В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 49
Текст из файла (страница 49)
рис. 84). Находим векторы $>=>р'(») т„..., З»=>р'(>!) т» касательного пространства ТЗ„Ф(>„), вычисляем в (х>) Я„..., Е») =: (>р" в) (>!) (т„..., т»), составляем интегральную сумму ~ в(х,) ($„..., З»). и переходим ! к пределу, когда параметр Л(Р) разбиения стремится к нулю. Таким образом, мы принимаем Определение 1 (интеграла от й-форл>ы а по заданной картой >р: 1-эЗ гладкой й-мерной поверхности).
~ в: = 1нп у; в(х>)(~>, .'., $»)= :.>Р>-О ! 11ш ~ (>р*в) (Т>) (т>, А>Р>-О Если применить это определение к й-форме на 1 (когда >р — тождественное отображение), то, чим, что , т») (?) 1 (() й(! л ...
л й(» очевидно, полу- (9) (9') 5;.Ф,>О> О ')1(1) й(' л ... л й(» = (>1 Я й(! ... й(». (8) ! Таким образом, из (?) следует, что а=~ р*в, 5 Фи» а последний интеграл, как видно из равенства (8), сводится к обычному кратному интегралу от соответствующей форме >р*в функции 1 на промежутке 1.
Важнейшие соотношения (8) и (9) мы вывели из определения 1, но их самих можно было бы принять в качестве исходных опре- делений. В частности, если 0 — 'произвольная область в Р (не обязательно промежуток), то, чтобы не повторять процедуру суммирования, положим 1 1ЯйР л ... л й1'! =11(1) й(! ... й(», (8') о о а для гладкой поверхности, заданной в виде >р: 0->. 8 и й-формы в на ней, положим $ !. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ Е и 3 — и оизвольная кусочно гладкая й-мерная поверхность, а в — определенная на гладких кусках 3 к-форма,, ред вив 8 как объединение Ц 3> гладких параметризованных поверх> настей, пересекающихся, их я быть может лишь по множествам мень- 1 шей размерности, полагаем 1:=Х1 (10) 5 ! 5! В отсутствие содержательной физической или иной решаемой соотношением (10) задачи, такое определение вызывает вопрос о независимости полученной величины интеграла от разбиения ( ) и от выбора параметризации отдельных его кусков.
Проверим корректность данного определения. Рассмотрим сначала простейший случай, когда 3 есть область 0„в Р, а'>р: 0>->-0„— диффеоморфизм области 0>с:(с» на область 0„. В 0„= 3 к-форма в имеет вид 1(х) йх! л ... Айх». Тогда, с одной стороны, в силу (8) ~ 1(х) йх' л ...
л йх» = ~ 1(х) йхт ... йх». о О„. С другой стороны, по (9') и (8') ~ в:= ~ >р'в= )1(~р(())бе(~р (1)сМ ...й(». ол о> о> Но если с1е(>р'(!)) 0 в 0„то по теореме о замене перемен- ных в кратном интеграле имеет место равенство 1(х)йхл ... й(»= ~1(>р(>))бе1>р'(!)й>!...й!».
о„Ф(од ипаты х' ..., х» Значит, считая, что на 5=0, имелись координаты х', ..., и криволинейные координаты >, ..., д Р ... (» о ного класса ориентации, м ы показали что величина интеграла )в не 5 зависит от того, в какой из этих двух систем координат проводить инаты Р, ..., (» Отметим что если бы криволинейные координаты задавали на 3 другую ориентацию, т.. р >р' ( ) 1 . е. п и с)е! '(>) ГО, оче- видно, правая и левая ча части последнего равенства отличались бы Т об азам о корректности определения интеграла можно говорить, только в случае ориентированной р пове хности : 0 ->- 3 и >р,: О, — 8 — две параметризации одной и той же гладкой й-мерной поверхности 3 и в — -форм 722 г».
х1п, кри ВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ на 8. Сравним интегралы ~ ф*,в и ~ ф)в. (1 1) о„ о Поскольку <р,=ф ° (ф„' ° ф,) =ф, ф, где ф=ф,' ° ф,: 0,-«0— форму ф,в в О, можно получить заменой фор. е ф,в. А как мы только что проверили, в этом случае интегралы (11) совпадают, если бе!ф'(1)->О и отличаются знаком, если с[е[ф'(()<" О. Э Итак, показано, что если р,: 0 -«8: 0 8— за иио , ф„: -«8 — параметрисов а ц диого класса ориентации поверхности 5 и дают.
Независимость интеграла от выбо а бо" , то интегралы (11 саванных систем к ив вы ора любой из соглапроверена. м криволинейных координат на поверхно 5 ости Независимость интеграла (1О) по о ориентированной кусочно гладкой поверхности 5 от способа ее а б раз иения 0 5! на гладкие . куски вытекает из а ддитииности обычного кратного интег ала (достаточно рассмотреть более мелкое азбиение еграла ух раз пени и проверить, что значение интеграла разбиений) . й по нему совпадает со значением на каждом из двух у исходных На основе проведенных рассмот ений тепе енно в определении 1 конструкции интеграла от фо мы.
Оп ределен ие Г (интеграла от фо мы от формы. поверхности 8 с: [с»). формы по ориентированной а) Если в области 0 ~ [с» задана форма,Т(!)й!'л ... Ай!». то * ' « 1 Т (!) й!т А .'.. А й!»: = Г) [ (!) йт ' ... йг». о о — -мерная ориентированная поверх-. Ь) Если 5 с: [с" — гладкая й-ме ь и ф: -« 8 -ее параметризация, а в -й-форма на 5, то. )в:=! ~рв, 3 О причем знак + + берется, если параметризация согла о заданной ориентацией 8, а знак — бе ф согласуется ~ы рется в противоположном с) Если 8 — кусочно гла ка йу д я й-мернаи ориентированная поверх- 4 !. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ где 8Ы ..., 5, ...— разложение 8 на гладкие параметризуемые й-мерные куски, пересекаюп(неся разве лишь по кусочно гладким поверхностям меньшей размерности.
Мы видим, в частности, что изменение ориентации поверхности влечет за собой изменение знака интеграла. Задачи я упрэжпеяяя 1. э, Пусть х, у — декартовы координаты яэ пласкаств Рэ. Укажите, для кэкага вектаряага поля форма в= — — ах+ — Еу является ега у х »»+у» х'+у' фар(йай рабаты. Ь. Нэйдяте кктегрэл ат'укэээпяай в э формы в па следующим путям ур Т1 тй [О, Я1 ш(ь-«(саэб х(п 1) ш Рь! [О, чт) ш1«-»(саэ1, — э!и 0 ш Рг; пУть Тэ сасгаят в дзяжепкя па отрезкам, саедяняюшвм паследавэтельпа точки (1, О), (1, 1), ( — 1, !), ( — 1, О); пугь Т, састапт в двяжеэвв па отрезкам, саедпйяюшям последовательно точки (1, 0). (1, — 1), ( — 1, — 1), ( — 1, 0).
2. Пусть ! — гладкая функция в области Р <=, [е», э Т вЂ” глэдхкй путь в Р . а вэчэлам р» ш Р в концом р, шР. Найдите интеграл ат формы в=й) па т. 3. э. нэйдятэ интеграл ат формы в еу А ее+ее А ех па границе стандэртнага едкяэчяага куба в Пэ, аркентяравэкяай внешней нормалью. Ь.
Укэжяте поле скоростей, для которого рассмотренная в э форма в является эга фармай потока. 4. э. Пусть х, у, г — декэр.авы каардяпэты в [7». Укажите поле скарастей, для которого фйрмэ хдулег+уйгл ах+гихл Зу в (хе + уэ + г»! Зlг Т была бы ега формой потока. Ь. Нэйдпте интеграл ат указанной в э формы в па сфере хэ+у»+»»=[7», арпевтиравэяяай внешней нормалью ° с. Пакэжяте, чта пятак поля ' ' через сферу (х — 2)»-1-уг -1- ( г.! э ! а!э/г +гэ 1 равен нулю.
й. Проверьте, чта поток укэээпкага в с поля через тар, пэрэмэтрячаскве урввяевяя которого даны в примере 4 4 1 гл. ХП, также рэвец нулю. Е. Известно, чта между давлением Р, объемом У я темперэтурай Т дэяного калячествэ вещества имеется связь )(Р, У, Т)=0, называемая в терма. дякэмяке уравнением саешаяния. Нэпрямер, для адяага моля ядеэльнага гэээ РУ уравнение састаяяяя выражается формулой Клэпейранэ — — 77 О, где !с— Т универсальная газовая постоянная. Паскальку величины Р, У, Т связэпы уравнением састаяяпя, зная любую пару вэ вях, в прявцяпэ мажяа определять я астэющуюся велячяпу.
Зкэчят, састаявпе любой системы мажяа хэрэктерззавэть, например, точками (У, Р) пласкаств [!э с каардявэтэмв У, Р; тогда эвалюцяк састаяяпя системы кэк фувкцяя времеяя 1 будет атвэчзть некоторый путь т в втой плоскости. Пусь гзэ помещен в цяляпдр, в котором беэ трепка может перемэщэться поршень. Меняя положение поршня, ээ счет механической рэбаты мы можем вэмэвять состояние газа, ээкжачепнога между поршнем .я степкэмп цилиндра.
Наоборот, меняя состояние газа (яэпрямер, падагревэя эга), можно заставить гзэ совершать мехэпяческую работу (кэпрпмер, ээ счег рэсшярепяя падявмэть грув). й этой ээдэчэ к следующих ээдэчэх 6, 7, 0 все процессы счэтватся проходящими столь медленно, чта в кюкдый конкретный момент дэвлевпе .и температура успевают усрэдввться ва всем объеме всществэ я, тэквм образом, 224 Гл. ХП!. КРИВОЛИНЕННЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 22 4 !, интегРАл От диФФВРенциллънОИ ФОРмы в каждый момент времени система удовлетворяет уравнению состояния.
Это так называемые квазисшотнчссхие. процессы. а, Пусть у — путь в плоскости У, Р, отвечающий квазистатическому переходу заключенного между стенками цилиндра и поршнем газа из состояния Уз, Рд в состояние У«, Р,. Покажите, что величина А совершаемой на этом пути газом механической работы определяется следующим криволинейным интегралом: А=) Р «/У. т Ь. Найдите механическую работу, совершаемую одним молем идеального газа при переходе из состояния !'з, Ра в состояние Уо Р, по каждому из следующих путей (рис.
85): уог! — изобара ОЕ (Р=Р;), затем изохора 5/ (У=у ); т х/ — изохора ОК (1'=!' ), затеьг изобара К/ (Р=Р ); уб — изотерма Т = = сопз1 (в предположении, что Раус= р«УП с. Покажите, что полученная в а формула для механической работы, соверчаемой заключенным между поршнем н стенками цилиндра газом, на самом деле является обшей, т. е. она остается в силе для работы газа, заключенного в любой дефор. мируемой оболочке. 6. Количество тепла, получаемого системой в том или ином процессе изменения ее состояний, как и совершаемая системой механическая работа (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
