В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 62
Текст из файла (страница 62)
й Зндачн н упражнения 1. Исходя нз формулы Гаусса — Острогрздскогп (8), докажите соотношення (9), (10). 2. Исходя нз формулы Стокса (13), докзжнте соотношення ( 4), ( ). 1, 18. 3. е. Проверьте, что формулы (8), (9), (1О) остаются е селе н для неогрз. ннченной облястн У, если подынтегрзльные функции е поеерхностных интел ях имеют порядок О~ — прн г-ьсо.
!Здесь г=~ г)„г — рзднус еектор точек поострянстнз (сз.) ' Ь. Пронерьте, остаются лн е силе формулы (13), (14), (1Б) для некомпактной позеркностн 8 <= Йз, если подынтегрзльные функции н хрннолннейных 1 ннтегрзлзх имеют порядок 0(-т) прн г -ьсо. с. рннеднте и П нте примеры, покззыезюшне, что для неогрзннченных поверхносгей н областей формулы Стокса (4') н Гаусса — Острогрздского (8'), жюбше говоря, неспрзеедлнны.
ао Гл. Х!Ч. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ 4 3. потенциальные пОля 4, а, Исходя из интерпретации дивергенция как'плотности источников, объясните, что уравнение 2 системы (!2) 4 ! уравнений Максвелла подразуме- вает отсутствие у магнитного поля точечных источников (т. е. магнитных заря- дов не бывает). Ь. Используя формулу Гаусса — Остроградского и систему (12) 4 1 урав- нений Максвелла, покажите, что никакая жесткая конфигурация 'пробных заря- лов (например, один заряд) не может находиться в состоянии устойчивого равновесия в области электростатического поля, свободной от (других) заря.
дов, создающих это поле. (Предполагается, что никакие иные силы, кроме создаваемых полем, при этом на систему не действуют.) 5. Если электромагнитное поле стационарно, т. е, не зависит от времени! то система (12), 4 ! уравнений Максвелла распадается на две независимые части †спспм Ч Е= . — Ч Е=О уравнений элехтрослютики и сисшему р Ф 7 К В= —, 7 В =О уравнений могнитостошики.
,/ ь ~2 ' Уравнение 7 Е=р/ее, где р — плотность распределения зарядов, по фор- муле Гаусса †Остроградско преобразуется в соотношение ~ 7 Е до=9/ее, где й слева стоит поток напряженности электрического поля через замкнутую поверх- ность В, а справа — сумма (г зарядов, попавших в область, ограниченную поверхностью В, деленная на размерную постоянную еч. В электростатике это соотношение обычно называется заколол Гаусса.
Используя закон Гаусса, най- дите электрическое поле Е а) создаваемое одноролно заряженной сферой, н убедитесь, что вне сферы оно совпадает с полем точечного заряда той же величины, помещенного в пентре сферы; Ь) однородно заряженной прямой; с) однородно заряженной плоскости; б) пары параллельных и однородно заряженных зарядами противополшк- ного знака плоскостей; е) однородно заряженного шара.
6. а. Докажите формулу Грина (16). Ь. Пусть / †гармоническ в ограниченной области У функция (т. е, / удовлетворяет в У уравнению Лапласа б/= 0). Покажите, исходя иэ равен- ства (!?'), что поток градиента этой функции через границу области У равен нулю. с. Проверьте, что гармоническая в ограниченной связной области функ- ция определяется с точностью до аддитивной постоянной значениями своей нормальной производной на границе этой области, й. Исходя из равенства (16), докажите, что если гармоническая в ограни- ченной области функция на границе области всюду равна нулю, то она тож- дественно равна нулю во всей этой области. е. Покажите, что если на границе ограниченной области значения двух гармонических в этой области функций совпадают, то этн функции совпадают во всей области. 7, а. Пусть г(р, 4)=1р — 41 — расстояние между точками р, 4 евклидова пространства (сз.
Фикснровав точку р, получим функцию г (4) точки д щ дз Понажите, что бгр (4) =4лб(р; 4), где 6 — дельта-функция. р Ь. Пусть й — гармоническая в области (г функция. Полагая в формуле (171 /=1/гр, с учетом предыдущего результата получаем 1 дч1-) (~г---ч)о~г гр го /(окажите это равенство аккуратно, с. Выведите из предыдущего равенства, что если  — сфера радиуса Е с центром в точке р, то 1 Г 4ЛЕа~ й Это так называемая теорема о среднем для гарлюнических функций.
б. Исходя из предыдущего результата, покажите, что если  — шар, ограниченный рассмотренной там сферой 5, а У (В) †е объем, то справедливо также равенство 1 й0) 1 ййУ У (В),1 е. Если р, д — точки евклидовой плоскости Пз, то вместо рассмотренной 1 в а функции — (отвечающей потенциалу точечного заряда, помещенного гр ! в точку р) возьмем теперь функцию 1п — (отвечающую в пространстве потевгр 1 циалу равномерно заряженной прямой).
Покажите, что Д!п — 2пб(р; д), где гр б(р; д) в данном случае есть дельта-функция в (зэ. 1. Повторив проведенные в Ь, с, б рассуждения, получите теорему о среднем для функпий, гармонических в плоских областях. $ 3. Потенциальные поля !. Потенциал векторного поля. О и р е д е л е н и е ! . Пусть А — векторное поле в области. 0 ~ с-(са. Функция (/: 0-ь!с называется потенциалом. поля А в области О, если в этой области А =дгаб(/. О п р еде ле н и е 2. Поле, обладающее потенциалом, называется потенциальным полем. Поскольку в связной области частные производные определяют функцию с точностью до константы, то в такой области потенциал поля определен с точностью до аддитивной постоянной. В первой части курса мы уже вскользь говорили о потенциале.
Здесь мы обсудим это важное понятие несколько подробнее. Отметим в связи с данными определениями, что в физике при рассмотрении разного рода силовых полей потенциалом поля Г' обычно называют такую функцию (/, что г"= — йгаг) (/. Такой потенциал отличается от введенного определением 1 только знаком.'. г П р и м е р 1, Напряженность лю гравитационного поля, создаваемого помещенной в начало координат точечной массой М, в точке пространства, имеющей радиус-вектор Г, вычисляется по закону Ньютона в виде ) = — бМ,— з, (1) где г=)р !. Это сила, с которой поле действует на единичную массу в соответствующей точке пространства. Гравитационное поле (1) зх Гл. Х!У.
ВЕКТОРНЫИ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ . потенциально. Его потенциалом в смысле определения 1 является функция У=ОМ вЂ”,. ! (2) Пример 2. Напряженность Е электрического поля точечного заряда д, помещенного в начале координат, в точке пространства, имеющей радиус-вектор г, вычисляется по закону Кулона г Таким образом, такое электростатическое поле, как и гравитационное поле, потенциально. Его потенциал 1р, в смысле физической терминологии, определяется соотношением о 1 Ф= 4пео « ' 2. необходимое условие потенциальности. на языке дифференциальных форм равенство А = ага!) 0 означает, что ыл = =г(ьзй=Н/, откуда вытекает, что Йол=б, (3) поскольку гРый = О.
Это необходимое условие потенциальности поля А. В декартовых координатах Оно имеет совсем простое выражение. Если А=(А', ..., А") и А =дгаб У, то в декартовых коорди .. динатах А1= —, 1= 1, ..., и, и при достаточной гладкости потенциала («' (например, непрерывность вторых частных производных) должно быть дА' дА1 дхз дх! ' (3') что попросту означает равенство смешанных производных дль«д«!к' дх! дх1 дхг дх! ' В декартовых координатах ыл= ) , 'А'1(х1, поэтому равен1=1 ство (3) и соотношения (3') действительно в .этом случае равносильны.
В случае Кв по определению ротора йол = 1о,',1л, поэтому необходимое условие (3) потенциальности поля А для !Но можно переписать в виде го(А=О, что соответствует уже знакомому нам соотношению го1 афтаб (У =О. З 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ Пр)!мер 3. Заданное в декартовых координатах пространства Р поле А =(х, ху, хуг) не может иметь потенциал, так как', например, — Ф. —. д (ху) дх дх дд' Пример 4. Рассмотрим поле А=(А„, А„) вида А =~- „,+ „+ «). (4) заданное в декартовых координатах во всех точках плоскости, кроме начала координат. Необходимое условие потенциальности дА« дА« — = †" здесь выполнено.
Однако, как мы сейчас убедимся, это де дх поле не потенциально в области своего определения. Таким образом, необходимое условие (3) илн, в декартовых координатах, условия (3'), вообще говоря, не являются доста1очными для потенциальности поля. 3. Критерии потенциальности векторного поля. Утвержден не 1. Непрерывное в об«гасти 0 с:(кл векторное поле А потенциально в 0 тогда и только тогда, когда его циркуляция на любом лежащем в 0 замкнутом пути у равна нулю: $А г(з=О. (5) 7 4 Н е о б х од и м ос т ь. Пусть А = ага!) О. Тогда по формуле Ньютона — Лейбница 5 2, формула (3')) 1уА 1(в= 0(у(Ь)) — (у(у(а)), т где у: [а, Ь1 — ~0. Если у(а)=у(Ь), т.
е. когда путь у замкну: -гый, очевидно, правая, а вместе с ней и левая часть последнего равенства обращаются в нуль. Д о с т а то ч н ос т ь. Пусть условие (5) выполнено. Тогда интеграл по любому (не обязательно замкнутому) пути в области 0 зависит только от его начала и конца, а в остальном от пути не зависит. Действительно, если уз и уо — два 'пути с общим началом и концом, то, пройдя сначала путь у„а затем путь — у„ (т. е. у, в обратном направлении), мы получим замкнутый путь у, интеграл по которому, с одной стороны, в силу (5) равен нулю, а с другой стороны, есть разность интегралов по у, и у,.
Значит, эти интегралы действительно равны. Фиксируем в 0 некоторую точку хо и положим теперь к 0 (х) = ~ А . 4)з, (6) «к где справа стоит интеграл по любому пути, идущему в Области 0 из точки хо в точку хев0. Проверим, что определенная так '84 Гл. Хпс ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ 4 з. потенцихльные поля функция Р является искомым потенциалом поля А. Для удобства будем считать, что в Кл взята декартова система координат (х', ..., х"). Тогда А с(8=А'с(х" +...+А" дхл. Если от точки х прямолинейно сместиться на вектор пео где е; — орт соответствующей координатной оси, то при этом функция У получит приращение х' + А Р(х+йе;) — Р(х)= ~ А'(х', ..., х'-', („х"', ..., х")сУ; к' равное интегралу от формы А дз по указанному пути перехода из х в х+Ьеь ВвидУ непРеРывности полЯ А последнее Равенство по теореме о среднем можно записать в виде У(х+йе;) — У(х) =А'(х', ..., х'-', х'+дй, х'", ..., х")й, где 0~8~1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
