В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Шварцу, показывает, что аналогичные действия при попытке определить площадь даже очень гладкой поверхности через плошади, »вписанных» в нее многогранных поверхностей могут привести к абсурду. В цилиндр радиуса )! н высоты гг' впишем многогранник следующим образом. Рассечем циливдр горизонтальными плоскостями на и равных цилиндров высоты О/и каждый. Каждую из и+ 1 окружностей сечения (включая окружности верхнего и нижнего оснований исходного цилиндра) разобьем на л равных частей так, чтобы точки деления на каждой окружности находились под серединами дуг ближайшей верхней окружвасти.
Теперь берем пару точек деления любой. окружности и точку, лежащую непосредственно над или под серединой дуги, заключенной между этой парой точек. Указанные три точки порождают треугольник, а совокупность всех таких ° треугольников образует многогранную поверхность, вписанную в исходную цилиндрическую поверхность (боковую поверхность прямого кругового цилиндра). На вид этот мнагогравник похож на примятое и собравшееся в гармошку голенище сапога, поэтому его часто называют сапогом Шварца. а.
Покажите, что если и и и устремить к бесконечности, но так, чтобы при этом отношение ла/и стремилось к вулю, плошадь построенной многогран. ной поверхности будет неогравиченно расти, хотя размеры каждой ее грани (треугольника) при этом стремятся к нулю.
Ь. Если же'п и и стремятся к бесконечности так, что отношение и!па стремится к некоторому конечному пределу р, то плошади многограаных поверхностей будут стремиться к конечному пределу, который в зависимости от величиям р может быть больше, меньше или (при р=б) равен площади исходной цилиндрической поверхности. с. Сравните описанный. здесь способ введения плошади гладкой поверхносэи с тем, который изложен в й 4, и объясните, почему в одномерном случае Г зультаты совпадают, а в двумерном уже, вообще говоря, не совпадают. аковы условия иа последовательность вписанных многогранных поверхностей, гарантирующие совпадение результатовг $5. Начальные сведения о дифференциальных формах Дадим теперь первоначальные представления об удобном математическом аппарате дифференциальных форм, обращая здесь основное внимание на его алгоритмические возможности, а не на подробности теоретических конструкций, которые будут изложены в гл.
ХЧ. 1. Дифференциальная форма, определение и примеры, Из курса алгебры читателю хорошо известно понятие линейной формы, и мы этим понятием уже широко пользовались при построении дифференциального исчисления. Там главным образом встречались симметрические формы. Здесь же речь будет о кососимметриче- скнх (антисимметрических) формах.
Напомним, что форма Ь! Х» -ь )г степени нли порядка йр определенная на упорядоченных наборах й„..., й» векторов линейного пространства Х и принимающая значения в линей- ном пространстве )г, называется кососимл!елгрическог2 (антисиммет- рической), если значение формы меняет знак при перестановке местами любой пары ее аргументов, т. е. Тйг" й" Ь "»Ы= — ~61 "Ь" йг" $»).
В частности, если 91 =$У, то независимо от остальных векто- ров значение формы будет равно нулю. Пример 1. Векторное произведение [й„йз1 векторов про- странства Р есть билинейная кососимметрическая форма со зна- чениями в линейном пространстве ыз. Пример 2. Определенный формулой (1) 5 4 ориентирован- ный объем (г (йт, ..., 9») параллелепипеда, натянутого на векторы $„..., $» пространства гч», является кососимметрической вещест- веннозначиой й-формой в Р. Нас будут пока интересовать вещественнозначные формы (слу- чай )г=Щ, хотя все излагаемое ниже применимо и в более общей ситуации, например, когда )г есть поле С комплексных чисел.
Линейная комбинация кососнмметрических форм одной степени в свою очередь является кососнмметрической формой, т. е. косо- симметрические формы одной степени образуют линеиное прост- ' ранство. В алгебре вводится, кроме того, операция А внешнего умно- жения кососимметрических форм, которая упорядоченной паре АР, Вч таких форм (степени р и г) соответственно) сопоставляет косо- симметрическую форму АР А Ве степени р+д. Эта операция ассоциативна: (АР л Вг) А С'= АР л (Вг А С'), дистрнбутнвна: (АР+ Ва) А Се = АР А Сч+ Вл А Сч, косокоммутативна: АР л Вч=( — 1)лч Вг л АР.
В частности, если речь идет об 1-формах А и В, то имеет место антйкоммутативность А д В = — В д А операции, подобная 19'. 2 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ Г», хи. пОВеРхности и ФОРмы В Е" антикоммутативности упомянутого в примере ! векторного произведения, обобщением которого и является внешнее умножение форм. Не вникая в детали общего определения внешнего произведения„примем пока к сведению перечисленные свойства этой операции и отметим, что в случае внешнего произведения 1-форм О„..., (.»~Ж(К", К) результат 1'.1л ...
АЕ» есть й-форма, которая на наборе векторов $1, ..., $» ее(,'" принимает значение 1ь»Я») - е»Я1) Е»Л ... Л).»(9„..., $»)=~ . = с$е1((.~(91)). (1) * . ~1 (2») " Ь» Я») Если соотношение (1) принять в качестве определения его левой части, то из свойств определителей легко следует, что в случае линейных 1-форм А, В,. С действительно: А л В = = — В л А и (А + В) л С = А л С+ В л С. Рассмотрим несколько полезцых для дальнейшего примеров. П риме р 3. Пусть и' ен Х (Р, И), 1 = 1...:, п, — проекторы.
Точнее, линейная функция л': Р-«Р такова, что на любом векторе з =($', ... $") ~ Р' она принимает значение я» (й) = $1 проекции этого вектора на соответствующую координатную ось. Тогда в соответствии с формулой (1) получаем и" л ... л п»($„..., $») = (2) й') 2'» Пример 4. Декартовы координаты векторного произведения [е1, Ы векторов в1=(з), 91, 91), 52=(Ц, 92, 92) евклйдова пространства 121, как известно, определяются из равенства ]=~Й,-''й й 1[! й й[!) Таким образом, в соответствии с результатом примера 3 можно Ъаписать, что и'(31, 92])=п»Л па(9„92), а2([в» $2])=я»л п1($1, $2), 222 ([з1 з2]) и1 л п» (з1 з») Пример 5. Пусть .1: 0-«й — определенная в некоторой области 0~17» и дифференцируемая в точке х»ее 0 функция.
Как известно, дифференциал о((х») функции в точке является линейной функцией, определенной на векторах $ смещения от втой точки, точнее, на векторах пространства ТО„, касательного к 0 (к Р) в рассматриваемой точке. Напомним, что если х', ... ..., х"-координаты в 1С"; а й (91, ..., Р), то 4 (х») ($) э- (х») $ +...+ 2 — (х») $01/ (хэ). В частности, дх'(з) =$', или, более формально, »(х1(х )(2)=21. Если )» 1» — определенные в б и дифференцируемые -в точке х»ееб вещественнозначные функции, то в соответствии с формулой (1) в точке х, на наборе $1, ..., $» векторов прост- ранства Тб„, получаем Д)1Я1) " Д)»Я1) ~ д~,л...лаЬи„..., Ы= " .. ~, (3) и(1Я»)" и)»(ь»)~ и, в частности, 1 дх" л...л дх'»($1, ..., Ы=,',' (4) ~ й'1.
й'» Таким образом, из линейных форм»17"„..., »()», определенных на линейном пространстве ТО„"- ТК,-- К", получились опре- ,деленные на этом же пространстве кососимметрические формы степени й. Пример 6. Если )ыСЕН(0, [с), где 0 — область в Р, то в любой точке хее 0 'определен дифференциал»(1(х) функции 7, который, как было сказано, является' линейной функцией О7'(х): Т΄— Т(!и ~-:Р на линейном пространстве ТР„, касательном к 0 в точке х. При переходе от точки к точке в области 0 форма »(1(х)=)'(х), вообще говоря, меняется. Итак, гладкая скалярная функция ): 0-«Р порождает в каждой точке области 0 линей- ную форму»()'(х), или, как говорят, порождает в 0 иоле линей- ных форм, определенных на соответствующих касательных прост- ранствах ТО„.
Определеине 1. Будем говорить, что в области Р~ы». задана вещественнозначная дифференциальная р-форма м, если в каждой точке х ее 0 определена кососимметрическая форма (х): (ТР„) Р. Число р обычно называют степенью или порядком дифферен- циальной р-формы м. Таким образом, рассмотренное в примере 6 поле дифферен- циала »(г гладкой функцни ): 0 -«Р есть дифференциальная 1-форма в области О, а»э =дх~1 л... л дх Р есть простейший при- мер дифференциальной формы степени р. .
Пример 7. Пусть в области Рс:Р задано векторное поле, т. е. с каждой точкой хее Р связан вектор )Р(х). При наличии евклидовой структуры в Р" это векторное поле порождает сле- дующую дифференциальную 1-форму мр в В, Если $ — вектор, приложенный к точке х ее О, т. е. $ ец ТО, . то положим ар(х) (в) =(Р (х), $). Из свойств скалярного произведения вытекает, что в каждой точке хееО ЫР(х)=(гт(х), ) действительно является линейной формой.
'Оо г . хп, повагхности и фогмы ви" $2. ДИФФВРЕНЦИАЛЪНЫЕ ФОРМЫ Такие дифференциальные формы возникают очень часто. Например, если е — непрерывное силовое поле в области О, а $ — вектор малого смещения от точки х ~ О, то элементарная работа поля, отвечающая такому смещению, как известно из физики, определяется именно величиной (Р(х), $). Итак, поле сил Р в области 0 евклидова пространства Р естественным образом порождает в 0 дифференциальную 1-форму ыгт которую в этом случае естественно назвать формой работы поля Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
