В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Выясните, задают лн этн карты согласованные ориентации понерхнастн 5 н ее края д5. Э с. Постройте нз полусфере 5 н ее крзе д5 поля реперов, нндуцнроззнные указанными н Ь локальными картами. б. Нз крае д5 полусферы 5 укажите репер„ зздзющнй арнентзцню края, согласованную с полученной з с ориентацией полусферы. е. Задайте полученную и с ориентацию полусферы 5 с помощью вектора, нормального к 5 ~ (4». 4.
з. Проверьте, что ласт Мебиуса не является орнентнруемай поверхностью даже с точки зрения определения 3. Ь. Покажите, что если 5 в гладкая позерхность э (?л, то определеннн ее орнентнруемосгн кзк гладкой н кзк кусочно гладкой понерхнастн рззноснльны. б. з. Будем говорить, что множесгэо -5 ~ Цл есть й-мернзя позерхность С КраЕМ, ЕСЛИ дпя Каждсй ТОЧКН Х «я 5 НайдутСя ЕЕ ОКрсотпаСТЬ Н (Х) З )сл Н ДяффЕОМОРфНЗМ ф 1)(К) -« 1» »тай ОКРЕСтНОСтИ НЗ СтаНДаРтНЫй КУб 1" ~ (кл, прн котором ф (5 д 1)(к)) сазпздзет либо с кубом 1» = (1 щ 1л )1»»»=...=1» = = О), либо с его частью 1» Д (!в Р' ! 1» < О), которая янляется й-мерным промежутком с одной прнсоедннеаной к нему гранью. Исходя нз сказанного з 4 1 прн обсужденнн понятия пазерхностн, покажите, что это определенне поверхности с краем не экнннзлентно определенню !.
Ь. Верно лн, что если )ен Си»(Н», (»), где Н» (х щ )~»1хг<О), то дхя любой точки х щ дН» можно найти ее окрестность 1)(к) з )4» н функцию Р'ен щСц'(1)(х), (?) тзк, что кг~ » )!» ? и Писк! и Пиио с. Если укзззннае, з з определение использовать дхя описания гладкой «позерхностн с краем; т. е. считать ф гладким атобрзженнем максимального ранга, то будет лн такое определение глздкой поверхности с крзем совпадать с принятым з 4 3? 2 4. Площадь поверхности в евклидовом пространстве Перейдем теперь к Определению площади й-мерной кусочно гладкой поверхности, лежащей в евклидовом пространстве ~', п)А.
Напомним сначала, что если $ы ..., В»-А векторов евклидова. пространства (с», то объем )) (вм ..., 2») параллелепипеда, натянутого на эти векторы как на ребра, может быть вычислен посредством определителя (1 (й„..., $») = 4(е1 Щ ане» ОР. анму" му НС. ар. е. ом, (2) НО (з) «) См сноску нз стр 492 матрицы 4'=(йо, строки которой Образованы координатами д ных векторов в некотором Ортонормированном базисе е„..., пространства Р.
Отметим, однако, что на самом-то деле ф мула (1) дает не просто объем, а так называемый ориентиров ный объем параллелепипеда. Если )1 чьО, то определяемое фар лой (1) значение 1) по?гожительнп или отрицательно в соответст аии с тем, принадлежат ли реперы е„..., ею Вп "., 2» ОДНО ' или разным классам ориентации пространства (с». Заметим теперь, что произведение 11«матрицы г на еетра понированную )«есть не что иное, как матрица б=(уг)) поп ных скалярных произведений йз)=фп в)) данных векторов, т натрица Грима") системы векторов $ы ..., В».
Таким образ 41е1 6 = 41е1().У') = йе1 1 йе( 1« = (Йе1))з, и, значит, неотрицательное значение объема )?($м ..., В») мож получить в врде У(ЕЫ ..., ~»)=)/йе1(($Н $1)). Последняя формула удобна тем, что в ней, по существу, уже нет координат, а есть только набор геометрических величии, характеризующих рассматриваемый параллелепипед. В частности, если эти же векторы вз, ..., $» считать лежащими в и-мерном (п~й) евкли.
л г»7 ) довом пространстве 14", то формула (3) й-мерного объема (или м-мерной ! площади) натянутого на них параллелепипеда Останется без изменений. Пусть теперь гч 0 — Р Я ~ (с"— и-мерная гладкая поверхность 5 в евклидовом пространстве Й", заданн ая в параметрическом виде 1 =г(14» ..., 1»), т. е. в виде гладкой вектор.
1» функции г(1) =(х', ..., х')(1), определенной в области 0 ~И. Пусть Рнс. 32. еы ..., Н» — ортоиормированный базис в Р, порождающий координатную систему (1»...., (»). Фиксировав точку 1»-— (1'„..., 1») я О, в ем положительные числа )4», ..., )4» столь малыми, чтобы озьм параллелепипед г', натянутый на векторы Йе; ен ..., й, приложенные к точке 1э, лежал в области О. Н рхности 5 в силу отображения 0-Р5 параллелепи- а паве педУ 1 соответствУет фигУРа 1е, котоРУю Условно можно аз н вать криволинейным параллелепипедом (см. рис.
82, отвечающий 191 % 4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ гл. хн, повеэхности и еоемы в й" случаю Ь 2, п= 3) Поскольку г(1' 4 ' 1'+Ь' 1'+' 1«)— г(«о> ° ° ° > (о > «ь «о+ »' . «о) = . (««) Ь +о(Ь') дд смещению.от 1«на вектор Ь«е«отвечает в 1К" такое смещение от точки г(1«), которое при Ь«-~0 можно с точностью до о(Ь«) за менить частным дифференциалом — («,) Ь« =:г)Ь(. Таким образом, дг дд при малых значениях Ь', 1 1, ..., Ь, криволинейный паралле. лепипед !з мало отличается от параллелепипеда, натянутого на векторы Ь«д„...«Ь«д«, касательные к поверхности 5 в точке г(««).
Считая по этой причине, что объем ЛУ криволинейного параллелепипеда 1з должен тогда быть близок к объему указанного стандартного параллелепипеда, находим приближенную формулу А> ) %«ДД())ЬР.... >('. (4) где'положено у««(Ц)=(ЬО Ь«)(1,), Л((=Ь', 1, 1'м 1, ..., Ь. Если теперь все пространство Р, в котором лежит область 'параметров О, стандартным образом заместить камерными параллелепипедами малого диаметра «1, взять среди них те, которые лежат в О, вычислить по формуле (4) приближенное значение Ь-мерного объема их образов и взять сумму полученных так значений.
то мы придем к. величине ~',7'бе(у(«(1.) Л(« ... И«, а которую можно считать приближенным значением Ь-мерного объема или площади рассматриваемой поверхности 5, причем зто приближение должно становиться более точным при б-«-0. Таким образом; мы принимаем Определение 1. Площадью (или камерным объемом) заданной в параметрическом виде Оэ1 г(1) ен5 гладкой Ь-мерной ' поверхности 5, лежащей в евклидовом пространстве 1~, назы- вается величина >.(«):-1Удм~ Рп, >>))(()а',.а'. (5) о Посмотрим,. как выглядит формула (5) в уже знакомых нам частных случаях. При Ь 1 область Р ~ Р есть промежуток с нек(зторыми кон- цами а, Ь (а(Ь) на прямой 1(', а 5 в этом случае — кривая в Д"; формула (5), таким образом, при Ь 1 превращается в формулу ь « У«(5)=)1(«(1)1Ш 1 У(х')'+...+(х")'(г)М а « для вычисления длины гладкой кривой.
Если Ь=п, то 5 — диффеоморфная области 0 п-мерная обла ть в й". В этом случае матрица Якоби У=х'(1) отображения Р=-э э(1«1")='«г(1)=(х', ..., ха)(1)ен5 квадратная. Воспользовавшись теперь соотношением (2) и формулой замены переменных в кратном интеграле, можно написать, что >„(«) -1 > > ) а (() >( -1 )~ > ) ' () ) )~ >( = 1 >* - > («),— о о 3 т. е., как и следовало ожидать, мы пришли к объему области 5 в Р Отметим, что при Ь=2 и п=З,.т. е. когда 5 — двумерная поверхность в Р, часто вместо стандартных обозначений у(« = = (ЬО,Ь«) используют следующиг.'и:='У«(5), Е:= им=(г«, Ь«), Р:=у, =ум=(«ы г,), б:=у««=(«'„««), а вместо 1«, 1«пишут соответственно и, о.
В этих обозначениях формула (5) приобретает вид 11) еΠ— > юю. В частности, если и=х, о=у, а поверхность 5 есть график 'гладкой вещественнозначной функции г=)(х, у), определенной в области 0 ~Р, то, как легко подсчитать, -11)) 47) >(«))'~ >у. о Вернемся теперь вновь к определению 1 и сделаем несколько полезных для дальнейшего замечаний, Замечание 1, Определение 1 корректно лишь в том случае, когда стоящий в формуле (5) интеграл существует, Он заведомо существует, например, если 0 — измеримая по Жордану область, а г енС1'1(П, (т").
Замечание 2, Если поверхность 5, участвующую в опре- делении 1, разбить на конечное число поверхностей 5И ..., 5 . с кусочно гладкими краями, то этому разбиению 5 будет отве- чать такое же разбиение области О на соответствующие 5„..., 5 области Ры ..., 0 . Если'поверхность 5 имела площадь в смысле равенства (5), то при каждом значейии а=1, ..., и определены величины >>(>.)- 1 чч.(((>„. >) >). В силу аддитивности интеграла отсюда следует, что У«(5) =,)'., У«(5:). а Мы установили таким образом, что площадь Й-мерной поверх- ности аддитивна в том же смысле, что и обычный кратный ин- теграл. !9: $ Ф ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ 92 Ги.
Хн, ПОВЕРХНОСТИ И ФОРМЫ В !Е' Замечание 3. Последнее замечание позволяет переходить, если нужна, к исчерпанию области О, а значит, оио позволяет- расширить смысл формулы (5), в которой теперь интеграл можно понимать и как несобственный. Замечание 4. Более существенно аддитивность площади можно использовать для определения площади пройзвольной'(а не талька заданной одной картой) гладкой или даже кусочно гладкой поверхности. Оп р еде лен не 2. Пусть 5 — произвольная кусочно гладкая й-мерная поверхность в (к". Если после удаления из 5 конечного или счетного числа кусочно гладких поверхностей размерности не выше чем й — 1 она распадается на конечное или счетное число гладких параметризуемых поверхностей 5» ..., 5, ..., то полагаем ~'ь(5):= У,' Уь(5а).
а Аддитивность кратного интеграла позволяет проверить, что так определенная величина (('ь(5) не зависит от способа описанного разбиения поверхности 5 на гладкие куски 5» ..., 5„, ..., каждый из которых лежит в районе действия какой-то локальной карты поверхности 5. Отметим также, что из определений гладкой и кусочно гладкой поверхностей легко следует, что описанное в определении 2 разбиение 5 на гладкие параметризуемые куски 5» ..., 5 всегда возможно и даже с соблюдением естественного дополнительного требованир локальной конечности разбиения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
