В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 52
Текст из файла (страница 52)
л с(хс л ...л дх". (10) Для двумерной поверхности 5 в Р элемент объема чаще всего обозначают символами с(о или с(5. Их не следует воспринимать как дифференциалы неких форм о и 5, это единые символы. Если х, у, г — декартовы координаты в )кг, то в этих обозначе- ниях соотношения (8), (!О) запишутся так: с(о = соз а! ссу л дг+ с о 5 и, с(г л с(х + соз иэ дх л ду. сова! с(о =с(у л дг, (ориентированные площади проекций соз х! до = сй л с)х, ' на координатные плоскости). сов и,до =с(х л с(у Здесь (соз ис, соз ам соз и,) (х) — направляющие косинусы (координаты) единичного вектора т) (х) нормали к 5 в точке х ен 5.
В этих равенствах, как, впрочем, и в равенствах (8), (!О), во избежание недоразумений, конечно„ правильнее было бы справа ставить знак ~5 сужения соответствующей формы на поверхность 5, но, чтобы не загромождать формулы, мы ограничимся этим замечанием, 6. Интегралы первого и второго рода. В ряде задач, типич. ным представителем которых является рассмотренная выше задача об определении массы поверхности по известной плотности, возникают интегралы типа (!). Их часто называют интегралами от функции по поверхности или интегралами первого рода.
Оп ределен ие 6. Интегралом от функции о по ориентируемой поверхности 5 называют интеграл от дифференциальной формы р5с, где Й вЂ” "ярма объема на 5 ~отвечасощая выбираемой при вычислении интеграла ориентации 5), Ясно, что так определенный интеграл с!!) не зависит от ориентации 5, поскольку изменение ориентации сопровождается соответствующей заменой формы объема. Подчеркнем, что, в сущности здесь речь идет не об интегрировании функции, а об интегрировании формы рй специального вида по поверхности 5 с определенной на ней формой объема. О п р е де л е н и е 6. Если 5 — кусочно гладкая (ориентируемая или неориентируемая) поверхность и р — функция на 5, то ин.
тегралом (11) от фсункции р по поверхности 5 называют сумму ~ ~ оь! интегралов от функции р по параметризуемым кускам с; т. е. любой интеграл второго рода может быть записан в виде соответствующего интеграла первого рода. Пример 1. Интеграл (2') З 1, выражающий работу поля гп на пути у: [а, (с]- И", можно записать в виде интеграла первого рода ](Г, е)дз, (12) Р где в — натуральный параметр на у, дв — элемент (1-форма) длины, а е — единичный вектор скорости, несущий в себе всю информацию об ориентации у.
С точки зрения физического смысла решаемой интегралом (12) задачи он столь же выразителен, как и интеграл (!) й 1. Пример 2. Поток (3), З ! полн скоростей Р' через ориентированную единичными нормалями л (х) поверхность 5 с: Р можно записать в виде поверхностного интеграла 1<у, л) с(о (13) первого рода. Информация об ориентации' 5 заключена здесь в направлении поля нормалей и. Геометрическое и физическое содержание подынтегрального выражения в (13) столь же прозрачно, как и соответствующий смысл подынтегрального выражения окончательной вычислитель. ной формулы (6) ~ 1.
Для сведения читателя отметим, что довольно часто встречаются обозначения дв:=еда, ' с(п:=нс(о, вводящие' векторный 5,, ..., 5, ..., описанного в определении 4 разбиения поверх. ности 5. Интеграл (11) обычно называют поверхностным интегралам первого рода. Например, таковым является интеграл (1), выражак)щий массу поверхности 5 через плотность р распределения массы по поверхности. Для выделения интегралов первого рода с их свойством нева. висимости от ориентации, интегралы от форм по ориентированным поверхностям часто называют поверхностными интегралами второго рода.
Заметим, что, поскольку на линейном пространстве все косо- симметрические формы, степень которых равна размерности пространства, пропорциональны, между любой й-формой и, заданной на й-мерной ориентируемой поверхности 5, и формой объема !) на 5 имеется связь м=р!г, где р — некоторая, зависящая от м функция на 5.
Значит, (,о 34 ' г . хш. криволиненные и поверхностные интег~длы элемент длины и векторный элемент площади соответственно. В этих обозначениях интегралы (12), (13) имеют, вид 1(Е, 4(а> и 1(У, с(гг), наиболее удобный с точки зрения физической интерпретации. Для краткости скалярное произведение (А, В) векторов А, В часто записывают символом А В. Пример 3. Зикон Фарадея* ) утверждает, что электродвижущая сила, возникающая в замкнутом проводнике Г, находящемся в переменном магнитном поле В, пропорциональна скорости изменения потока магнитного поля через ограниченную контуром Г поверхность 3. Пусть Š†.
вектор напряженности электрического поля. Точная запись закона Фарадея с учетом принятых выше обозначений может быть представлена в виде равенства ~ Е с(5= — — ~ В 4(п. Кружок в знаке интеграла по à — дополнительное напоминание о том, что интеграл берется по замкнутому контуру.
Работу поля вдоль замкнутого койтура часто называют цирбуляцивйаоля вдоль этого контура. Так что по закону Фарадея циркуляция напряженности электрического поля, порожденного в замкнутом проводнике Г переменным магнитным 'полем, равна взятой с обратным знаком скорости изменения потока напряженности магйитного поля через натянутую на контур Г поверхность 3. Пример 4. Закон Амаераз*) ~В д =,— ',~,У Ь г (где  — вектор напряженности магнитного поля, 7 — вектор плотности тока, в„с — размерные постоянные) утверждает, что цирку71яция напряженности, порожденного электрическим током магнитного поля вдоль контура Г, пропорциональна силе тока, протекающего через ограниченную контуром Г поверхность 3, 34ы рассмотрели интегралы первого и второго рода. Читатель мог заметить, что это терминологическое различие очень условно.
Реально мы умеем интегрировать и интегрируем только дифферен'циальные формы. Ни от чего другого интеграл и не берется (если интеграл претендует на независимость от выбора системы координат, используемой при его вычислении). *) М. Фарадей (1791 — 1867) — выдающийся английский физик, создатель учения об электромагнитном поле. "*) А. М. Ампер (1775 †!836) †французск физик н математик, один из основоположников современной электродинамики.
Э З. ФОРМА ОБЪЕМА Задачи и упражнении 1. Лайте формальное доказательство равенств (7) и (9). 2. Пусть у †гладк кривая, аз †элеме длины на у а. Покажите, что ~)г(з)за~~)!)(з) !пз для любой функции )нз у, длз которой оба интеграла определены. Ь. Проверьте, что если !1(з)( ~ М на у, з 1 †дли кривой у, то 1, ) г (з) пз ) ( 341. с. Сформулируйте и докажите аналогичные а и Ь утверждения в общем случае интеграла первого рода, взятого по й-мерной. гладкой поверхности, 3. а, Покажите, что координаты (х,', х,', хг) центра масс, распределенных с линейной плотностью р(х) вдоль кривой у, следует искать иэ соотношений го ) р(х) ~и=~к'р(х) пд 1,2,'3 г =ошз ) р — з ~ !и!з где 6 †гравитационн постоянная, а г †вект с координатами (х †у— — уз, г — гз).
Ь. Напишите соответствующую формулу в случае, когда масса распределена по поверхности' 5. с. Найдите гравитационное поле однородной материальной прямой. 6. Найдите гравитационное поле однородйой материальной сферы (Укюките поле как апе шара, ограниченного сферой, так и з сгмом этом варе.) е. Найдите гравитационное поле, создаваемое в пространстве однородным материальным шаром (рассмотрчте как внешние, так и внутренние точки шара).
1. Считая Землю жидким шаром, найдиге дззлеиие в нем как функцию расстояния от центра. (Радиус Земли 6400 км, средняя плотность 6 г1смз.) 5. Пусть у, и уз в два замкнутых проводника, по которым текут токи 'гз и Уз соответственно Пусть пз, и паз †векторн элементы этих проводников, отвечающие направлениям тока в них, вектор )гтз направлен от зз, к пзз, а )гм = — ггы Ь. Запишите уравненве винтовой линии в Рз н найдите координаты центра масс куска этой линии, считая, что масса распределена вдоль кривой с постоянной плспностью, равной единице, с Укажите формулы для центра масс, распределенных по поверки<жги 5 с поверхностной плотностью р, и найдите центр масс, равномерно распределен.
ных по поверхности полусферы. 6. Укажите формулы для момента инерции массы, распределенной с плот. постыл р по поверхности 5. е Покрышка. колеса имеет массу 30 кг и форму тора, внешний диаметр которого 1 м, а внутренний 0,5 м. При балавсировне колеса его устанавливают на балансировочный станок, раскручивают дп скорости, отвечающей скорости движения порядка !00 км/час, и затем останавливают тормозными колодками, трущимися о стальной диск, диаметр которого 40 см, а ширина 2 см.
Оцените температуру, до которой нагрелся бы этот диск, если бы вся кинетическая энергия раскрученной покрышки при остановке нолеса ушла на нагреванне диска. Удельную теплоемкость стали считать равной с=420 дж)(кг К). 4. а. Покажите, что силу, действующую на точечную массу глз, расположенную в точке (хз, уз, гз), со стороны материальной кривой у, имеющей линей. ную плотность р, следует искать по формуле .'36 Гж хн1.
кРиВОлинеиные и пОВеРхностные интеГРАлы 4 3. интеГРАльные ФОРмулы АнАлизА По гвиану Биа и Садово') сила дры, испытываемая вторым элементом со стороны первого, равна дР»» =,, [да» [даь !7»з!1, р'»Ф'» = с[ ! 47«» Р где квадратными скобками обозначено векторное произведение векторов, а с«вЂ” размерная постоянная. а. Покажите, что на уровне искусственной дифференциальной формулы Био и Савара может случиться, что дрм ~ь дум, т е «действие не раааа пративодействиюж Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
