В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 54
Текст из файла (страница 54)
пример 5). Оно справедливо также не только для гладких, но и для любых непрерывных отображений ): В-ь -ьВ. В этом общем виде оно называется и!соосной Впаозоа' о неподвижной точке. г Гл. ХН1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 24' 4 э. интеГРАльные ФОРмулы АнхлизА выполнено соотношение ~ ~~ — е(хг(у)(г = Ц )71(хл)(у. о,- го ф1)н а) '1 ~~~ А-г(хе(удг =~ ~ 1(хе(у 1 — е(г о, а' ф,(х, «) =)')(Я(х, у, )р,(х, у) — )7(х, у, )р)(х, у))дхе(и= а = — ~ ~ Я(х, у, )Р1(х, у))е(хе(у+~ ~Я(х, и, )ра(х, у)) е(хе(у. Поверхности 5Н 5, имеют соответственно следующее параметрическое .представление: 5,: (х, и) (х, у, )р,(х, у)), 5,: (х, у) (х„у, )р,(х, у)). Криволинейные координаты (х, у) на 51 задают ориентацию, противоположную той, которая индуцируется ориентацией области О„а на 5,— такую же, как и та, которая индуцируется ориентацией О,.
Значит, если 5, и 5, считать частями ориенти. рованной указанным в утверждении 2 образом границы области 0„ то последние два интеграла (с учетом их знаков) можно интерпретировать соответственно как интегралы по 5, и 5, от формы )7 )(х А е(у. Цилиндрическая поверхность 5 имеет параметрическое пред. ставление вида ((, г) '(х(!), у(!), г), поэтому сужение формы )х 1(хд е(у на 5 равно нулю, как, следовательно, н интеграл от этой формы по 5.
Таким образом, для области О, соотношение (7) действительно имеет место. 1 Если ориентированную область 0 можно разрезать на конеч. ное число Областей типа области 0„ то, поскольку на поверхности, по которым примыкают друг к другу две такие области, нндуцируются противоположные ориентации, при сложении интегралов по границам произойдут взаимные уничтожения, в результате которых останется лишь интеграл по ориентированной границе дО исходной области О. Следовательно, формула (7) верна и для областей,-допускающих указанное разбиение на области типа области О,, Аналогично можно ввести области 0„ и 0„ цилиндрические поверхности которых имеют образующие, параллельные осям Оу и Ох соответственно, и показать, что если некоторую область О- можно разрезать на области вида 0„ или О„, то для 0 соответ- ственно имеют место соотношения г(у А = Д)а'т О Ж А дхз о ао ~ ~ ~ — 1(х ду г(г = ~ ~ Р 1(р л 1(г.
(8) (9) ао Итак, если 0 — простая область, т. е. Область„допускающая каждое--из трех указанных выше резбнений на области типа О„, 0„, О„то, складывая равенства (7), (8), (9), получаем для 0 равенство (6). В силу уже указанных при выводе формулы Грина причин, мы не будем сейчас заниматься описанием условий простйты области и дальнейшим уточнением доказанного (см. по это)()у поводу задачу 8). Отметим, однако, что на языке форм в бескоординатном виде формулу Гаусса — Остроградского можно записать следуаощим образом: М =1. ° (6') о ао где ы — гладкая 2-форма в области О.
Поскольку для кубика ! =1'= ((х, д, г) ен (ха (О (х~ 1, ')=ау(1, О~г(!) формула (6'), как было показано, верна, то ее распространение на более общие классы областей, конечно, можно провести с помощью стандартных Выкладок (4) и (6). П р и м е р 3. Закон Архимеда. Вычислим результирующую силу давления однородной жидкости на погруженное в нее тело О. Декартовы координаты х, у, г в (ха выберем так, чтобы плоскость х, у совпадала с поверхностью жидкости, а ось г направим в сторону выхода из жидкости. На элемент да площади поверхности 5 тела О, находящейся на глубине г, действует сила давления рдгл 1(О, где р — плотность жидкости, д — ускорение силы тяжести, а л — единичная внешняя нормаль к поверхности 5 в соответствующей элементу )(о точке поверхности.
Значит, искомая результирующая сила выражается интегралом Р=~ ~рогле(О. Если л=е„соха„+е„соха,+е,соха„то л)!О=е„)2уд)(г+ +еадгле(х0-е,е(хде(у (см. 2 2, и. 4). Используя формулу (6) Гаусса — Остроградского, находим, таким образом, что Р = е„рд ~ ~ г е(у А е(г+ его ~ ~ ге(г А е(х + е, рй Г)~ г 1(х А е(у = ' =е„рд( ~ ~ 0)(хну)(г+еаре~ ~ ~ Ог(хг(уе(г+е рй~ ~ ()г(хг(уг(г=рй)!е„ 245 $ 3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА и проверим только, что (10) (10') дх' дх' дв дР дх, дх! дй д!з дхз дхз дй дР дх! дх! дд дР й(! л йзз = дР + дх' 244 ' Гл, х!и.
кРиВОлинейные и пОВеРхнОстные интеГРАлы- где 12 — объем тсла О, а значит, Р = рд)2 — вес жидкости в объеме, занимаемом телом. Мы пришли к закону Архимеда: Р=Ре,. Пример 4. Используя формулу (б) Гаусса — Остроградского, можно дать следующие формулы для объема !' (О) тет!а О, ограниченного поверхностью дО: 1' (О) = з ~ ~ хйулйг+уйглйх+гйхлйу= ! г 'ао =- ~ ~ х йу л йг = ~ ~ у йг л йх = ~ ~ г йх л йу. 3. Формула Стокса в [кз.
Утвержден ие 3. Пусть 5 — ориентированная кусочно гладкая компактная двумерная поверхность с краем' д5, лежащая в области б с: ьз, в копюрой задана гладкая 1-4юрма од =Р йх+ +!гйу+)с йг. Тогда имеет место соотношение где ориентация края д5 берется согласованной с ориентацией ' поверхности 5. В иной записи вто означает, что 4 Если С вЂ” стандартная параметризованная поверхность !р: ! -з.С в [кз, где !' — квадрат в 1;!з, то для С соотношение (10) .вытекает из равенств (4), с учетом доказанной для квадрата и используемой в них формулы Грина.
Если ориентируемую поверхность 5 можно разрезать на простейшие поверхности указанного вида, то для такой поверхности соотношение (1О) тоже справедливо, что следует из равенств (б) с заменой в них О на 5. Как и в предыдущих случаях, мы не доказываем здесь, что, например, кусочно гладкая поверхность допускает указанное разбиение. Покажем, как выглядело бы приведенное доказательство формулы (10) в координатной записи. Чтобы избежать уж слишком громоздких выражений, мы распишем только первую и основную из двух его фраз, да и то с некоторыми упрощениями.
А именно, ' введем обозначения х', х', хз для координат точки х ее Р Р(х)йх! — ~ з йх'л йх +, й лйх, дв !' дР ! дР в поскольку остальные два слагаемых левой части формулы (1О) можно исследовать аналогично. Будем для простоты считать, что 5 получается при гладком отображении х= =х(!) области О, лежащей в плоскости мз переменных (з, Р и ограниченной одной гладкой кривой у = дО, параметризованной с а помощью отображения ! = Г(т) точками отрезка а~т~р (рис.
90). Тогда край Г =д5 Рис. 90 поверхности 5 можно записать в виде х=- = — х(1(т)), где т пробегает отрезок [сз, р1. Используя определе-' ние интеграла по кривой, формулу Грина для плоской области О и определение интеграла по параметризовайной поверхности,' последовательно находим г а = ~~ Р (х(1)),1йр + [Р(х(1)) —,1 й!' — ~ ~ [ —, [Р— з)— 7 о о о Двоеточием здесь обозначены равенства по определению, а восклицательным знаком — переход, использующий уже доказанную формулу Грина. Остальное — тождественные преобразования. Используя основную идею доказательства формулы (10'), мы, таким образом, непосредственно проверили (не ссылаясь на то, ' что зрзй = йязз, но фактически доказав зто в рассматриваемом 24 $ 3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА Г». ХП! КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ'ИНТЕГРАЛЫ случае), что формула (10) для простой параметризованной поверхности действительно имеет место.
Формально мы провели рассуждение только для члена Рйх, но ясно, что это' можно сделать и для двух оставшихся слагаемых !-формы, стоящей под. знаком интеграла в левой 'части равенства (10). 4. Общая формула Стокса. При всем внешнем различии формул (1), (б), (!0) их бескоординатная запись (Г), (б), (6'), (10') оказывается просто идентичной. Зто дает основание считать, что мы имели дело с частными проявлениями некоторого общего закона, который теперь легко угадать.
Утверждейие 4. Пусть 5 — ориентированная кусочно гладкая й-мерная компактная поверхность с краем д5, лежащая в области 6 с:(с', в которой задана гладкая (й-1)фарг!а со. Тогда имеет место соотношение )й»1 ~ СО, 5 дз в котором ориентация !срая д5 берется согласованной с ориентацией поверхности 5. 4 Формула (! 1), очевидно, доказывается тема же общими выкладками (4),.(б), что и формула Стокса (10'), если только она справедлива для стандартного й-мерного промежутка Р= =(х=(х', ..., х») ~ Р~ 0 ~х'~1, с =1, ..., й), Проверим, что для 1» формула (11) действительно имеет место.
Поскольку на !» (й — 1)-форма со имеет вид в=а!(!)йрл... ... лйй л... лй!» (суммирование по !'=1, ..., й, с выпусканием дифференциала й(!), то (11) достаточно доказать для каждого слагаемого в отдельности Пусть со = а (1) йР л... л с(с!л... л й(». Тогда йсо=( — 1)ьа — !й!1 л...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
