеграл сходится лишь при а(а — й. Значит, рассматриваемый нами несобственный интеграл сходится лишь при а(а — и, где й — размерность грани, около которой функция может неограниченно возрастать. 3 а м е ч а н и е 2.
При доказательстве утверждения 2 было проверено, что сходимость интеграла от функции )1) влечет входимость интеграла от функции 1. Оказывается, для несобственного в смысле определения 2 интеграла верно и обратное утверждение, чего не было в рассматривавшемся нами прежде случае несобственного интеграла на прямой, где мы различали абсолютную и неабсолютную (условную) сходимости несобственного интеграла.
Чтобы сразу понять суть возникшего нового явления, связанного с определением 2, рассмотрим следукнций Пример 4. Пусть функция 1: К+-«Р определена на множестве Р+ неотрицательных чисел следующими условиями: 1(х)= ( !)л-1 , если а — 1(х(п, п ен(4. Л ()а-) Поскольку ряд у сходится, то, как легко видеть, л ! А предел при А-»-+со интеграла ~1(х)((х существует и равен сумме о указанного ряда. Однако этот ряд не сходится абсолютно, и перестановкой .его членов можно получить ряд, например, расходящийся к +со.
Частичные суммы нового ряда можно интер. претировать как интегралы от функции 1 по объединению Е, соответствующих членам 'ряда отрезков вещественной оси. Множества Ел в совокупности, очевидно, образуют исчерпание области Р+ задания функции 1. Таким образом, несобственный интеграл ~ 1(х)((х от предъяво ленной функции 1: Я+-«Я в прежнем его понимании существует', а в смысле определения 2 не существует.
Мы видим, что требуемая в определении 2 независимость предела от выбора исчерпания эквивалентна независимости суммы ряда от порядка суммирования его членов. Последнее, как нам известно, в точности равносильно абсолютной сходимости. На самом-то деле практически всегда приходится рассматривать лишь специальные исчерпания следующего вида. Пусть определенная в области 0 функция -1: 0-»- Р неограничена в окрестности некоторого множества Ес:д0.
Тогда мы удаляем из 0 точки, лежа(цие в е-окрестности множества Е, и получаем область 0(е) с: О. При е-«О эти области порождают исчерпание О. Если же область неограниченная, то ее исчерпание можно получить, взяв дополнения в 0 к окрестностям бесконечности. Именно такие специальные исчерпания мы в свое время и рассматривали в одномерном случае„ и именно эти специальные исчерпания непосредственно ведут к обобщению на случай прост. ранства любой размерности понятия главного (в смысле Коши) значения несобственного интеграла, о котором мы в свое время уже говорили, изучая несобственные интегралы на прямой.
3. Замена переменных в иесобствен;юм интеграле. В заключение получим формулу замены переменных в несобственных интегралах и тем самым сделаем весьма ценное, хотя и очень простое дополнение к теоремам 1 и 2'из ~ 5. Те ор ем а 1.- Пусть ф: 0,-«0„— ди4феоморфное отображение ол)крытого множества О, с: Р на таксе же множество 0„с: ео Гх, Х! КРАТНЫЕ ИитЕГРАЛЫ % 6 НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ !в ~ (ч„, а функция 1! Ох-~Я интегрируема на измеримых компакт. ных подмножествах множества 0„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
