В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 57
Текст из файла (страница 57)
4 Утверждение 1 очевидно. Приведем, однако, например, для 1-форм полную запись доказательства: (5) (б) Вгл, Л Вгя,= ыл,кл„ 1 1 ыл л 04= ыл.в. Иными словами, внешнему произведению 1-форм, порожденных полями А„А,, отвечает векторное произведение АгхАг этих полей, поскольку именно оно порождает получаемую в результате 2-форму. В этом же смысле внешнему произведению 1-формы Вгл и 2-формы В4, порожденных векторными полями А и В соответственно отвечает скалярное произведение А. В этих полей.
Для доказательства фиксируем в К' ортонормированный базис и отвечающую ему декартову систему координат х', х', х'. В декартовых координатах 3 3 агл (х) ($) = А (х); = г, 'А' (х) Сг ~ А' (х) дх' (й), г =1 (7) Вгл1 = Аг дхг+ Аг дхг+ А'дх', ~ Вг (х> Вг (х> В'(х) гВВ (Х) (лг, Ег) = ~ г! Ь1 51 гг1 52 л г1 = (В' (х) дх' л дхг+ В' (х) дхг л дх'+ В' (х) дх' л дх') (В„ег), т. е. о4 = В' дх' л дх" + В' дх' л дх'+ В' дх' л дх'. (8) Поэтому в декартовых координатах, с учетом выражений (7) н (8), получаем Вгл, л агл, = (А1 дх'+ А,г дх' -!- А,' дх') л (А,' дх' + А,' дх'+ А,г дх') = = (А,"А,' — А,'А,') дх' л дх'+ ( А А,' — А,'А,') дх' л дх'+ + (А,'А,' — А,"А,') дх' л дхг = о4 где В=А, хАг.
Координаты были использованы при доказательстве лишь для того, чтобы проще было найти вектор В соответствующей 2-формы, Само же равенство (5) от координат, разумеется, ие зависит, Аналогично, перем(южив равенства (7) и (8), получим ыл л Вгв г= ( А'В'+ А гВ' -1- А "В') дх' л дх' л дх' = Вглц Для -сокращения записи условимся, наряду с уже используемыми символами (, ), 1 . 1, скалярное н векторное произведения векторов А и В в Р, когда это будет удобно, обозначать соответственно через А В и А х В.
Утверждение '2. Если А, В, Ан Аг — векторные поля в евклидоеом ориентированном пространстве ~г, то Ги. Х!и ВЕКТОРНЫП АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ В декартовых координатах йх! л йхз л йхз есть форма объема в 1;/з, а стоящая в скобке перед формой объема сумма попарных произведений координат векторов А и В есть скалярное произведение этих векторов в соответствующих точках области, откуда следует. что р (х) = А (х) В (х). а (ОЕ»аз /, Л ! а «!А =. (О)о! Аа (/«!В = ° ВО!а В.
(9) (10) (11) В силу установленного равенствами (1) — (4) соответствия между формами, скалярными и векторными полями в Йз, соотношения (9) — (11) являются корректным определением операций ягад, го1 и йч, Выполняемых соответственно над скалярным полем н векторными полями. Зти операции, или, как ~озарят, операторы теории поля, отвечают одной операции внешнегодифференцирования форм, только применяемой к формам различной степени. Укажем 'сразу же явный вид этих операторов в декартовых координатах х', х', х' пространства 1(з Как мы выяснили, в этом случае в/=/, (з) в А = А' йх'+ А" йх! + А' йх', (7) вва = В' дх' л йхэ+ В' йхз л йх'+ В' йх' л йхз, (8') в„'=р((х! Айхал((хэ.
(4') Поскольку ~чаче/ иш/= /= ! мх +д з ~Х +д— „з йкза д/ ! д/ д/ то из (7') следует, что в этих координртах д/ д/ д/ а/ад/ ='е, — + е,— +е,— дх' дхз дхз ' (9') где е„ем е,— фиксированный в Д ортонормированный базис. П(скольку в,',! л . '= д«!л = (/ (А/ ((х! + А' йхз+ Аэ (/хз) /дА:! ОА» ! з /дА! дАз ! = ! — — — ) дхз л йха+ ~ — — — ) йхз л йх'+ (дхз дхз) ~дхз дх! ) /ОАз дА' ! ! \ + ! — — — )йх'лйх~ '! дх' дхз ) 3. Дифференциальные операторы угад, го1, йч и Р. О п р еде л е н и е 1. Внешнему дифференцированию 0-форм (функций), 1-форм и 2-форм в ориентированном евклидовом про.
странстве Р отвечают соответственно операции нахождения градиенпи! (ягад) скалярного почи, ротора (го1) и дивергенции (йч) векторного поля, определенные соотношениями $ !. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА то из (8') следует, что в декартовых координатах ГО1 А = е, (~",,' — д",') + е ~ддз дх!) + з(дх! дх') ' Для запоминания последнее соотношение часто записывают в следующем символическом виде: е! ез ез д д д дх' дхз дха А! Аз Аз (10") го1 А = Далее, поскольку ве!,в.= два=(((В(йхз л ((ха+ Взйхзлйх!+Вз(/х! л(/х) = /дВ! дВ/ дВз! .1 йх! л (/хэ /, йхз (дх! дхз дхз ) то из (4') следует, что в декартовых координатах дВ! дВ' дВз йчВ= — + — + —..
дх' дхз дха ' ч) По этому поводу известный соэремеииый американский физик и матемэтик Р. Фейимэи в своих лекциях по физике (см. русский перевод: м., мир, 1966, т. 5, с. 27) с присущим ему тэмперэмеитом пишет: аВ истории человечестээ (если посмотреть иэ иее, скажем, через десять тысяч лет) самым эизчительным событием Х1Х ст«летия, иес«ми«пи«, будет открытие Максвеллом законов злектродииэмики. Нэ фоне этого эзжиого научного открытия гражданская война э Америке э том жэ ДЕсятиЛЕтИи будет выглядеть мелким проииициэльиым происшествием», '*) Д.
К. Максвелл 11831 — 1879) — выдающийся шотландский физик; создал математическую теорию электромагнитного поля, иээестеи также ислелоэзииями по кинетической те«рии гээои, оптике и механике, 9 В. А. Зорич, ч. П Из полученных формул (9'), (10'), (11') видно, что яга(1, го1 и д!ч являются линейными дифференциальными Операциями (операторами). Оператор ягад определен на дифференцируемых скалярных полях и сопоставляют им векторные поля. Оператор го1 тоже векторнозначен, но определен на дифференцируемых векторных полях.
Оператор йч определен на дифференцируемых векторных полях н он ставит им в соответствие скалярные поля. Отметим, что в других координатах эти операторы будут иметь выражения, вообще говоря, отличные от полученных выше их выражений в декартовых координатах. Об этом мы еще скажем в п. 5 этого параграфа. Заметим еще, что векторное поле го1А обычно называют ротором А, ротацией поля А или вихрем поля А. В последнем случае вместо символа го1 А иногда пишут символ сцг1 А. В качестве примера'использования рассмотренных Операторов приведем запись через них знаменитой *) системы уравнений Максвелла *'), описывающей состояние компонент электромагнитного поля как функций точки х=(х', х', х') пространства и времени 1.
:58 Гл, ХИЛ ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ Пример 1 (система уравнений Максвелла для электромагнитного поля в вакууме). 1. с((чЕ= Р . ао дВ 3. То!Е= — Г. 2. 6(ч В=О. (12) 4. го!В= — + / 1дв а,са са д/ ' (13) где (ен еа, е,) — ортонормированный базис в Р, а х', х', х'— соответствующие ему декартовы координаты в Р. По определению применение. оператора Ч к скалярному полю/ (т, е.
к функции) дает векторное поле Ч/=е,— „, +е,д~+е,— „,, д/ д/ д/ что совпадает с полем (9'), т. е. оператор набла есть попросту записанный в других обозначениях оператор цгаб. Используя, однако, еекторную структуру записи оператора Ч, Гамильтон предложил систему формальных операций с пим, ко- пирующую соответствующие алгебраические операции с векторами. Прежде чем демонстрировать эти операции, отметим, что в об- ращении с оператором Ч надо придерживаться тех же принципов и соблюдать те же правила предосторожности, что и в обращении д с обычным оператором дифференцирования 0= —. Например, дх Ч0/ равно гр —,, а не д — „(ср/') нлн не /„— „. Значит, оператор дейдгр ствует на то, что ему подставляют справа; левое умножение в данном случае играет роль коэффициента, т.
е. гр0 есть новый *) У Р. Гамильтон (1808 — 1888) — знаменитый ирландский математик а мехаяип; сформулировал аарпаппояяый пряяпяп (Гамальтона) я построил фаяпменолпгнчесяую теорию оптячесаиа явлений; создатель георая яаатсрпаоаоа я рпдппачальаан аскторного апалааа (Кстати, ему принадлежит сам термин !лектор ). Здесь р(х, 1) — плотность электрического заряда'. (Количество заряда, отнесенное к единице объема), /(х, /) — вектор плотности электрического тока (скорость протекания заряда через единич-ную площадку), Е(х, /) и В(х, /) — векторы напряженности электрического и магнитного поля соответственно, е, и с — размернме постоянные (при этом с — скорость света в вакууме). В математической и . особенно физической литературе наряду с введенными операторами пгас(, го(, с((ч широко используется предложенный Гамильтоном символический векторный дифференцнаЛЬНЫй ОПЕратОр Набда (ОПЕратср ГалсиАЫПОНа а)) д д д Ч=еад —,, + еад — „, +еад— ,~ й !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
