В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Заметим, что в условиях разобранного примера 2 левая часть формулы (5') корректно определена на сфере дУ =Ел, а подынтегральная функция правой части определена и равна нулю всю. ду в шаре У, кроме всего лишь'одной точки — начала координат. И тем не менее проведенные вычисления показывают, 'что интеграл в правой части формулы (5') нельзя трактовать как интеграл от тождественного' нуля. С формальной точки зрения можно было бы отмахнуться от разбора этой ситуации, сказав, что поле Е не определено в точке 0 еп У, и потому мы не имеем права говорить о равенстве ') Ш.
О. Кулон 1!736 — 1806) — франпузскнй физик. С помощью изпбрегенных им хае крутильных весов опытным путем открыл закон (Кулона) вза. импдейсгвив ппкпнщихсз зарвдов и магнитных полюсов. (5'), доказанном для гладких, определенных во всей области У интегрирования полей.' Однако физическая интерпретация равен ства (5') как закона сохранения массы подсказывает, что при пра.
вильной трактовке оно должно быть справедливо всегда. Посмотрим внимательнее, в чем состояла неопределенность в на чале координат величины д(чЕ из примера 2. Формально в начале координат не определено и исходное поле Е, но, если искать г((ч Е, исходя из формулы (6), 'то, как показывает пример 2, надо было бы считать, что с(!ч Е(0) =+ ОО.
Значит, под интегралом в правой части (5)оказалась бы '«функция», равная нулю всюду, кроме одной точки, где она равна бесконечности. Зто соответствует тому, что вне начала координат вообще нет заря. дов, а весь заряд д мы умудрились поместить в нулевой объем— в одну точку О, .в которой плотность заряда, естественно, стала -бесконечной.
Мы сталкиваемся здесь с так называемой 6 (дельта)- функцией Дирака *). Плотности физических величин в конечном счете йужны, чтобы, взяв от них интеграл, найти значения самих величин. Поэтому нет нужды определять отдельно 6-функцию как функцию точки, важнее определить интеграл от нее. Если считать, что физически «функция» 6„,(х) = 6 (ха; х) должна отвечать плотности такого распределения, например массы в пространстве, при котором вся масса, равная по величине единице, сосредоточена только в одной точке х„ то естественно положить, что - (1, когда хаееУ, ~~(.; ) У=~ ' ~ О, когда хе~ У.
Таким образом, с точки зрения математической идеализации . представлений о возможном распределении физической величины (массы, заряда, и т. п.) в пространстве, следует считать, цто ее плотность распределения есть сумма обычной конечной функции, отвечающей непрерывному распределению величины в пространстве, и некоторого набора сингулярных «функций» (типа 6-функции Дирака), отвечающих сосредоточению величины в отдельных точках пространства.
Значит, с этих позиций результаты проведенных в примере 2 вычислений. можно было бы выразить в виде одного равенства 6(чЕ(х)= — 6(0; х). Тогда применительно,к полю Е интеграл Ч еа в правой части соотношения (5') действительно оказывается равным либо а)уе„либо 0 в зависимости от того, содержит ли область У начало координат (и сосредоточенный в нем заряд) или . не содержит. *) П, А.
М. Дирак (1902) — английский физик-теоретик, один из создателей квантовой механики. Подробнее о б-функпии Дирака будет сказано вгл ХЧ!1,44,п.4ийб,п.4. я6 гд, хих ввктодныи днллиз и твогия поля э г. интеггдльныв фогыглы твогии поля В этом смысле можно (вслед за Гауссом) утверждать, что поток напряженности электрического поля через поверхность тела равен (с точностью до коэффициента, зависящего от'системы единиц) сумме электрических зарядов, содержащихся в теле. В этом же смысле надо трактовать плотность р распределения электрического заряда в системе' уравнений Л1аксвелла, рассмотренной в з 1 (формулы (12)). Ь.
Ротор. Рассмотрение физического смысла ротора векторного поля начнем со следующего примера, Пример 3. Пусть все пространство, как твердое тело, вращается с постоянной угловой скоростью ы вокруг фиксированной оси (пусть это ось Ог). Найдем ротор поля е линейных скоростей точек пространства (поле рассматривается в любой, но фиксированный момент времени). В цилиндрических координатах (г, р, г) поле е (г, ф, г) имеет простую запись: тг(г, ~р, г)=ддге . Тогда по формуле (35") из 3 1 сразу находим, что го1г7=2ые,. То есть го1 е в данном случае является вектором, направленным вдоль оси вращения. Его величина 2сд с точностью до коэффициента совпадает с угловой скоростью вращения, а направление вектора, с учетом ориентации всего пространства Р, вполне определяет и направление вращения. Описанное в примере 3 поле в малом напоминает поле скоростей жидкости у воронки (стока) или поле вихреобразного движения воздуха в области смерча (тоже сток, но вверх).
Таким образом, ротор векторного поля в точке характеризует степень завихренностн поля в окрестности этой точки. Заметим, что циркуляция поля по замкнутому контуру меняется пропорционально изменению величины векторов поля и, как можно убедиться на том же примере 3, ее можно тоже использовать в качестве характеристики .завихренности поля. Только теперь, чтобы вполне описать завихренность поля в окрестности точки, придется считать циркуляцию по контурам, лежащим в трех различных плоскостях, Реализуем сказанное. Возьмем круг 574х) с центром в точке х, лежащей в плоскости, перпендикулярной к направлению Рй координатной оси 1=- = 1, 2, 3. Ориентируем 5;(х) с помощью нормали, в качестве которой возьмем орт е, этой координатной оси.
Пусть д( — диаметр 5;(х). Из формулы (4) для гладкого поля А сразу получаем, что А Йд дэ. ОЧ (го(А) е,=11ш (у) д 0 где через 5, (х) обозначена площадь рассматриваемого круга. Таким образом, отнесенная к единице площади циркуляции поля А на окружности 5; ц,плоскости, ортогональной Ьй координатной оси, характеризует Рю компоненту вектора го1А. 3.
Некоторые дальнейшие интегральные формулы. а. Векторные варианты формулы Гаусса — Остроградского. Ис- толкование ротора и градиента как некоторых плотностей, ана- логичное истолкованию (6) дивергенции как плотности, можно по- лучить из следующих классических формул векторного анализа, связанных с формулой Гаусса — Остроградского: ~ т В~П7 = ~ д(е.
В (теорема о днвергенции)„(8) У дУ ~ 7хАд(Р= ~ д(ехА (теорема о роторе), У дГ ~ 177 сП~ = ~ дМ7 (теорема о градиенте). (10) дУ Первое из этих трех соотношений с точностью до обозначений совпадает с равенством (5') и является формулой Гаусса — Ост- роградского. Векторные равенства (9), (!О) вытекают из (8), если применить эту формулу к каждо9 компоненте соответствующего векторного поля. (9) Чтобы полнее уяснить себе смысл ротора векторного поля, вспомним, что любое линейное преобразование пространства есть композиция растяжений в трех взаимно ортогональных направлениях, переноса пространства как твердого тела н его вращения кйк твердого тела.
Прн этом любое вращение можно реализовать как вращение вокруг некоторой оси. Любая гладкая деформация среды (течение жидкости или газа, оползание грунта, изгибание стального стержня) локально линейна. С учетом сказанного и нримера 3 можно заключить, что если имеется векторное поле, описывающее движение среды (поле скоросгей точек среды), то ротор этого поля в каждой точке дает мгновенную ось вращения окрестности точки, величину мгновенной угловой скорости и направление вращения вокруг мгновенной оси..То есть ротор полностью характеризует вращательную часть движения среды. Это будет несколько уточнено ниже, когда будет выяснено, что ротор следует рассматривать как некоторую плотность распределения локальных вращений среды.
с. Градиент. О градиенте скалярного поля,' т. е. попросту о градиенте функции, мы в свое время уже довольно подробно гово. рили, поэтому здесь остается только напомнить главное. Поскольку дд,'„,д~($)=(дгаб), й)=4(й)=0г~, где 0г~ — производная функции 1 по вектору $, то вектор дгаб7" ортогонален поверхностям уровня функции 7, указывает в каждой точке направлеНие наиболее быстрого роста значений функции, а его величина ~ ягаб~! дает скорость этого'роста (относительно единицы длины, которой измеряются смещения в пространстве изменения аргумента). О градиенте как плотности будет сказано ниже. Гл. Х(У.
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ Сохраняя те же обозначения )г(х), й, что н в равенстве (6), из формул (8) — (10) единообразно получаем до В Ч В(х)=!ппаг" д О Ч х А (х) = !пп а" м' ((и! Чг (х) = 1пп аУ ("' !г (х) (6') (12) )йп (ЧхА) = ~ с(В А, 3 дл (йпхЧ)хВ= ) с(зхВ, да ах Ч)= ~ йа|. (13) (14) (15) Формулы (14), (15) вытекают из формулы Стокса (13). На их доказательстве мы здесь .Йе останавливаемся, с.
Формулы Грина. Если 5 — некоторая поверхность, а и— единичный вектор нормали к 5, то производную Р„! функции ? по вектору и и теории поля чаще всего записывают.символом Правые части равенств (8) — (1О) можно интерпретировать соответственно как скалярный поток векторного поля В, как векторный поток векторного поля А и как векторный поток скалярного поля ( через поверхность й)г, ограничивающую область (г. Тогда величины ((!у В„го(А, ега((?, стоящие в левых частях равенств (6'), (1!), (!2), можно интерпретировать как соответствующие плотности распределения источников этих полей.
Заметим, что правые части соотношений (6'), (1!), (12! не зависят от системы'координат. Отсюда вновь можно сделать вывод об инвариантности градиента, ротора и дивергенции. Ь. Векторные варианты формулы Стокса. Подобно тому, как формулы (8) — (!О) были результатом совмещения формулы Гаусса — Остроградского с алгебраическими операциями над векторными и скалярными полями, следующая тройка формул получается совмещением этих же операций с классической формулой Стокса (которая выступаег в качестве первого из этих трех соотношенийй). Пусть 5 — (кусочно) гладкая компактная, ориентированная поверхность с согласованно ориентированным краем й5, йп — векторный элемент площади на поверхности 5, а йз — векторный элемент длины на д5.
Тогда для гладких полей А, В, ! имеют место сыотноц(ени я 4 з. интегРАльные ФОРмулы теОРии пОля д! йп д!.Например, (Ч1,((п) (%7, а)с!п=(йга((1 п)йп=Рлг(("=дпйо. дп' Таким образом, — )йп есть поток поля дга((~ через элемент йа под, ' дп еерхности. В этих обозначениях можно записать следующие достаточно широко используемые в векторном анализе и теории поля фор- мулы Грина: У ч) .гсвг) 1 ич )"г= ((гчзи (= (гг — „ш), ()6) д! У дк а' д! дя нч) — )чг)йг= (мч)-(чг) Ф(- ((г — ) 'з ), пг) а1 дк В частности, если в (16) положить ~=у, а в (1?) положить д 1, то соответственно получим )ч(гзг() )ыз — ()г) з(- 1),')з~.
ог) дг дн ь)л — ! ч) з (- (,-ч'-~ ). и)) дг д(г Последнее равенство часто называют теоремой Гаусса. Дока- ' жем, например, второе из равенств (16), (1?); ж ~ (ВЧ~ — (Чй) йп= ~ Ч (ВЧ~ — ~Чу)й)г= д) =Г)(ЧЯ Ч)+ячз) — Ч). Ча — !Чзу)йу= = ( (НЧ 1 — !Ч й) й у = ()(й с)'1 — ~ бй) й'зг. Мы воспользовались формулой Гаусса — Остроградского и тем, что Ч ((рА)=Ч(р ° А+(рЧ ° А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
