В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Дальше мы будем рассматривать для простоты только триортогональные системы криволинейных координат. Для них, как было отмечено, квадратичная форма (25) имеет следующий специальный вид: аз» Е» (1) (с(12)2+ Е» (1) (й)2)2+ Е« (1) (йг»)2 (26) где Е;(1) =д;2(1), 1=1, 2, 3. Пример.5. В декартовых (х, у, г), цилиндрических (г, 2р, г) н сферических ()«, 2р, 9) координатах евклидова пространства («» квадратичная форма (25) имеет соответственно вид дз» йх»+ йу»+ йг» = аг»+'г» д2р»+ дг» = = Ю»+ Й» соз'8 с(2р»+ Й»с(02. Гп.
Х1М ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ $1'диФФеренциАльные ОпеРАции ВектОРнОГО АнАлизА 26г Векторы $1(1), $з(1), $з(1) канонического базиса (1, О, 0), (О, 1, 0), (О, О, 1) в ТК, как и отвечающие им векторы 21(х) ее ее ТК, имеют следующую норму *): ~~1)= Р' йет, Значит, орты (единичные в смысле скалярного квадрата векторы) координатных направлений имеют для триортогональной системы (26) следующее координатное представление в ТК; ез(1)=( —.,О, 0), ез(1)=(0, =, 01, ез(1)=(0, О, =).(27) Пример 6. Из формул (27) и результатов примера 5 вытекает, что для декартовых, цилиндрических и сферических координат тройки ортов координатных направлений имеют соответственно следующий вид: е,=(1, О, 0), ее — -(О, 1, 0), е,=(0, О, 1); е, =(1.
О, 0), е„=(0, —,'0), е,=(0, О, 1); ел=(1, О, 0), е =(О, —,, 0), ез=(0, О, — ). (27 ) Разобранные выше примеры 3, 4 подразумевали, что вектор поля раскладывается по базису, состоящему из ортов координатных направлений. Значит, отвечающий вектору А (х) е= ТК, поля вектор А (1) ~ ТК следует раскладывать не по каноническому базису йз(1), йз(1), $з(1), а по базису е,(1), ез(1), ез(1), состоящему из ортов координатных направлений. Таким образом, отвлекаясь от исходного пространства мз, 'можно считать, что в области О,с: К задана риманова метрика (25) или (26) и векторное поле 1-ь А(1), координатное представление (А', А', А') (1) которого в каждой точке ?я О, получается разложением А (1) =А'(1) ее(1) соответствующего этой точке вектора А (1) поля по ортам координатных направлений.
с(. Теперь разберемся с формами. Любая форма в О при диффеоморфизме гр:, О,— 0 автоматически переносится в область 01. Этот перенос, как нам известно, происходит в каждой точке хне ы 0 из пространства ТЯ„'в соответствующее пространство ТК. Поскольку мы перенесли в ТК евклидову структуру из ТК, то из определения переноса векторов и форм следует, что, например, определенной в ЧР, 'форме сод(х)=(А(х), ) соответствует точно такая же форма отд(1) = (А (1), ) в ТК, где А (х) = = гр'(1) А(1).
Это же можно сказать и о формах вида озй, оз', не говоря уж о формах от) — функпиях. После сделанных разъяснений все дальнейшие рассмотрения уже можно ввести только в области О, ~ К, отвлекаясь от исход- ') В триортогонапьной системе (26) ~ $1 )=~(Ее=Н1, 1 1, 2, 3. Величины Нь Нз, Нз обычно называют ноеффициептами или параметрами Ламе. Г, Ламе (!?% — 1876) — французский инженер, математик и физик. ного пространства мз, считая, что в О, задана риманова метри- ка (25), заданы скалярные поля 7, р и векторные поля А, В, а таКжЕ фОрМЫ ОТ1, Отд, ОЗйе.
Отр, КОтОрЫЕ В КаждОй ТОЧКЕ 1ЕЕ О, определяются в соответствии с евклидовой структурой в ТК, за- даваемой римановой метрикой Пример 7. Форма объема е?1? в криволинейных координа- тах 11, (з, ?з, как мы знаем, имеет вид 1()г = )/:ДЕ1 ае? (1) с(11 л е((з л с((з. Для триортогональной системы 1Л/ =~/ЕТЕзЕз(1) сУ1Л е(1з Л е(уз. (28) В частности, в декартовых, цилиндрических и сферических координатах соответственно получаем е()? = е(х л г(у л г(г = (28') =грел 1(1рл да= (28") = )сз соз 6 ТЯ л ейр л 11'6.
(28"') СКаЗаННОЕ ПОЗВОЛЯЕТ ЗаПИСатЬ ФОРМУ мое =РдР В РаЗЛИЧНЫХ системах криволинейных координат. е. Наша основная (и теперь уже легко решаемая) задача со- стоит в том, чтобы, зная разложение А(1)=А1(1)е,(1) вектора А(1) енТК по ортам е;(1) ~ ТК, 1=1, 2, 3, триортогональной системы координат, определяемой римановой метрикой (26), найти разложение форм отд(1) и озд(1) по каноническим 1-формам г(11 и 2-формам с(11 л с(11 соответственно, Поскольку все рассуждения будут относиться к любой, но фиксированной точке 1, для сокращения записи мы позволим себе опускать символ 1, отмечающий привязку рассматриваемых век- торов и форм к касательному пространству в точке Е Итак; е„ез, е,— базис в ТК, состоящий из ортов (27) коор- динатных направлений; А = А'е,+ Аае,+Азе,— разложение век- тора А ее ТК по этому базису. Заметим прежде всего, что из формул (27) следует, что ( О, если (чь?, с(11 (е,) — 6';, где б'; = ~ ..
(29) н ( О, если (1,1)Ф(?з, 1), е(11 л д?л(ез, ег) = бз1'1, где бег —— 11 ., й 1 (30) ~/ Е;Е; 11 1, если (1, ?) =(/г, 1). 1. Таким образом, если юд1= (А, ) =атс(11+асс((з+аздгз, то, с одной стороны, юд(Е1)'=(А, Е;) = А', а с другой стороны, как видно из (29), 1 юд (е;) = (аз Жг + а, 1((з + аз г(гз) (ее) = ае ° =. Е1 З !.
ДИООЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОШЮГО АНАЛИЗА' 26 '66 Гл. Х!Ч. ВЕКТОРНЫИ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ где й(г — форма объема в ТК (см. (28) и (27)). С другой стороны, из (30) получаем о4 (еэ, еэ) = (Ь! й Р л ВР+ Ь, йР л йр + Ь, йР л йР) (е„е,) = = Ьэ йР л йР (е„е,) = — ' )ГЕ»Е» Сравнивая результаты, заключаем, что Ь,=В')гЕ,Е,. Аналогично, убеждаемся,в том, что Ьэ = Вэ УЕ,Е, и Ьэ = В2УЕ!Еэ Таким образом, мы нашли координатное представление о4=В'УЕ Е,йР л йР+В'УЕ ЕэйР л ВР+В»УЕ Е,йР л йР = Уе е,е ( й(эл й(2+ йэ л й(! 1 ' й(1л й(2) .
«УЕ1 УЕ» УЕ формы «ов, отвечающей вектору В=В'е, +В'е,+В'е,. Пример 9. Используя обозначения, введенные в примере 8, и формулы (26'), (26"), (26"), в декартовых, цилиндрических и сферических координатах получаем соответственно «ов = В» йу л йг + Во йг л йх + В, йх л йу = =В,г«йр л йг+В йгл йг+В,гйг г, йр= = Войэ соз 6 йр л йд+Во)(йд л ~И+Во)( соз 6 ~И л йр. (32") (32") (32") Следовательно, а«=А«УЕ«, и мы нашли разложение о4 А!)ге,й!+А»Уе,йР 1 А»УеэйР (31) формы оэл, отвечающее разложению А = А'е!+А'е, +А'е, век- тора А. Пример 8.
Поскольку в декартовых, сферических и цилин- дрических координатах соответственно А=А„е,+А„е„+А,е,= = Аоев+ А,е, + Аоео, то, как следует из результатов примера 6, озл=А,йх+Аэйу+А,йг= (31') = А, й + А„г йр+ А, йг = (31") = Ал йод+А,В сов 6 йф+ Аой йд. (31'") д. Пусть теперь В=В!е«-(-Вэеэ+Вэе„а о4=.Ь«йРлйР+ + Ьэй(эл й!!+ЬэйРЛ йР.
Тогда, с одной стороны, «ов(еэ, еэ):= й)г(В1, ем е,)= з =,У', В«йУ(е«, е„е,)=В' (е,, е„е,)=В', «=1 (з. Добавим еще, что на основании формулы (28) можно написать, что «оо'=р УЕ!Е»ЕэйР л йР л йР (33) Пример 1О. В частности, для декартовых, цилиндрических и сферических координат формула (33) имеет соответственно следующий вид: (33') (ЗЗ") (33'") о!о = !э йх л йу л йг = = рг й' л йр л йг = =рйэсозО~Илйф Айд Теперь, когда получены формулы (31) — (33), легко, исходя из определений (9) — (11) операторов огай, го1 и й(ч, найти их координатное представление в триортогональной системе криволинейных координат.
Пусть ягай)=А'е,+Аэеэ+Азе,. Опираясь на определения, запишем д)э 1 д( 2 д) «оогэз Г ° = йо!! ' й« ' д«! й( + д«э й( + д«э й( На основании формулы (31) отсюда заключаем, что Ягайг= = — Е!+ = — Е, + = — Еэ. ! д) ! д) ! д) (34) УЕ1 д«1 УЕ» д«э УЕ» д«э огай~= — „е„+ — е„+- е,= д( ' д) д( д1, !. д) д) = - — ег+ — д — р Ео+ — е» = д) ! д) ! д1 = — ев+ — — е + — — ео дн !«со»О др о йэ дз (34') (34") (34 ) Пусть задано поле А (!) =(А'е, +А'е;+ А'е,) (!).
Найдем координаты В', В', В' поля го1А(!)=В(() =-(В!е!+Вэеэ+.Взел)(!). Исходя из определения (10) и формулы (31), получаем оэ,',1 А . = йо1„= й (А' УЕ! й'+ А' УЕ2 йР + А' УЕ» й(2) = +(дА»УЕ, дА»УЕ») й(2 й(!+(дА»р'Еэ дА' УЕ1') ди дн ) . ~ дн дР П р и м е р 11. В декартовых, полярных и сферических координатах соответственно Гл.
ХГЧ. ВЕКТОРНЫИ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ На основании соотношения (32) теперь заключае:л, что ) ЕзЕз \, дР д1з )ХЕзЕг (, дР дР РгЕзнз (, дР дР ! т. е. ггЕг ег У Езаз РГЕ,е, д д д дР дтз дтз ~'Ег А' !' Ез Аз 1Ез Аз го( А = 1 )Г ЕгЕзЕз (35) (36") Пример !2. В декартовых, цилиндрических и сферических координатах соответственно + — ( —" — — — л)ео (35 ) 7( (, д)( сова дф / 1. Пусть теперь задано поле В(() = (В'е, +В'ее+ В'ез) ((). Найдем выражение для йчВ. Исходя нз определения (11) и формулы (32), получаем шош в .
= г(гов = г((В' ~ГЕзЕз с(Р А с(('+ ! Вз~/Е Егг(!за г((з+Въ')7ЕТЕг г((з А г((з)= д ~/ЕзЕа В' д )ХЕзЕз В' д 1/ЕгЕз Вз) !Р ,(Р ((з — ' + ' + А А дР + дР + д1з На основании формулы (33) теперь заключаем, что 1 . (дР ЕзЕз В' дугЕзЕг В' д)г ЕгЕзВз) йчВ— УЕзЕзЕз дР дР дгз В декартовых, цилиндрических н сферических координатах отсюда соответственно получаем дВ„ дВз дВ, йч В = — + — "+' — = (36') 1 (дВ' саз ОВЕ дВВ, дл соз ОВО) Вз сава ( дВ + др + дз )' О Г: ДИООЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКтОРНото АНАЛИЗА 2бь , 1. Соотношения (34), (36) можно использовать для получения записи оператора Лапласа Л= йчдгаг( в произвольной триорто- гональной системе координат: гз) =йчкгас() = йч(= — ез+= — е, += — е )— 1 д( 1 д) ! д) УЕз дР УЕз дР Р Ез дР з РгЕгЕзЕз ((дР ( г Ег дР) + ~„()/ — '' д-з) + — ()/ — '' —,)).
(37) Пример 13. В частности, для декартовых, полярных и сфе. рических координат из (37) получаем соответственно дз) дз) дз) дхз + ду' + дгз (37') д г' д(1 1 дз) дз( )+ — + — = г дг ( дг) Р дгрг дгз (37") — ВадК()~. ВВ/+ ВзсшзОД вЂ”,а+ )Рсаза до (спа ВВ71). (37-) Задачи и упражнения 1. Операторы йгад, го1, гич н алгебраические операпии. Проверьте следующие соотношения: для агаси а. Ч(1+е)=Ч)+Чя, Ь. Ч (1 й)-)че+еч7. в. Ч(А В)=(В ° Ч) А+(А Ч)В+Вх(чхА)+Ах(чхВ), д. Ч ( — Аз) =(А Ч) А+Ах(чхА); для го1: е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
