В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 56
Текст из файла (страница 56)
выпущен нз зенитного орудии под любым углом лр лн (О, и/2) к горизонту. ° б, Покажите, чта если функция р(а) из Ь 2п-периодическая, то соответст- вукяцая огибающая Г является замкнутой кривой. е, Используя задачу 4, покажите, что длина !. полученной в й замкнутой кривой Г может быть найдена по формуле гн ~ р'(а) йа. (Считайге, что р лн С'н.) Покажите также, что плошадь а области, ограниченной полученной в й замкнутой кривой Г, может быть вычислена по формуле 2п а = — д! (Рз /)ч)(а) йа 1 Г о где /З(сл) — (а) йр йа 7.
Рассмотрим интеграл ~ ." йз, в катарам у — гладкая кривая в Дл, !* ссн(г, л) г Т г — радиус-вектор точки (х, у) лн Т, г ! г !(=Ьгх~+ у', и — единичный нормаль- , ный всктоР к Т в точке (х, У), менаюшийсЯ непРеРывно вдоль Тл йз — элемент длины кривой Этот интеграл называется интегралом Гаусса. а. Запишите интегуал ГаУсса как поток ) (У и) й плоского век орного 7 поля У через кривую Т Ь, Покажите, что в декартовых координатах к, у интеграл Гаусса имеет ! — уйх+хйу енакомый нэм по примеру 1 4 1 вид ш ~, где выбор знака —, „! уз определяется выбором поля нормалей и. с. Вычислите интеграл Гаусса для замкнутой кривой Т, один раз обходящей начало координат, и для кривой Т, ограничивающей область, которая не содер.
жит начала координат сов(г, и) .й., Покажите, что ' йл йф, где 0 — полярный угол радиус-вектора г, г и укажите геометрический смысл значения интеграла Гаусса для замкнутой и хля произвольной кривой Т с дл В. При выводе формулы Гаусса †Остроградско мы считали, что В— простая область, а функции Р, В, /г принадлежат классу С'л'(0, Й) Покажите, усовершенствовав рассужлепия, что -формула (6) верна, если В в компактная др дВ дйл область с кусочно гладкой границей. Р, О, )г ш С(0, з!), ' д» ду дг сз С(0, (с), а тройной интеграл сходится хотя бы как несобственный др дВ дй 9.
а. Если функции Р, Я, /2 в формуле (6) такие, что — + — „+ --= 1, дх ду дг ло объем У !О) области 0 можно найти по формуле У (О) = Ц Р ау А йг+0 йг гл йх+ й йх А йу Ь Пусть /(х, 1) — гладкая функция переменных х ш В„с Ры !ла О, с (!', д/ /д/ д/ ! причем — = ~ — —, ..., — — ~ ~ 0 Напишите систему уравнений, нагорай должна дх ~дхл' "' ' дк») удовлетворять (л — !)-мерная поверхность в П», явлнюшаяся огибающей семей ства поверхностей (5,), задаваемых условиями /(х, !) =О, 1 ш О, (см.
задачу 6) с Выбирая Ь качестве параллетра 1 точку на единичной сфере, укажите такое семейство плоскостей в Дз, зависящих от параметра 1, огибающей кого тл у» гз рого был' бы эллипсоид — + — + — = 1, а» Ьз сз б Покажите, что если замкнутая поверхность 5 является огибающей гемейства плоскостей соз а, (!) х+ соз а, (1) у+ соз слз (!) г — р (1) = О, где а,, а„слз — углы, которые нормаль к плоскости образует с осями координат, а параметром 1 'является переменная точка единичной сферы 52 с Гз, то площадь а поверхности 5 можно найти но формуле а= ~ р(1! йа е.
Покажите, что объем тела, ограниченного рассмотренной в б поверх. 1 Г вестью 5, можно найти по формуле У вЂ” ~ р(1) йа з.) Гл. ХП!, КРИВОЛИНЕПНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1. Опробуйте указанную в е формулу, отыскав по ней объем эллипсоида х' рэ гэ — + — + — ~1 о' Ьэ сэ й. Кэк выглндит л-мерный знало! формул, указанных в б и е. 1О. а. Используя формулу Гаусса — Остроградского, проверьте, что поток полн г,'гэ (где г — радиус-вектор точки к ~м [сз, а г=' г,) через гладкую, гомеоморфную сфере поверхность 5, охватываюшую начало координат, равен потоку 'этого же поля через поверхность сколь угодно малой сферы ~ х,=е. 'Ь.
Покажите, что указанный в а поток равен 4п. с. Проинтерпретируйте интеграл Гаусса — г —.пп в Рз как поток поля Г сев (г, и) г/гэ через поверхность 5. б. Вычпслите интеграл Гаусса по гранипе компактной области 0 ~ ['и, рассмотрев как случай, когда 0 содержит внутри себя начало координат, так и случай, когда начало координат лежит вне области О. е Сопоставляя задачи 7 и 10 а — б, укажите и-мерный вариант интеграла Гаусса и соогветствуюшего векторного полн Дайте л-мерную формулировку задач а в б и проверьте ее 11.
а Покажите, что замкнутан жесткая поверхность 5 ~ [тз остается а равновесии при действии равномерно по ней распределенвого давления. (Нз основании принннпов статики задача сводится к проверке равенств 1 ) и по=в, ) ~[г, и) по=О, где и — вектор единичной нормали, г — раднус-нек. 8 5 тор, [г, и) †векторн произведение г и и.) Ь. Твердое тело объема г' полностью погружено в жидкость, имевшую удельный вес !. Покэжите, что полный статнчесний эффект давления жидкости на тело сводится к одной силе г" величины г, направленной вертикально вверх и приложенной к центру массы С объемной области, занимаемой телом. 12.
Пусть Г: уь -ъ 0 ~ Р» — гладкое (не обязательно гомеоморфное) отоб- ражение промежутка !э ~ [Йь в область 0 пространства. И, в которой опре- делена йч[юрма м. По аналогии с одномерным случаем отображение Г будем называть й-путем и положим по определению ) ы = ) Г'ы. Просмотрите дока. г зательство обшей формулы Стокса н убедитесь, что она верна не только длн й-мерных поверхностей, но н для й-путей, 13. Используя.обшу!о формулу Стокса, докажите по индукпнн формулу .замеяы переменных а кратном интеграле (прннпип доказательства указан в задаче 5 а) ГЛАВА Х1Ч ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ $1. Дифференциальные операции векторнога анализа 11 Скалярные и векторные поля. В теории поля рассматри ваются функции х Т(х), которые каждой точке х фиксированной области 0 сопоставляют некоторый специальный объект 7(х), уазываемый и!визором, Если в области 0 задана такая функция, то говорят, что в 0 задано тензорное поле.
Мы не намерены здесь давать определение тензора — оно будет рассмотрено в алгебре и дифференциальной геометрии. Скажем только, что числовые функции 0 ~х 1(х)~[,!, а также вектор-функции [с":з 0=эх [у(х) ее Тд„"-- [з" являются частными случаями тензорных полей и называются соответственно скалярным и векторным полям в области 0 (эту терминологию мы употребляли и раиыпе). Дифференциальная р-форма ю в 0 есть функпия Р'~0- =э х ю(х) ~ Ж(([ч")», й), которую можно назвать полем форм степени р в области О.
Это тоже частный случай тензорйого поля Здесь" мы прежде всего будем интересоваться скалярными и векторными полями В областях ориентированного евклидова пространства Я". Эти поля играют первостепенную роль во многих естественнонаучных приложениях анализа. 2. Векторные поля и формы в Д. Напомним, что в евклидовом векторном пространстве [чз со скалярным произведением (, ) между линейными функциями А; [;!з- [ч и векторами А ее ~ Р имеется соответствие, состоящее в том, что каждая такая функция имеет вид А (й) = (А, й), где А — вполне определенный вектор из [сэ. Если пространство еще и ориентировано, то каждая билинейная функция В: Р х[чз - 'Й однозначно записывается в виде В(Рт, йэ)=(В, й„$э), где  — некоторый, вполне определенный вектор из [эз, а (В, $„йэ), как всегда, — смешанное произведение векторов В, 3„йэ или, что то же самое, значение формы объема на этих векторах.
Таким образом, в ориентированном евклидовом векторном пространстве [ээ с каждым его вектором можно указанным способом Гк ХЮ. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ э г. ДиФФеРснциАльные ОпеРАции ВектоРнОТО АЯАлизА 25 связать линейную или билинейную форму, а задание линейной или билинейной формы равносильно заданию соответствующего вектора в Кгг. Если в Р илг~тся скалярное произведение, то оио естественным образом возникает и в любом касательном пространстве ТЯ„" состоящем из векторов, приложенных к точке х~)~г, а ориентация )сг ориентирует каждое пространство ТК. Значит, если в Т(с„'задать 1-форлгу ыг(х) или 2-форму ыг(х), то при перечисленных условиях это равносильно заданию в ТК,' некоторого вектора А (х) ~ ТК, соответствующего форме глг (х) нли вектора В(х) ~ Тэ„', отвечающего форме «гг(х).
Следовательно, задание в некоторой области 0 ориентированного евклидова пространства Р 1-формы ыг или 2-формы.аког равносильно заданию в 0 соотеетствукщего форме векторного поля А или В. В явном виде это соответствие состоит в том, что (1) (2) ыл1(х)($) =(А (х), й), В4(х)Яг, фгУ вЂ” — (В(х), Вг, ~г) где А (х), В (х), в, вг, зг ~ Т0 . Мы видим уже знакомые нам форму работы Вгг=ыл векторного поля А и форму потока ыг=ыв векторного поля В., Скалярному полю г'' 0-+!с можно следующим образом сопоставить О-форму и 3-форму в 0' Вг) =), аг =Г"д)г, (з) (4) агвгд,+агагл,=аг(Аг, )+а,(А„) = = (агАТ+ агАЫ ') = Вз~х,л, Фа,л, .
Из доказательства видно, что аг и аэ можно считать функциями (не обязательно настоянными) в области 0 задания форм и полей. где д)г — элемент объема (форма объема) в ориентированном евкли. . довом пространстве )кг. Ввиду соответствий (1) — (4) операпиям над формами отвечают определенные операции над векторными и скалярными полями. . Зто наблюдение, как мы вскоре убедимся, технически очень по. леэна. Ут в е р жде н и е 1. Линейной комбинации форм одинаковой степени отвечаепг линейная комбинация соответствующих имвекторных или скалярных полей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
