В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Напишите (интегральные) формулы для полных сил Р,з и Р», взаимо. действия проводников 71, т» и убедитесь, чта Рм= — Р»». $ 3. Основные интегральные формулы анализа Важнейшей формулой анализа является уже известная нам формула Ньютона — Лейбница. В этом параграфе будут получены формулы Грина, Гаусса — Остроградского и Стокса, которые, с одной стороны, являются развитием формулы Ньютона — Лейбница, а с дцугой стороны, в совокупности образуют наиболее используемую часть аппарата интегрального исчисления.
В первых трех пунктах параграфа, не стремясь к общности формулировок, на наглядном материале мы получим три классические интегральные формулы анализа. Они будут сведены в одну общую формулу Стокса в четвертом пункте, который формально можно читать независимо от первых трех. 1. Формула Грина**). Формула Грина — это следующее Утверждение !. Пусть Рз — плоскость с фиксированной в ней системой координат х, у; /) — компактная область в втой плоскости, ограниченная кусочно гладкими кривыми; Р, 4е — функции, гладкие в замкнутой области /г. Тогда имеет место соотно1иенив ~д'1д д У д +~) о до в котором справа стоит интеграл по границе дГ[ области /5, ориентированной согласованно с Ориентацией самой области /).
Рассмотрим сначала простейший вариант формулы (1), когда /г есть квадрат / =](х, у) я[се[0(к<1, 0<у(1], а 1,/иО в /. Тогда формула Грина сводится к равенству 1Л"" =- 1'" 1 дг которое мы и докажем. «) Био (1774 — 1862), Савар (!79! — !841) — французские физики. "') /1. Грин (1793 — 1841) — английский математик.
< Сводя двойной интеграл к повторному и применяя формулу Ньютона — Лейбница, получаем 1 1 Б- ~ — йхйу= йх д йу= ГдР Г Гдр д. ду ~ ~ ду г 1 1 = ~ (Р (х, .1) — Р (х, 0)) йх = — ~ Р (х, 0) йх+ ~ Р (х, ! ) ах о о а Доказательство закончено. Остальное — дело определений интерпретации уже полученного соотношения„Дело в том, чтг разность двух последних интегралов есть как раз то, что стона правой части равенства (2). Действительно, кусочно гладкая кривая д/ распадается н; четыре куска (рис.
87). Их можно рассматривать как параметризованные кривые 1 Ъ 'у»1 (О, 1]-»-[чз, где х (х, 0), хг Р« уз' 10, 1]-э-[сз, где у (1, у), т у,: !О, !] -ь[св, где х (х, 1), в хг г т Рис 87. уа: !О, !] — [сз, где у (О, у). По определению интеграла от 1-формы гд = Р йх по кривой 1 ]Р(х, у)йх:= ~ у" (Р(х, у)йх)1= ~Р(х, '0)йх, та 1О, Ц о 1 ]Р(х, у)'йх:= ~ уз(Р(х, у)йх):= ]Ойу=О, т, 1о, 11 о 1 ~Р(х, у)йх:= ~ уз(Р(х, у)йх)1=~Р(х, 1)йх, ш !О, 1! о 1 ~Р(х, у)йх1= ~ у«(Р (х, у)йх)1= ~Ойу=О т« ' [о, 11 о и, кроме того, в силу указанного в утверждении 1 выбора ориентации границы области, с учетом ориентации кривых у„у„у, и у„ очевидно, ~ш=]ш+]ш+ ~ тв+ ~ со=~ш+ ]ы — ]гд — )ш, дг т~ т -т -ш т т, .
Т» т. где — у, есть кривая уь взятая с противоположной задаваемой отображением у; ориентацией. Таким образом, равенство (2) проверено. 238 Гл. ХИ!. КРИВОЛИНЕПНЫЕ И -ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ » 3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА Аналогично проверяется, что ~ ~ — «Ь «(у = ~ Я с(у..
! д! Складывая равенства (2) и (3), получаем формулу Грина Цф — ф)Ьт(~= ~~ Ь+дб~ д! для квадрата !. Заметим, что несимметричность Р и Я в формуле Грина (1) и равенствах (2), (3) связана с несимметричностью х и у: ведь х и у упорядочены и этим в Р» и в ! задана ориентация. На языке форм доказанное соотношение (1')'можно переписать в виде (3) !(о» = ~ са, д! где сд — произвольная гладкая 1-форма на !.
Справа. здесь стоит интеграл от сужения формы 1д на границу д! квадрата !. Проведенное доказательство соотношения (2) допускает оче:идное обобщение: если ΄— не квадрат, а екриволинейный четырехугольник», боковые стороны которого — вертикальные отрезки (быть может, даже вырождающиеся в точку), а две другие стороны — графики кусоч.но гладких функций ср! (х) ( р» (х) над отрезком [а, (!) оси Ок, то Г Г дР ~ ~ -- с(х 1(у = — ~ Р Г(х. (2') дд х и дп„ Аналогично, если имеется такой же «четырехугольник» 0„, по отношению осн Оу, т. е.
с двумя горизонтальными сторонами, то для. него праведливо равенство [ [ и 1(Х!(й= ~ д«(У. (3') пл дол Предположим теперь, что область й можно разрезать на ко1ечное число областей типа О, (рис. 88). Тогда для этой области .'! тоже верна формула вида (2'). 4 В самом деле, двойной интеграл по области О в силу его :ддитивности есть сумма интегралов по кускам типа 0„, на коорые разрезана область О.
Для каждого такого куска справедлива формула (2'), т. е. двойной интеграл по нему равен инте-' -ралу от формы Рйх по ориентированной границе этого куска. Рис. сз Но соседние куски на общей части их границ индуцируют противоположные ориентации, поэтому при сложении интегралов по границам всех кусков в результате взаимных уничтожений, очевидно, останется только интеграл . по границе д0 самой области О. Аналогично, если область О допускает разбиение на области типа 0„, то для О справедливо равенство типа равенства (3').
Области, которые можно разрезать как на куски вида О, так и на куски вида 0„, условимся пока называть простыми областями. На самом-то деле это достаточно богатый для всех практических целей класс областей. Записав для простой области оба соотношения (2'), (3'), после их сложения получим формулу (1). Итак, для простых областей'формула Грина доказана. Мы йе будем здесь заниматься дальнейшими ее уточнениями (см. по этому поводу задачу 2), а продемонстрируем лучше другой весьма плодотворный путь рассуждений, по которому можно было бы пойти, установив равенства (1'), (1"). Пусть область С получена гладким отображением йи !-ьС квадрата !. Если сд — гладкая 1-форма на С, то ') 1(с»: = ~ р* с(си = ~ 1(!у*си — ~ 1р с ! ! а! дс (4) ас.
дп т. е. для области О формула Грина тоже имеет место. Можно показать, что любая область с кусочно гладкой границей попадает в описанный класс областей, но мы не будем этого делать, поскольку позже (гл, ХЧ) будет описан полезный технический прием, который позволяет избежать подобных геометрических затруднений, заменяя их сравнительно просто решаемым аналитическим вопросом. Рассмотрим некоторые примеры использования формулы Грина.
Восклицательным знаком здесь отмечено уже доказанное нами равенство (см. (!л)); крайние равенства — определения или их прямые следствия; оставшееся второе слева равенство связано с независимостью внешнего дифференцирования от системы координат. Значит, для области С тоже справедлива формула Грина. Наконец, если какую-то ориентированную Область Й удается разрезать на конечное число, областей типа области С, то из уже описанных выше соображений о взаимном уничтожении интегралов по тем частям границ областей С» которые лежат внутри О, следует, что 241 '40 гл.
хп!. КРиВОлинеиные и пОВерхностные интеГРАлы % 3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АЬ!АЛИЗА Пример 1. Положим в (1) Р= — у, !г=х. Тогда получим, что — у йх+ х йу = ~ 2 йх йу = 2а (В), да о где а(0) — площадь области О. Используя формулу Грина, можно, таким Образом, получить следующие, уже встречавшиеся нам Выражения,для площади Области на плоскости через криволи- нейные интегралы по ориентированной границе этой области: 1 Г о (О) = — ~ — у дх + х г(у = — ~ у йх = ~ х йу. дп да дп В частности, отсюда следует, что работа А = ~ Рй)г, которую тепловая машина совершает прн изменении состояния ее рабочего вещества по замкнутому циклу у, равна площади той области плоскости У, Р состояний, которая ограничена кривой у (см.
задачу 5 8 !). Пример 2. Пусть В=((х, у) ЕНР(ха+уея-.1) — замкнутый круг на плоскости. Покажем, что любое гладкое отображение 1:  — !-В .замкнутого круга в себя имеет по крайней мере одну неподвижную точку (т. е. такую точку Рек В, что 1(Р) =р). 4 Предположим, что неподвижных точек у отображения ! нет. Тогда для любой точки р ен В однозначно определены луч с вершиной !(Р), проходящий через точку р, и точка ср(Р) ~дВ пересечения этого луча с ограничивающей круг В окружностью. Таким образом, возникло бы отображение ср: В-ьдВ, которое, как легко видеть, тождественно на границе дВ круга, а в целом той же ' гл;дкости, что и исходное отображение !.
Покажем, что такого отображения !р не сущесТвует. В Области !ЧЯ',О'(плоскость с выброшенным началом координат) рассмотрим уже встречавшуюся нам в примере 1 $ ! форму — уйх+ хну ш ,+ , . Непосредственно проверяется, что йо = О. Посхя+уз кольку дВ ее!Кз' О, то при наличии отображения !р: В- дВ можно было бы получить форму !р*е! на В, причем й!раш = = !рейш=!раО=О. Значит, по формуле Грина ~ !раьз= ~й!р"ш= О.
да В Но сужение !р на дВ есть тождественное отображение, поэтому ~ ряаэ = ~ ш. да дн Последний же интеграл, как было проверено в примере ! 9 1, отличен от нуля. Полученное противоречие завершает доказательство сформулированного утверждения. й 2.
Формула Гаусса — Остроград. 5 ского. Подобно тому, как формула Грина связывает интеграл по границе плоской области с соответствующим интегралом по самой Области, ° приводимая ниже формула Гаусса — Остроградского связывает интеграл по границе пространственной области с интегралом по самой области..
Утверждение 2. Пусть 'ыз — пространспшо с фиксированной в нем системой координат Рнс. 89. х, у, г; Π— компактная область в !сз, ограниченная кусочно гладкими поверхноспини; Р, (е, зх— функции, гладкие в замкнув!ой области О. Тогда ил!еет невою соопзноишние ~ Ц ('--Р + ' — '~ + ®) д йуд = 'о = ~ ~ Р йу д йг+ !е йг л йх + )х! йх А йу. (6 Вывод формулы (б) Гаусса — Остроградского можно провести шаг за шагом повторив с очевидными изменениями вывод формуль Грина. Чтобы это повторение не было дословным, рассмотриз сразу не кубик в Ра, а область !)„Изображенную на рис. 8с которая ограничена боковой цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Ог, и двумя шапочками 5„ Вя— графиками кусочно гладких функций !рз, !р„определенных в одно! и той же области 6 с: Коя.
Проверим, что для области В. *) Л. Э. Я. Брауэр (188! — 1966) — известный голландский математнь С его именем связан ряд принципиальных теорем топологнн, а также аналн. оснований математики, приведший к фнлософско-математнческнм концепцняь называемым ннтунцноннзмом. Это утверждение справедливо, конечно, и для шара В любой размерности (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
