В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Можно показать, что вообще непрерывные поля реперов области 6 в случае ее' связности разбиваются точно на два класса эквивалентности, если в один класс относить поля, реперы которых в каждой точке х ы б принадлежат одному классу ориентации реперов пространства Тб (см. в этой связи задачи 3, 4 в конце параграфа).
Таким образом, одну и ту же ориентацию области 6 можно задать двумя, совершенно равносильными способами: указанием некоторой системы криволинейных координат 'в 6 илн заданием любого нейрерывного поля реперов в 6, принадлежащего тому же классу ориентации, что и поле реперов, порожденное этой системой координат.
Теперь ясно, что ориентация связной областн 6 вполне определится, если хотя бы в одной тбчке х ее 6 будет указан репер, ориентирующий Тб„. Это обстоятельство широко используется на практике, Если такой ориентирующий репер в некоторой точке хй ен 6 задан, и взята какая-то система криволинейных координат ф: Р-ьб в области 6, то,' построив в Тб„, репер, индуцированный этой системой координат, сравниваем его с- заданным в Тб, ориентирующим репером.
В случае, когда оба репера принадлежат одному классу ориентации Тб„„считают, что криволинейные координаты задают на 6 ту же ориентацию, ' которая предписывается ориентирующим репером. В противном случае — противоположную ориентацию. Если 6 открытое, но не обязательно связное множество, то, поскольку все изложенное применимо к любой связной компоненте множества б, для того чтобы ориентировать 6 надо задать свой ориентирующий репер в каждой связной компоненте 6.
Значит, если таких компонент т, то множество 6 допускает 2" различных ориентаций. Сказанное об ориентации области 6 с: Р" можно дословно повторить, если вместо области 6 рассмотреть задаваемую одной картой гладкую й-мерную поверхность 3 в К" (рис. Тб).В этом случае системы криволинейных координат 5 тоже разбиваются естественным образом на два класса ориентации в соответствии со знаком якобиана преобразований их взаимного перехода; тоже возникают поля реперов иа 3; тоже задание ориентации может быть осуществлено ориентирующим репером, лежащим в некоторой касательной к 5 плоскости ТБ„,.
Единственный новый элемент, который тут возникает и требует проверки, это неявно 'присутствующее Утверждение !. Взаимные переходы от одной системы криволинейных координат на гладкой поверхности 3 ~ К" к другой являются диффеоморфизмами пюй хсе степени гладкости, что и карты поверхности. 4 В самом деле, в силу утверждения из й 1 любую карту .ф: 1й -й- (! с: 3 локально можно рассматривать как сужение на 1' () О (1) диффеоморфизма О (1) -+ О (х) некоторой и-мерой окрестности О (!) точки ! Ее 1' с: К" на л-мерную окрестность 0(х) точки х еи 5 с: К", причем,T того же класса гладкости; что и ф.
Если тет ' / й й перь фй. 1~ -й-02 и фй: 12 — ~-(12— две такие карты, то возникающее в их общей области действия отображение фй' фй (переход от первой системы координат ко второй) локально представляется.в виде ф2' ° ф,(!', ..., 1~) = ,У 2 .,р 1 (1 , ... В !й, О, ... 0), где,р, и,у 2 — соответствующие диффеоморфизмы п-мерных Рис. 75. окрестностей. Р На примере элементарной поверхности, задаваемой одной картой, мы разобрали все существенные компоненты понятия ориентации поверхности. Теперь мы завершим дело окончательными определениями, относящимися н случаю произвольной гладкой поверхности в )к".
Пусть 5 — гладкая й-мерная поверхность в Р, и пусть фй 1~ -й(!» фр 17 -й- 07 †д локальные карты поверхности В, районы действия которых пересекаются, т. е. (1; П (!7 ~ 3. Тогда . между множествами 17 = ф7'((!7), 1;~ = гр, ' ((!2), как было тольйо что доказано, естественно устанавливаются взаимно обратные диффеоморфизмы фй~.. !";~-2-1;» фя.
1~;-й 1~~, осуществляющие переход от одной локальной системы криволинейных координат на 3 к другой. Определение 1. Две локальные карты поверхности называют согласованными, либо когда-.районы их действия не пересекаются, либо когда это пересечение непусто и взаимные'переходы в общей области действия этих локальных карт осуществляются диффеоморфизмами с положительным якобианом. Определение 2.
Атлас поверхности называется ориенти, рующим атласом. Поверхности, если он состоит из попарно согла- сованных карт. 17' 78 % г. ОРиентАция пОВеРхности Гл. хн. пОВеРхнОсти и ФОРмы В 1с Определение 3, Поверхность называется ориентирувмой, если она Обладает ориентирующим атласом. В противном случае поверхность называется пеоривктируемой.
В отличие от~ областей пространства (сл или элементарных поверхностей, задаваемых одной картой, произвольная поверхность может оказаться и неориентируемой. П р и мер 1. Лист Мебиуса, как можно проверить (см. задачи 2, 3 в конце параграфа),— неориентируемая поверхность. Пример 2. Бутылка Клейна в-таком случае — тоже неориентируемая поверхность, поскольку она содержит в качестве своей части лист Мебиуса. 'Последнее видно непосредственно из конструкции бутылки Клейна, изображенной на рис.
73. Приме.р 3. Окружность и вообще й-мерная сфера — ориентируемые поверхности, что доказывается непосредственным предьявлением атласа сферы, состоящего из согласованных карт (см. пример 2 из з 1). Пример 4. Рассмотренный в примере 4 из Э 1 двумерный тор также является ориентируемой поверхностью. Действительно, используя .указанные в примере 4, $1 параметрические уравнения тора, легко предъявить его ориентирующий атлас.
Мы не останавливаемся на деталях, поскольку ниже будет указан другой более наглядный способ контроля ориентируемости достаточно простых поверхностей, который с легкостью позволит проверить сказанное в примерах 1 — 4. Формальное описание понятия ориентации поверхности будет завершено, если к определениям 1, 2, 3 добавить еще приведенные'ниже определения 4, 5.
Два ориентирующих атласа поверхности будем считать вквивалептными, если .их объединение также является ориентирующим атласом этой поверхности. Указанное отношение действительно является отношением эквивалентности между ориентирующими атласами Ориентируемой поверхности. Определение 4. Класс эквивалентности ориентирующих атласов поверхности по указанному отношению эквивалентности называется классом ориентации атласов поверхносгпи или просто ориентацией поверхносгпи. Оп р еде лен и е 5. Ориентированной поверхностью называется поверхность с фиксированным классом ориентации ее атласов (т.
е. с фиксированной на ней ориентацией). Таким образом, ориентировать поверхиосп!ь — значит тем или иным способом указать. определенный класс ориентации ориентирующих атласов этой поверхности. Имеет место уже знакомое нам в его частных проявлениях У твержденне 2. Оа ориентируемой связной поверхности .существует точно две ориентации. Обычно их назмвают взаимно противоположными оривкп!ациями. Доказательство утверждения 2 см. в гл. Х'!7, $2, и. 3. В общем случае произвольной поверхности верно также и то см.
задачи 3, 4), что наличие на ней ориентирующего атласа !равносильно наличию на этой поверхности непрерывного поля "уеперов касательных плоскостей (пространств) и что классам ~гяриентации атласов поверхности отвечают классы ориентации ~Непрерывных полей 'реперов на ней. Значит, как- и в разобранном выше частном случае, задать :ориентацию поверхности можно двояко: либо предъявив ориеньхирующий атлас поверхности, либо указав соответствующее непре!))Ывное поле реперов на этой ';поверхности. г Если ориентируемая поверх,ность связна, то для задания "А :ее ориентации вполне достаточ,:но указать какую-нибудь логкальную карту этой поверхно,:сти или ориентирующий репер вг ьв какой-нибудь из ее касатель'-ных плоскостей. Этим широко в -пользуются на практике. Когда поверхность имеет ;несколько связных компонент, "!То такое указание'локальной карты или репера естественно де.'лается в каждой компоненте связности, Очень широко на практике применяется также следующий способ задания ориентации поверхности, лежащей в уже ориен'тированном пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
