В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Наконец, пусты',), — получен- ное иа Участке Т, тепло, а 9« †теп, отдзнное иа Участке Уг. ИсходЯ нз неРа- венства Клаузиуса, покажите, что †- ~ — . 0,' Т, Е Т,' Т,— Т, 6. Получите оценку Ч ~ — коэффициента полезного действия (см, за- дачу 7) любой тепловой машины. Это — вторая теорема Карно (Оцените заодно х. и. д. паровой машины, в которой максимальная температура пара не превы- шает 150'С, т. е. Т,=423 К, а температура холодильника — окружающей' среды †поряд 20 'С, т.
в. Т,=293 К.) е. Сравните результаты .задач 7Ь н 86 н проверьте, чтб тепловая «сашина, работающая по циклу Карссок имеет наибольший (в пределах возможного при заданных значениях Т, и Т,) Кс(эффициснт полезного действии. 9. 1(ифференциальное уравнение — = — называют ууагкгниги с разде йу 1 (х) йх Е (у) кяющимися переменными. Обычно его переписывают в виде Е(у)йу=с'(х)йх, в котором «переменйые разделеныг и затем «решаютг, приравнивая первообраз. ные ~Е (у] йу=) ((к) йх. Используя язык дифференциальных форм, дайте теперь развернутую мате.
матняескусо аргументацию этому алгоритму. В 2. Форма объема, интегралы первого н второго. рода 1. Масса материальной поверхности. Пусть 5 — материальная -поверхность в евклндовом пространстве ~з. Предположим, что нам известна (поверхностная) плотность р(х) распределения массы на поверхности 5.
Требуется определить массу всей поверхности 5. Для решения задачи прежде всего надо учесть, что поверхностная плотность р (х) в точке х ~ 5 есть предел отношения массы Ллс части поверхности, попавшей в окрестность точки х, к площади Ао этой же части поверхности, когда окрестность стягивается к точке х. Разбив повеРхность 5 на мелкие Доли 5с и считаЯ Р непРерывной функцией на 5, можно, пренебрегая изменением р *) Р. Клаузиус (!822 — !888)=немецкий физик, заложивший основы меха. иической теории теплоты; в термодинамике ему принадлежат понятия внутренней энергии и энтропии, а в кинетической теории газов †основн понятие длины свободного пробега молекул. В" ЕЗ Гл.
Х1П. КРИВОЛИНЕЯНЬ/Е И ПОБЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ $2 ФОРМА ОБЪЕМА в пределах каждой малой доли, найти массу 51 из соотношения бтс — р (хс) ба„ в котором с)пс — площадь поверхности 5И з х; е= 5Р Суммируя эти приближенные равенства и переходя к пределу прн измельчении разбиения, получим, что т= )рс(О.' (1) .2.
Площадь поверхности как интеграл от формы. Сопоставляя определение 1 Э 1 интеграла от формы с конструкцией, которая привела нас к определению площади поверхности Я 4 гл. Х11), видим, что площадь заданной в параметрическом виде ср: 0- 5 гладкой /2-мерной поверхности 5, лежащей в евклидовом пространстве )сл, является интегралом от некоторой формы Й, которую мы пока ц/лько условно будем называть формой объема или элементом объема нз поверхности 5. Из соотношения (5) ) 4 гл. Х1! следует, что в криволинейных координатах ср: 0- 5 (т.
е. буду. чи снесена в область О) форма () (точнее 42»О) имеет вид сз )л с)е1 (ас/) (1) йр л... л с(1», (2) где яс/(1) =, —, — )(1), 1, / = 1, ..., й. / дср дср с ', д/Р' д/1) При друс ой параметризации ср: 0- 5 той же поверхности для вычисления площади 5 по области 0 надо соответственно интегрировать форму сз = 3~'с)е1 (дс/) (1) с(11 л... л с(1», (3) где дс/(!) =(=, =, 1, 1=1, ..., й, /дср д41 с дй ' д/й )' Обозначим через ф диффеоморфизм ср-' ср: 0 О, осущест.
вляющий переход от координат 1 к координатам 1 поверхности 5. В свое время мы уже подсчитали (см, замечание 5 2 4 гл. Х1!), что ) лс)е1(дс/) (1) = $~ пе1 (д11) (ф(1)) ! с)е1 ф' (/) !. (4) Символ написанного здесь интеграла по поверхности 5, очевидно, требует разъяснений, которые позволили бы довести дело до вычислительных формул. Отметим, что по самой постановке задачи левая часть равенства (1) никак пе зависит от ориентации поверхности 5 и, значит, этим же свойством должен обладать стоящий справа интеграл. Зто на пЕрвый взгляд контрастируеэ с тем понятием интеграла по поверхности, о котором мы подробно говорили Б с !.
Ответ нз возникший вопрос кроется в определении элемента поверхности с(а, к анализу которого мы и переходим. Вместе с тем очевидно, что ср*с» = )' с)е1 (дс/) (ср (1)) с)е1 2р' (1) с(/1 л... л а/». (5) Сопоставляя равенства (2) — (5), видим, что ср»сз = й, если с)е1»р'(/))О, и 2р'ы= — й, если с)е(ср'(/)(О. Если формы з» и й получались переносом ср* и соответственно й Ф из одной и той же формы (! на 5, то всегда должно быть выполнено равенство ф*(ср»!!) =ср*1» или, что то же самое, ф»с»=й. Мы приходим, таким образом, к заключению, что формы на параметризованной поверхности 5, которые надо интегрировать, чтобы получить площадь этой поверхности, р а з л и ч н ы — отличаются знаком, если параметризации задают на 5 различные ориентации; эти формы совпадают для параметризаций, принадле.
жащих одному классу ориентации поверхности 5. Таким образом, форма объема О па 5 должна определяться не только самой поверхностью 5, лежащей в евклндовом пространстве Р, но и ориентацией 5. Это может показатьс)с парадоксальным: площадь поверхности по нашим представленийм не должна' зависеть от орнентации1 Но ведь мы пришли к определению площади параметризованной поверхности через интеграл, интеграл от некоторой формы. Значит, если результат наших вычислений не должен зависеть от ориентации поверхности, то, как следует из свойств интеграла, при разных ориентациях поверхности мы должны интегрировать разные формы.
Доведем высказанные соображения до точных определений. 3. форма объема. О п р еде лен не 1. Если Р— ориентированное евклидово пространство со скалярным произведением (, ), то формой объема !1 на (,'», соответствующей данной ориентации 1,'» и скалярному произведению (, ), называется такая кососимметрическая й-форма, которая на Ортонормированном репере данного класса ориентации (с» принимает значение единицы.
Значение /2-формы на репере е,, ..., е„, очевидно, вполне определяет эту форму. Заметим также, что форма П определяется не индивидуальным ортонормированным репером, а только их классом ориентации. 4 В самом деле, если е„..., е» и е,, ..., е» вЂ” два таких репера одного класса ориентации, то матрица О перехода от второго базиса к первому является ортогональной матрицей, причем с)е10=1.
Значит, П (е„ ..., е,) = с)е1 О П (е», ..., е») = П (е„ ..., е») = 1. )ь . Если в Р фиксирован ортонормированный базис е„..., е», а яс, ..., Л» — проектирование Р на соответствующие к/2орди- ЛО Гл. ХПЬ КРИВОЛИИНПНЫВ И ПОВВРХНОСтНЫВ ИитВГРАЛЫ $ а ФОРМА ОБЪЕМА натные оси, то, очевидно, и' л...л и'(е„..., е,) =1 и я = п' л... л пь, Таким образом, 1! 1» ь? (ь ° ° ° ьь) = 1ь "1» Это ориентированный объем параллелепипеда, натянутого на упорядоченные векторы $!,-.' , $„.
О п р еде л е н и е 2. Если гладкая й-мерная ориентнрованйая поверхность 5 лежит в евклидовом пространстве К», то в каждой касательной к 5 плоскости Т5, имеются ориентация, согласованная с ориентацией 5, и скалярное произведение, индупированное скалярным произведением в Рл, а значит, есть и форма объема ь? (х).
Возникающая при этом на 5 дифференциальная и-форма (? называется 4юрмой (или элвмгнтом) объел!а на поверхности 5, нндуцированнои вложением 5 в евклидова орос!ранство 1?л. Оп редел'ен не 3. Площадь ориентируемой гладкой поверх ности есть интеграл по этой поверхности от формы объема. соответству!ошей выбираемой на поверхности ориентации.
Это сформулированное иа языке форм и уточненное до деталей определение площади, 'конечно, согласуется с определением 1 4 гл Х11, к которому мы пришли, рассматривая заданную в параметрическом виде й-мерную гладкую поверхность 5 ~ Р". 4 Действительно, параметризация ориентирует поверхность и все касательные к ней плоскости Т5„. Если $!, ..., $„— репер в Т5„фиксированного в Т5„класса ориентации, то из определений 2 и 3 формы объема 0 следует, что Я (х)(з„..., $„)) 0 Но тогда (см. равенство (2) ч 4 !л. Х11) 1?(х)($!, ..,'$ь)='У/бе! ((~!, $?)).
(6! Отметим, что сама форма ь?(х) определена на любом наборе ..., $„векторов Т5„, но' равенство (6) действует только на реперах заданного в Т5„класса ориентации. Отметим также, что форма объема определена только на ориентированной поверхности, поэтому, например, бессмысленно гово рить о форме объема па лежащем в (,!» листе Мебиуса, хотя можно говорить о такой форме в пределах каждого ориентируемого куска этой поверхности. Определен не 4. Пусть 5 — и-мерная кусочно гладкая (ориентируемая или неориентируемая) поверхность в Р», а 5„ 5, ...— конечное или счетное число ее гладких параметри. зуемых кусков, пересекающихся, быть, может лишь по поверх настям размерности не выше й — 1 и таких, что 5 =() 5ь Площадью (или й-мерным объемом) поверхности 5 называется сумма площадей поверхностей 5ь В этом смысле можно говорить о площади, которую имеет ежащий в Р лист Мебиуса, или, что то же самое, искать его леж ,.массу, если это материальная поверхность с единичной плотность ю распределения вещества.
Традиционными рассуждениями проверяется корректность определения 4 (независимость получаемой величины площади От 'разбиения 5„ ..., 5 , , поверхности 5). 4. Выражение формы объема в декартовых координатах. Пусть 5 — гладкая гиперповерхность (размерности л — 1) в ориентированном евклидовом пространстве Р", снабженная ориентирующим ее непрерывным полем единичных нормалей т!(х), хан 5. Пусть У вЂ” форма (и-мерного) Объема,в И", а Р.— форма ((и — 1)-мерного) Объема на 5. Если в касательном пространстве Т5„взять репер $„..., З„! из класса ориентации, задаваеь(ого единичной нормалью !) (х) к Т5„, то, очевидно, можно запиеать следующее равенство: У (х) (т), Ц, ..., ~ !) =" 1? (х) Я!, ..., $„!).. (7) 4 Справедливость его следует из того, что при указанных условиях обе его части неотрицательны, а равны они по величине йотому, что объем параллелепипеда, натянуто~о на векторы $„!, равен площади основания 0(х)(ыл, ..., $„!), умноженной на высоту !т)~=1.
Но ч! чл 1» $» — ! ''' лл — 1 ( 1)! !!(х)йх'л...лйх' л ...лс(х" (й„..., В.— ) (= ! Здесь 'х', ..., х" — декартовы координаты в задающем Ориентацию ортонормированном базисе е,, ..., е„, а крышка над дифференциалом йх! означает, что в этом слагаемом он отсутствует. Таким образом, получается следующее координатной выражение для формы объема на ориентированной гиперповерхности 5 сР: (?= ~ ( — ()'т!'(х)йх'л...лйх'л...лйхл! (8) 1=- ! Из тех же геометрических соображений следует, что при'фиксированном значении ! ~(1, ..., и) (т)(х), е!) ЯЯ„..., з„!) =У(вп $!, ", з -!). (9) гл хн! ХРиеолинеяные и НОвеРхностные интегРАлы 5 е ФОРМА ОвьемА Последнее равенство означает, что и'(х)!)(х) = ( — 1)'-' дх' л ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
