В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 48
Текст из файла (страница 48)
3 '= -4' .4' = 7~ 7~ иь = ап! ( — Мпй ое! сое! — +, +емз!) =2п Пример 2. Пусть ! ' — радиус-вектор точки (х, у, г) ен(сз, а Г=! ~. Пусть всюду в Р вне начала координат задано поле сил вида Р=((Г) ! . Это — так называемое центральное поле. Найдем работу поля Р на пути у: [О, 11 — «Р",О.
Используя (2), находим 1(Г) (Хдг+УС(у+г!(г) = 2- ~ 1(Г) Ь((Х'+Уз+а') 1 1 = — И. (()) (.* (() = -2' ~ Ь~ ' И0й (1) «и лз = 1- ~)".()!Ги)ь(и=Э(~м Г1). о Здесь мы„как видно, положили х' П) +у' (!) + г' (1) =" (1)' Гз (!) = и (!), Го = Г (О) Гх = Г (1). Итак, в любом центральном поле работа на пути у оказалась зависящей только от расстояний Го, Г1 начала и конца пути до центра 0 поля. 1 В частности, для гравитационного поля —,г единичной точечной массы, помещенной в начало координат, получаем м 1Г! 1 1 сп(ео Г1) = ) —, с(и = — — — ° =2)„зи 1 Ь. Поток через поверхность. Пусть в области 6 ориентированнбго евклидова пространства (сз имеется установившееся течение жидкости (или газа) и х У(х) — поле скоростей этого течения в области 6.
Пусть, кроме того, в б взята гладкая ориентированная поверхность 5. Для определенности будем считать, что ориентация 5 задана полем нормалей. Требуется определить (объемный) расход или поток жидкости через поверхность 5, точнее, требуется найти, какой объем жидкости протекает в единицу времени через поверхность 5 в указанную ориентирующим полем нормалей сторону этой поверхности. 'Для решения задачи заметим, что если поле скоростей течения постоянно и равно ~, то поток в единицу времени через натянутый на пару векторов $„52 параллелограмм П равен объему параллелепгпеда, построенного на векторах 7', йм йз. Если 2) нормаль к П и ищется поток через П в сторону, указываемую нормалью 2), то он равен смешанному произведению (1Г, 5„ $2), если 2) и репер 51, 52 задают одинаковую ориентацию П (т.
е. если 2), $1, 52 — репер заданной в (сз ориентации). Если же репер $1, 52 задает в П ориентацию, противоположную определяемой пб Рис. 84. гл. хнь кгиволинвяныв и поввгхностныв ннтвггллы нормалью Ч, то поток в сторону, указанную нормалью 2), равен Вернемся теперь к исходной постановке. Предположим для простоты, что поверхность Я в целом допускает гладкую параметризацию !р: ! -~ 5 с: О, где 1 — двумерный промежуток плоскости Д. Разобъем 1 на маленькие промежутки 1; (рис. 84). Оораз !р(!!) каждого такого промежутка аппроксимнруем параллело-' граммом, натянутым на образы $2=!р'(1!) т» $ =!р'(1) т вектоов т ! 1 2= ! 2 р 2, т2 смещения вдоль координатных направлений, Считая„ что (Г(х) мало меняется в пределах куска !р(1!) поверхности, и заменяя !р(!!) указанным параллелограммом, можем считать.
что поток Д,У! через кусок !р(!!) поверхности с малой относительной погрешностью совпадает с потоком постоянного поля скор с е" ( !) = (2р ( !)) через параллелограмм, порожденный векторами „„Считая, что репер $„$2 задает на Я ту же ориентацию, что и 2), находим ! (~(х!)~ ь! в2)' Суммируя элементарные потоки, получаем г =Х ДУ' ХО2г(х')(й! й2) где 22~ (х)=(1г(х),, ) (рассмотренная в примере 8 й 5 гл. ХП) 2-форма потока. Если перейти к пределу (беря все более мелкие разбиения Р промежутка !), то естественно считать, что У:= 1пп ~ 22"'! (х!) (2ь2, 222) =! ~22'"р. (3) э 2, интвггАл от днфевгвнцнхльнои формы 21 Последний символ есть интеграл от 2-формы 22г по ориентированной поверхности Я. Вспомнив (см.
формулу (12) э 5 гл. ХП) координатное выражение формы потока 22г в декартовых координатах, мы вправе записать также, что ,У = ~ (г! г(х2 д !(х2+ $" !(хэ д 2(х! + Р2 !(х! !! бх2. (4) Мы обсудили лишь общий принцип решения поставленной задачи. В сущности, мы дали только точное определение (3) потока У' и ввели некоторые обозначения (3), (4), но ие получили пода эффективной вычислительной формулы, подобной формуле (1) для работы.
Заметим, что формула (1) получается из выражения (2), если вместо х', ..., х" в него подставить функции (х', ..., х")(1) =х(1), задающие путь у. Напомним (см. 3 5 гл. ХП), что такая замена интерпретируется как перенос заданной в б формы а2г на отрезок !=(а, Ь1. Совершенно аналогично и вычислительная формула для потока может быть получена прямой подстановкой в (4) параметрических уравнений поверхности. В самом деле, ь2г (х!) (в» $2) = ыг (2р (1;)) (2р' (1!) т» 2р' (1!) т2) = (2р*гэ~) (1!) (т» '22) Х 22$'(х!)(ь2~ ь2) ~ (!Р 22$)(1!) (т» т2)' ! ! Форма !р*е$ определена на Двумерном промежутке 1 с:Р.
В ! любая 2-форма имеет вид )(1)д12л2(12, где 1 — зависящая от формы функция на 1, поэтому <р*э2г (1!) (т„т2) = 1(1!) 2(1! д 2(12 (т» т,). Но 2(1' л !(1' (т» т,) = т, 'т,' есть площадь определяемого ортогогональными векторами т» т, прямоугольника !и Таким образом, Е1(А) 2(1! Л2(12(т» т2) = ) ',1(1!)! 1!).
! При измельчении разбиения в пределе получим ~!(1)!(1! Дг(12= ~!(1)612М2, (5) ! ! где в левой части, согласно (3), стоит интеграл от 2-формы ы2 = 1(1) Й! л Й12 по простей2пей ориентированной поверхности 1, а в правой части — интеграл от функции 1 по прямоугольнику 1. 2! '!8 Гз. Х111. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Остается вспомнить, что координатное представление 1(1)2(11 2(12 фор зр ыр получается из координатного выражения формы ыр А ности 5. прямой заменой переменных х=зу(1), где зр: 1-2.!) — карта позе — — поверх-. Выполнив эту замену, из (4) получим Ы'р = ') ~Р*Юззр = 3-Ф(1) ! дхз дхз дп дн дхз дхз дм ди дхз дх! ~ У'( (1)) 1 дхз дхз дп д12 дх' дхз ди дп дх! дхз д!" ди + У'(у(1)) 2111 А 2((2, Последний интеграл, как показывает равенство (6), есть обычный интеграл Римана по прямоугольнику 1.
Таким образом, мы нашли, ето !" (т (О) ,д!Р! дп дп ! (т(1)) дрз —,У) д!Рз ьдм ,— (1) Уз (ч! УВ дб дп () 2(11,аз (6) ГДе х= !Р (1) = (22 зр', зр~) (1~, Р) — карта поверхности 5, задающая ту же.ориентацию 5, что и указанное нам поле нормалей к 5. Если карта йи 1-2.5 задает на 5 противоположную ориентацию, то равенство (6), вообще говоря, нарушится, но, как следует из приведенных в начале пункта соображений в э левая и п ь ии, в этом случае его правые части будут отличаться только знаком. Окончательная формула (6), очевидно, есть просто-напросто Ъам элементарных потоков ПРз"-(У(х1), йз. йз). Мы рассмотрели случай поверхности, задаваемой одной картой. кие к ски,5. В.общем случае гладкую поверхность 5 можно р б аз ить на гладний, и найти ус и, о не имеющие между собой существенных пе е р сече- П име 3.
П поток через 5 как сумму потоков через куски 5.. р р . усть среда движется поступательно с постоя!' ной око остью У= р ' =(1, О, 0). Если в области течения взять любую -замкнутую поверхность, то, поскольку плотность среды количество ве в не меняется, щества в объеме, ограниченном взятой поверхностью, должно оставаться неизменным. Значит, суммарный поток среды через такую поверхность должен быть равен нулю. Проконтролируем в этом случае формулу (6), взяв в качестве 5 $!.
ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ Сферу 5 с точностью до множества, имеющего площадь нуль и потому пренебрежимого в рассматриваемом вопросе, можно задать параметрически х= )1 соз ф соз!р, у=)т созфз)п Чз, г = )зз 21П 2(2! где О «р ( 2п, — и/2 ( 2(2 < и/2. После подстановки в (6) этих соотношений,,и У (11 О, 0), получим ду дг ',~,' зззз=зд 1 мззз 1 иззз-з.
дзу д!у ду дг дзь дз)2 — а/2 Поскольку интеграл равен нулю, мы даже не интересовались, в какую сторону (внутрь или наружу) ведется расчет потока. Пример 4. Пусть поле скоростей, движущейся в пространстве Р среды в декартовых координатах х, у, г определяется равенством У(х, у,' г)=(У', У', У')(х, у, г)=(х, у, г).
Найдем в этом случае поток через сферу х'+у'+г'= 02 внутрь ограниченного ею шара (т. е, в сторону внутренней нормали). Взяв параметризацию сферы из предыдущего примера и выполнив подстановку в правую часть формулы (6), найдем, что )1 соз зр 21п !р Й 21п зр )Т соз ф соз~р Π— )1 21п 2(221п !у Я соз 2(2 Я созф соз чз — Я соз зр з (п !р йз з)п зр соз !р 2х Ш2 = ~ (,у ~ )Рзсоззрз(2(2=4пйз. ю — х/2 2.
Определение' интеграла от формы по ориентированной поверхности. Решение рассмотренных в п. 1 задач приводит к определению интегр ала от й-формы по ориентированной Ьмерной поверхности. Теперь проверим, согласуется ли задаваемая криволинейными координатами (зр, зу) ориентация сферы с ориентацией, задаваемой внутренней нормалью. Легко убедиться, что не согласуется. Поэтому искомый поток х = — 4Й)12. В данном случае полученный результат легко проверить: вектор У скорости течения в каждой точке сферы 'равен по вели,чине )т, ортогонален сфере и направлен наружу, поэтому поток изнутри во,вне равен площади сферы 4Й)тз, умноженной на )т. Поток в противоположную сторону получается равным — 4п)тз. Гл. Хп!.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Пусть сначала 3 — гладкая й-мерная поверхность в (с'", заданная одной стандартной картой >р: ? -Ф 3. Пусть на 3 задана й-форма а. Интеграл от формы в по параметризованной поверхности >р: ? — ~8 строится следующим Образом. Берем разбиение Р й-мерного стандартного промежутка ! с:Р, индуцированное разбиениями (отрезков) проекций на координатные оси. В каждом йромежутке 1; разбиения Р берем вершину (ь имеющую минимальные значения координат, и связываем с ней й векторов т„..., т„, идущих в направлении координатных осей в и соседних с Г! вершин промежутка 1! (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
