В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Пусть 3 — ориентируемая (и — 1)-мерная поверхность, лежащая в евклидовом пространстве Ил, с фиксированным в Я" ориентирующим репером е„..., в„. Пусть ТDŽ— '(и — 1)-мерная плоскость, касательная к Я в точке х ~ 3, а и — .. 'вектор, ортогональный ТЗ„, т. е. вектор нормали к поверхности ' В в- точке х. Если при 'заданном векторе п условиться в ТЗ репер Вг, ..., $„ ! выбирать так, чтобы реперы (е„ е„ ..., е„) и (тг ь! " ° $„-!)= (ег, е„ ..., в,) принадлежали одному классу 'ориентации пространства Ял то, как легко видеть, такие реперы ($Т, ..., $, !) плоскости ТЗ, сами окажутся принадлежа: гцими одному классу ориентации этой плоскости. Значит, указание класса ориентации плоскости ТЗ„, а вместе с ним н задание ориентации на связной ориентируемой поверхности в этом .случае можно осуществить, задав нормальный вектор и (рис.
7б). Непрерывному полю реперов на (и — 1)-мерной поверхности, ,очевидно, соответствует непрерывное поле единичных нормальных Векторов к этой поверхности. Нетрудно проверить (см. задачу 4), что верно и 'обратное. Таким образом, ориентируемость (и — 1)- мерной поверхности, лежащей в евклидовом пространстве Р', 18 80 Гл. Х!1. ПОВЕРХНОСТИ И ФОРМЫ В»Г 4 3. ОРиентАция пОВеРхнОсти равносильна наличию на ней непрерывного поля ненулевых нормальных векторов. Отсюда, в частности, с очевидностью следует ориентируемость сферы, тора н неориентируемость листа Мебиуса, о чем говорилось, в примерах ? — 10.
Связные (и —,1)-мерные'поверхности в евклидовом пространстве 1«э, на которых существует (однозначное) непрерывное поле еди- ' ничных нормальных векторов, в геометрии называют двусторон- ними. Таким образом, например, сфера, тор, плоскость в (эз — дву- сторонние поверхности, в отличие от,листа Мебиуса, являющегося в этом смысле одноапоронней поверхностью.' Заканчивая обсуждение понятия ориентации поверхности, сде- лаем несколько замечаний, относящихся к практике использова- ния этого понятия в анализе. В вычислениях, связанных В анализе с ориентированными поверхностями в 14", обычно сначала находят какую-то локаль- ную параметрнзацню поверхности 3, не заботясь об ориентации, Затем строят в некоторой касательной плоскости ТБ„к поверх- ности репер йг, ..., 5„э из векторов (скорости), касательных к линиям выбранной системы криволинейных координат, т. е.
строят ориентирующий репер, индуцнрованный этой системой координат., Если .пространство 1«л было ориентировано, а ориентация Ю задавалась полем нормальных векторов, то берут вектор и дан- ного поля в точке х и сравнивают репер и, $И ..., й„ э с репе- ром е„..., е»а ориентирующим пространство. Если эти реперы одного класса ориентации, то локальная карта по принятому выше соглашению задает нужную ориентацию поверхности, а когда эти реперы не согласованы, выбранная карта задает ориен- тацию поверхности, противоположную предписанной нормалью и. Ясно, что при наличии какой-то локальной карты (и — 1).
мерной поверхности простым изменением порядка координат можно получить локальную карту нужной ориентации (ориентации, предписанной фиксированным нормальным вектором и к двусто- ронней гиперповерхности, лежащей в ориентированном простран- 1»л) В одномерном случае, когда поверхность сводится к кривой, ориентацию чаще задают касательным вектором к кривой в неко- торой ее точке и в этом случае часто вместо «ориентация кривой» говорят направление движения вдоль кривой. Если на плоскости 1«з выбран ориентирующий 1«з репер и задана замкнутая кривая, то положительным направлением обхода (вдоль' кривой) ограниченной этой кривой области Р принято считать такое, при котором репер и, о, где и — вектор внешней по отношению к Р нормали к кривой, а ээ — вектор скорости обхода, согласован с ориентирующим репером мз.
Это означает, что, например, при традиционно рисуемом на плоскости (правом) репере, положительным обходом будет движение «против часовой стрелки», при котором область, ограниченная кривой, остается «слева». В этой связи саму ориентацию плоскости или плоской области часто задают, отмечая не репер, в Р, а положительное направление движения вдоль какой-нибудь замкнутой кривой, Обычно окружности. Задание такого направления по существу есть указание направления кратчайшего поворота первого вектора репера до его совмещения со вторым, что равносильно заданию класса ориентации реперов на плоскости. Задачи в уврвжвеввя 1. Явля«Тая лв указанный в ээдэче 4 с яз 4! атлас сферы аряснтярующкм атласом этой сфсрыг 2.
з. Васаальзавэвшвсь прямерам 4 яз 4 1, цредъявкте ориентирующий »глас двумернага тора. Ь Докажите, чга ве сущесгвует арнсятврующега атласа листа Ысбиусэ. с. Покажите, чта зря дяффэамарфяэме й 0 -» б аряснтвруемэя поверх. каст» 5 ~= 0 переходит в арвсвтвруемую.павсрхкасчь 3 щ О. 3. э. Проверьте, чта принадлежащие одному классу ориентации системы криволинейных координат области О ~ )«э яараждэют такие непрерывные поля реперов в О, которые в каждой точке х гм О задают рсвсры одного класса арвевтэцяя пространства ТОх. Ь, Покажите, чта в связкой области О щ Пэ непрерывные поля реперов разбиваются точна вв двэ класса ориентации.
с. Покажите, чта если гладкая поверхность 5 ~ Пл обладает арвевтярующкм атласам, та яэ 5 существует непрерывное поле реперов касательных к 3 прастрэяств, в классам аркевтэцкк этлвсав поверхности 5 отвечают классы ориентации таких полей реперов. б. Докажите, чта вэ связной арвеятярувмай павсрхксстк мажва э»дать тачка две различные ориентации. 4. в.
В прастрэксгвв 1«л фяксвравэва падпрастрэясгва 1«"-И взят вектор в щ («л 1«л-э к двэ репера (дэ, ..., $э г), (й» ..., $э,) падцрастрэвствэ Р' к Проверьте, чта зтв реперы принадлежат одному классу ориентации реперов ярастрзвствэ Пм-г тогда в толька тогда, кагдв реперы (в, $ь ..., йл э), (в, ,, ..., $э э) задают адввэкавую арясктзцвю пространства 11», . Покажите, чта яэ глэдкай паверквасгк 5 ~ Р' гагдв к талькб тогда существует непрерывное поле реперов касательных црастрэвств, когда вв 5 существувг непрерывное поле едвввчвых нормальных к 5 векторов. Отсюда, в чэствасгв, вытекает аркевткрусмасгь двусторонних павсрхяастей. с. Паквжктэ, чта если Егзб Г Ф О, та задаваемая уравнением Р (хэ, ..., х")=О поверхность аряеяткрувмэ (яредцалэгэвгся, чта уравнение внут решение). б. Обабщнте предыдущий результат кэ случай поверхности, задаваемой системой уравнений. е.
Объясните, почему яе каждую глвдкую двуме, чую поверхность' в Пз можно задать ураввввкем г" (х, у, э) О, где г" †гладк фуккцвя бвэ крвткчссккх тачек (т. е. Егэб г' ~ О). Г», Хп, ПОВЕРХНОСТИ И ФОРМЫ В Ы й 3. Край поверхности и его ориентация 1. Поверхность с краем. Пусть Р— евклидова пространство размерности й, наделенное декартовыми координатами 11„..., 1». Рассмотрим полупространство Н': = (1 ен Г«» ! Р < О) пространства Р.
Гиперплоскость дН':=(1 ~~»)11=0) будем называть краем полупространства Н'. Заметим, что множество Й»:= Н' «дН», т. е. открытая часть Н", является простейшей й-мерной поверхностью. Само же полу-. пространство Н' формально не удовлетворяет определению поверхности ввиду. наличия в Н" точек края дН". Множество Н' является каноническим представителем поверхностей с краем, которые мы сейчас опишем. Определение 1. Множество 5 ~ Я" называют поверхностью (размерностью й) с краем, если любая точка х ен 5 имеет окрестность (? в 5, гомеоморфную либо Р, либо Н". -- Определение 2. Если при указанном в определении' 1 гомеоморфизме йх (7 -1- Н" точке х ен 11.
соответствует точка 1р(х) ендН», то х называется точкой края поверхности (с краем) 5 и 'своей окрестности У. Совокупность всех точек края называется краем поверхности 5. Край поверхности 5, как правило, будет обозначаться символом д5. Напомним, что при гомеоморфном отображении 1р1~. '61-+'67 области б! ~ Р на область 01 ~(«» внутренние точки области б! переходят во внутренние точки образа сри (61) (это — теорема Брауэра). Следовательно, понятие точки края поверхности не зависит от выбора локальной карты, т. е.
определено корректно. Определение 1 формально включает в себя и случай поверхности, описанный в определении 1, 8 1. Сопоставляя эти определения, видим, что если на 5 нет точек края, то мы возвращаемся к прежнему определению поверхности, которое теперь можно было бы считать определением поверхности без края. Отметим в этой связи, что термин «поверхность с краем» обычно употребляется тогда, когда множество точек края непусто.
Понятие гладкой (класса С<"!) поверхности 5 с краем вводится„как и для поверхностей без края, требованием, чтобы 5 обладала атласом карт-данного класса гладкости. При этом мы подразумеваем, что д»(я карт вида 1р: Н'- (? частные производные от 1р в точках кран дН» вычисляются только по области Н' определения отображения 1р, т, е. иногда это односторонние производные, а якобиан отображения !р отличен'от нуля всюду в Н". Поскольку Р» можно диффеоморфизмом класса С' ' преобразовать в куб Р=(1я(«»!!1" (<1, 1=1, ..., й), причем так, что Н' преобразуется в часть 1и куба Р, определяемую дополнительным условием Р(0, то ясно, что в определении поверхности с краем (даже в случае ее гладкости) можно было бы «».
КРАЙ ПОВЕРХНОСТИ заменить Р на Р, а Н.' на 1»н или на куб Р с одной присоединенной гранью Р-':=(1~Р!!1=1, ~11~(1, 1=2, ..., й), являющейся, очевидно, кубом на единицу меньшей размерности. С учетом этой всегда-присутствующей свободы в выборе канонических локальных карт поверхности, сопоставляя определения 1, 2 и определение 1 из $ 1 видим, что справедливо следующее У т в е р ж д е н и е 1. Край Ьмерной поверхности «лосса С1 ' сам являе1пся поверхностью того же «ласса гладкости, причем поверхностью без края и на единицу меньшей размерности в сравнении с размерностью исходной поверхности с крым: 4 Действительно, если А(5) =((Н', 1Р1, (71))()((1«», 1рм (71))— атлас поверхности 5 с краем, то А (д5) =(((«»-1, Тр, !вн»,и» „д(71)), очевидно, является атласом того же класса гладкости для края д5.
!ь Укажем некоторые простые примеры поверхностей с краем. Рис, 77 Пример 1. Замкнутый п-мерный шар В" в Р' есть и-мерная поверхность с краем. Ее край дВ' есть (и — 1)-мерная сфера (см. рис. ?6 и рис. ?7, а). Шар В", называемый часто по аналогии с двумерным случаем и-мерным диском, можно гомеоморфно преобразовать в половину п-мерной сфе. ры, краем- которой является экваториальная (п — 1)-мерная сфера (рис. 77, Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
