В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 58
Текст из файла (страница 58)
дис аеРЕИЦНАльные опврации ВвктОРНОго АнАлизА 25' дифференциальный оператор Чг„—, а не функция —. Далее 0'= др = 0 ° О, т. е. 0а/=0(0/) = — ~ — /~ = —,/. Если теперь, следуя Гамильтону, абращаться с Ч как с заданным в декартовых координатах векторным полем, уо, сопоставляя соотношения (12), (10") и (11'), получаем дгабг= Ч/, го!А=ЧхА, б!ч В=.Ч В. (14) (15) (16) 4.
Некоторые дмфференциальные формулы векторного анализа. В евклидовом ориентированном пространстве !ча мы установили связь (1) — (4) между формами, с одной стороны, и векторными и скалярными полями — с другой. Зто позволило внешнему умножению и дифференцированию форм сопоставить соответствующие Операции иад полями (см. формулы (5), (6) и (9) — (11)).
Зтям соответствием можно пользоваться для получения ряда основных дифференциальных формул векторного анализа. Например, имеют место следующие соотношения: го((/А) = А агас(/+/'го1 А, б(ч (/А) = А . йгас( /+ / б(ч А, 61 ч (А х В) = В. го! А — А го! В. (17) (18) (19) 4 Проверим последнее равенство: магг ЛХВ= С/ГПАХВ = С! (ЮА Л ЮВ) = С/ЮА Л ПГ — ЮА Л С(ПГВ = г ! ! ! ! ! ! = Пуго! А Л ПГ — Сал Л Гаго! В = ЮВ го! А ЮА го! В = Сав го! А — А го! В. Аналогично проверяются и первые два 'соотношения. Разумеется, проверку всех этих равенств можно осуществить и непа. средственным дифференцировачием в координатах.
Ь По Так через оператор Гамильтона и векторные операции в Р записываются операторы пгаб, го( и б!ч. Пр нме р 2. В записи (12) системы уравнений Максвелла участвовали только операторы го! и с(!ч. Используя описанные принципы обращения с оператором Ч =асад, мы в качестве компенсации для оператора вегас( перепишем систему Максвелла вследующем виде: 1. Ч Е=Р. 2. Ч В=О. дв / дв ( ) 3. ЧхЕ= — —.
4. ЧхВ= — + — —. 8( ' - ' асса са д/ ' гво % 1. диФФеРенциАльные ОпеРАции ВектОРнОГО АнАлизА 261 Гл. ХИЕ ВЕКтОРНЫИ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ Если учесть, что Ры= О для любой формы ог, то можпцтакже утверждать, что справедливы равенства (20) (21) го1 цгаг) / = О, йу го( А = О. ') П. С. Лаплас 1!749 — 1827) — знаменнтый французский аст1юном, матаматнк н фнзнк; внес фундаментальный вклад н развитие небесной мезаннан, матсмзтнчсской теории вероятностей, зкспсрнментальной н математической физики, 4 Действительно: согог агап ! = с(гогг ьс 1 = д (с(ог)) = с('ы) = О, гойгг гог л = Йнггг~ л г((йод) = сРгол =О. йг В формулах (17) — (19) операторы ягас(, го1, йу применяются однократно, в то время как в (20) и (21) рассматриваются опе. рации второго порядка, получающиеся последовательным выпол- нением каких-то двух из трех исходных операций: Кроме приве- денных в (20) и (21), можно рассмотреть также следующие парные комбинации этих операторов; ягад йу А, го1 го1 А, д!ч ягаг().
(22) Оператор йчягаб применяется, как видно, к скалярному по- лю. Этот оператор обозначают буквой б 1«дельта») и называют оператором Лапласа з) или лапласианом. Из формул (9'), (1!') следует, что в декартовых координатах (23) Поскольку оператор Л действует на числовые функции, его можно применять покомпонентно к координатам векторных полей А =е,А'+езА'+е,А'. В этом смысле ЬА = е, ЬА'+ез ОАз+е, ОАз С учетом последнего соглашения, для тройки операторов вто- рого порядка (22) можно выписать следующее соотношение: го1 го1 А =ягаг( йч А — ЬА, (24) на доказательстве которого мы не останавливаемся (см. задачу 2).
Используя язык векторной алгебры и формулы (14) — (16), все операторы второго порядка (20) — (22) можно записать через опера- гор Гамильтона Ч: го1 дга б ) = Ч х Ч1 = О, йу го1А =Ч (ЧхА)=0, ягад йу А = Ч (Ч А), го1 го1 А Ч х (Ч х А), йч дгаг() = Ч Ч), С точки зрения векторной алгебры обращение в нуль первых двух из этих операторов представляется вполне естественным. Последнее равенство означает, что между оператором Гамильтона Ч и лапласианом ц имеется простая связь: 4(эб.
Векторные операции в криволинейных координатах. а. Подобно тому, как, например, сфера ха+уз+аз=.аз имеет особенно простое уравнение Я=а в сферических координатах, векторные поля х А(х) в ()з (или %") часто приобретают наиболее простую запись в системе координат, отличной от декартовой. Поэтому мы хотим теперь найти явные формулы, по которым можно было бы находить атас(, го1 и йу в достаточно широком классе криволинейных координат. Но прежде надо уточнить, что понимается под координатной записью поля А в той или иной системе криволинейных координат.
Начнем с двух наводящих примеров описательного характера. Пример 3. Пусть на евклидовой плоскости (зз фиксированы декартовы координаты х', х'.' Когда мы говорим, что в ~з задано .векторное поле (А', А') (х), то мы имеем н виду, что с каждой точкой х=(х', х') ЕЕР связан некоторый вектор А (х) ~ ТЯ,„который в базисе пространства ТЯ„', состоящем из ортов е,(х), е,(х) координатных направлений, имеет разложение А (х) = А' (к)е„(х)+ + А'(х)е,(х) (рис. 91). В двнном случае базис (е,(х), ез(х)) пространства ТК.
пг существу, не зависит от точки х. (х/ х е,Гх) а Ег Рнс. 92. Рнс. 91. Пример 4. В случае, когда в той же плоскости (сз задается полярная система координат (г, гр), с каждой точкой х ен(сз',0 тоже можно связать орты е,(х)=-е,(х), е,(х)=е„(х) (рис. 92) координатных направлений.
Они тоже образуют базис в ТК, по которому можно разложить связанный с точкой х вектор А(х) поля А: А (х) = А' (х) е, (х) + А' (х) е, (х). Тогда упорядоченную 'З2 Э 2. ДНЭФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКто~ного АНАЛИЗА ' 26: Гл. ХЦК ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ пару функций (А', А') (х) естественно считать записью поля А в полярной системе координат. Так, если (А', А')(х) = (1, 0), то это поле единичных векторов в м», идущих в радиальном направлении в сторону от центра О. Поле (А', А')(х) =(О, 1) получается из предыдущего поля поворотом каждого его вектора против часовой стрелки на угол и/2. Это не постоянные поля в 1«2„ хотя компоненты их координатного представления постоянны.
Дело все в том,,что базис, по которому идет разложение, синхронно с вектором поля меняется при переходе.от .точки к точке. Ясно, что компоненты координатного представления этих по лей в декартовых координатах вовсе не были бы постоянными. С другой стороны, действительно постоянное поле (состоящее из параллельно разнесенного по точкам плоскости вектора), которое в декартовых координатах имеет постоянные компоненты, в полярных координатах имело бы переменные компоненты. Ь.
После этих наводящих соображений рассмотрим вопрос о задании векторных полей в криволинейных системах координат более формально. Прежде всего напомним, что система криволинейных координат В. (2, 12 в области О~Р— это диффеоморфизм 2р: О,-».'0 области О, евклидова пространства параметров К на область О, в результате которого каждая точка х= 2р Ц) ен О приобретает декартовы координаты 12, 12, 12 соответствующей точки (ен0,.
Поскольку гр — дифд еоморфизм, касательное отображение 2р' (1): ТК вЂ” ТК „„является изоморфизмом векторных пространств. Каноническому базису д,(1)=(1, О, 0), я»(1)=(0, 1, 0), й»(1)=' = (О, О, 1) пространства ТР отвечает базис пространства ТК эии состоящий из векторов д;(х1=<р (1) К2(2) = —, 2=1, 2, 3, коорд~р (б ди динатных направлений Разложению А (х) = а»я» (х)+ а»э» (х) + + а»22(х) любого вектора А(х) ен Тэ, по этому базису отвечает такое же разложение А(1) =а42(1)+а»22(1)+аД»(() (с теми же компонентами а„а„х,! 2 вектора, А (2) = (<р')-' А (х) по каноническому базису 22 (1Ь $2(1), д»11) в ТК. При отсутствии евклидовой структуры в Р числа а,, а„а, составили бы наиболее естественную координатную запись вектора А (х), связанную с рассматриваемой системой криволинейных координат.
с. Однако принятие такого координатного представления не вполне соответствовало бы тому, о чем мы договорились в при мере 4. Дело в том, что базис $2 (х), $2 (х), $2(х) пространства ТК, соответствующий каноническому базису $2(1), $2(1), К»(1) в ТК, хотя и состоит из векторов координатных направлений, вовсе не Обязан состоять из ортов этих направлений, т. е., вообще говоря, ($Н й2) (х) чЬ1. Теперь мы учтем это обстоятельство, связанное с наличием структуры евклидова пространства в 1«2 и, следовательно, в каждом векторном пространстве ТК. Благодаря изоморфизму 2р'(8): ТК вЂ” ТК=„ю в ТК можно перенести евклидову структуру пространства ТК, положив для ' любой пары векторов т„т, ен ТК (т,„т»):= (2р'тд, 2р'т»).
В частности для квадрата длины вектора отсюда получается следующее выражение: . (т, т) = (2р' (1) т, 2р' (1) т) = — т, — т!) = ~'д% (О 2 д22 (О ( дй дп — )(М '=(й $д(() ', '=ам(1) ~В()йй(), лз ар~ дй дИ/ Квадратичная форма д »=д,,(1) йрй(г (26') (26") (26") Таким образом, каждая из этих систем является триортогональной системой координат в области своего определения. (25) коэффициенты которой суть попарные скалярные произведения векторов канонического базиса, вполне определяет скалярное произведение в ТК.
Если такая форма задана в каждой точке некоторой области О, с: К, то, как известно из геометрии, говорят, что В этой области задана риманова метрика. Риманова метрика позволяет, оставаясь в прямолинейных координатах 12, 12, 12 про. странства К, в каждом касательном пространстве ТК (1 енО,) ввести свою евклидову структуру, что соответствует «кривому» вложению 2р: 02-2-0 области О, в евклидово пространство 1«2. - .Если векторы $,(х)=«р'(1)$;(1)= — (1), 2=1, 2, 3, ортогодр д»2 нальны в-ТК, то йЧг(1) =0 при 2~1. Это значит, что мы имеем дело с триортогональной сеткой координат. В терминах пространства ТК это означает, что векторы $2(1), 1=1, 2, 3, канонического базиса взаимно ортогональны в смысле определяемого квадратичной формой (25) скалярного произведения в ТК.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
