Главная » Просмотр файлов » В.А.Зорич-Математический анализ(часть2)

В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 63

Файл №522404 В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (В.А. Зорич - Математический анализ) 63 страницаВ.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404) страница 632013-09-14СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 63)

Поделив это равенство на й и устремив й к нулю, получаем дУ . (х)= А'(х), т. е. действительно А = егаб Р. Р' Замечание .1. Как видно из доказательства, для потенциальности поля А достаточно, чтобы условие (5) выполнялось для гладких путей.или, например, хотя бы для ломаных, збенья которых параллельны координатным осям.

Теперь вернемся к примеру 4. В свое время (см. пример 1 $ 1 гл. ЧШ) мы подсчитали, ~то циркуляция поля (4) на окружности х'+у'=1, пробегаемой один раз против часовой стрелки, равна 2п(~0). Таким образом, на основании утверждения ! можно заключить, что поле (4) не потенциально в рассматриваемой области Р'~,0. Но ведь, например, и, казалось бы, функция агс!д — является потенциалом паля (4). у Что это — пративоречией1 Противоречия пока нет, поскольку единственный правильный вывод, который следовало бы в этой ситуации сделать, состоит в том, что функция агс1д — не опрев к. делена ва всей области Р'~,0. И это действительно так: возьмите, например, точки аси Оу.

Но тогда, скажете вы, можно рассмот: реть функцию ф,(х, у) — полярный угол точки (х, у). Практически это та же функция агс1ц „—, но ф(х, у) определена и при у х=О, лишь бы точка (х, у) не совпадала с началом координат. Всюду в области !!хе",0 йр = — с(х+ —. с!у. у х х'+ ух К'+ у' Однако и теперь противоречия никакого нет, хотя сейчас уже ситуация более деликатная. Обратите внимание на то, что ф на самом-то деле не является непрерывной Однозначной функцией точки в нашей области Кл",,О. При Обходе точки вокруг начала координат против часовой стрелки ее полярный угол, непрерывно меняясь, увеличится на 2п, когда точка вернется в начальное положение.

То есть мы приходим в исходную точку не с тем же, а с новым значением функции. Следовательно, либо надо отказаться от непрерывности ф в области 11х'~,0, либо надо отказаться от однозначности ф. В малой окрестности (не содержащей начала координат) каждой точки области Р" 0 можно выделить непрерывную однозначную ветвь функции ф. Все такие ветви отличаются лишь на ' аддитивную постоянную, кратную 2п. Именно поэтому все они имеют одинаковый дифференциал и могут служить локальными потенциалами нашего поля (4).

Тем не менее во 'всей области 1ск'~,0 поле (4! потенциала не имеет. Разобранная на примере 4 ситуация оказывается типичной в том смысле, что необходимое условие (3) или (3') патенциаль. ности поля А локально является и достаточным. Имеет места У т в е р ж д е н и е 2. Если необходимое условие потенциальности паля выполняется в некотором шаре, то в этом шаре поле имеет потенциал.

4 Для наглядности сначала прове- с дем доказательство в случае круга Р=(х, у~(хк~х'+у' с-г') на плоскости (кк. В точку (х, у) круга из 4еачала координат можно прийти по двум различным двузвенным ломаным у„у,, р зз звенья которых параллельны координатным осям (рпс. 93), Поскольку Р— выпуклая область, весь ограниченный этими ломаными прямоугольник 1 содержится в Р. По формуле Стокса с учетом условия (3) получаем ~ «вл =~йвкл =О.

аэ - ! На основе замечания к утверждению 1 отсюда уже можно сделать вывод о потенциальности поля А в Р. Кроме того, на основе доказательства достаточности в утверждении 1 в качестве 4 з. потенциальные поля '86 Гл. Хпл ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ потенциала вновь можно взять функцию (6), понимая при этом интеграл как интеграл по пути, ведущему из центра в рассматриваемую точку вдоль ломаной, звенья которой параллельны координатным осям. В рассмотренном случае независимость такого интеграла от выбора. пути у„уе непосредственно вытекала из формулы Стокса для прямоугольника. В высших размерностях из формулы Стокса для двумерного прямоугольника следует, что замена двух соседних звеньев ломаного пути на два звена, составляющие параллельные исходным стороны ссютветствующего прямоугольника, не меняет интеграла по пути.

Поскольку такими перестройками последовательно можно перейти от одного ломаного пути к любому другому, ведущему в ту же точку, то и в общем случае потенциал оказывается определенным корректно. 4. Топологическая структура области и потенциал. Сопостав. ляя пример 4 и утверждение 2, можно заключить, что при выпол.

ненни необходимого условия (3) потенциальности поля вопрос о том, всегда ли-оно потенциально, связан с устройством (топологической структурой) области, в которой поле' задано. Следующие рассмотрения (здесь и в п, 5) дают первоначальное представление о том, какие именно характеристики области отвечают за это. Оказывается, если область 0 такова, что любой замкнутый путь, лежащий в О, можно, не выходя за пределы области О, стянуть в некоторую точку этой области, то в Р.необходимое условие (3) потенциальности поля уже будет и достаточным. Ниже мы назовем такие области односвязными. Шар — односвязная область (и потому имеет место утверждение 2), а вот плоскость с проколом [сз",0 не является односвязной„так как охватываю щий начало координат путь нельзя стянуть в точку этой же области, не выходя за ее пределы.

Именно поэтому не всякое удовлетворяющее условиям (3') поле в (сз',О, как мы видели в примере 4, обязано быть потенциальным в области Р' О. Перейдем теперь от описаний к точным формулировкам. Прежде всего поясним, что мы имеем в виду„когда говорим о деформации или стягивании пути. Оп реде лен ив 3. Говорят, что а области О имеется гомотопия (или деформаиия) замкнутого пути у,: [О, 1] — Р'О в замкнутый путь у,: [О, 1] — ~- О, если указано такое непрерывное отображение Г: (з -+ О квадрата (з = (((х, (з) ен (сз ~ 0:а~У -=. 1, 1=1, 2[ в область О, что Г((х, 0)=уе((х), Г((х, 1)=у,((х) и Г(0, (з) =Г(1„(з) прн любом (вен [О, 1]. Таким образом, гомотопия и есть отображение Г: Р -+ Р (рис.

94). Если переменную ! считать временем (, то согласно определению 3 в каждый момент времени (=Р мы имеем свой замкну. тый путь Г((х, 1) =7, (рис. 94) '). Изменение этого пути со вре- менем таково, что в начальный момент (=уз=О он совпадает -с путем т„а в момент Г=(з=.! он преобразуется а путь у,. Поскольку в любой момент 1е=-[0, 1] выполняются соотношения у,(0)=Г(0, ()=Г(1, 1)=у,(1), означающие, что путь у,— замкнутый, отображение Г: (з-~0 индуцирует на боковых сторонах квадрата )з одинаковые отображения Ре((т):= Г((х, 0) = = Г ((т; П =: б, (1 ).

Отображение Г является формализацией нашего представления о том, как постепенно путь уе деформируется в путь уь Изменение этого пути со временем таково, что в начальный момент (з=О он совпадает с путем ущ а в момент в путь у,. Ясно, что время /вз б можно пустить в обрат'ную сторону, и тогда мы из пути у, получим путь ча. Определение 4. /~ Два замкнутых пути называются гомопюпными в области, если их Рис, 94. - можно гомотопировать друг в друга в пределах этой области, т. е.

построить' в этой области гомотопшо одного пути в другой. Замечание 2. Поскольку пути„с которыми нам придется ° в анализе иметь дело, это, как правило, пути интегрирования, . го без дополнительных оговорок мы будем рассматривать только гладкие или кусочно гладкие пути н их гладкие или кусочно '-гладкие гомотопии. Для областей, лежащих в Кл, можно проверить, что наличие непрерывной гомотопии (кусочно) гладких путей в них, обеспе'чивает и наличие (кусочно) гладкой гомотопии этих же путей.

Утверждение 3. Если 1-4(юрма озл в области О такова, что йод=О, а замкнутые пути уе и у, гомотопны в Р, то ) сел= ) нзл Ча 7 4 Пусть Г: 1з — ~-0 — гомотопия уе в у, (см. рис, 94). Если 1х — основания квадрата хз, а уа,,), — его боковые стороны, *) На рир.

94 вдоль некоторых кривых стоит ориентирующие нх стрелки, . которые будут использованы несколько возже и на которые читатель вона не аолжеи обращать внимании. Гл. Х!У. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ то, по определению гомотопии 'замкнутых путей, сужение Г на 7о и 7, совпадает с уо и у, соответственно, а сужение Г на 7о и д', дает некоторые пути ()и и р, в 0 и, поскольку Г(0, 1о) = = Г(1, 1л), пути йо и (1, просто совпадают. В результате замены переменных х = Г(!) форма <ол йеренесется в квадрат 7о в виде некоторой 1-формы Ы=Гч<ол.

При этом й<о=йГи<ол=Г" й<ол=О, так как йол = О. Значит, по формуле Стокса ~ <о = ') й<о = О. д<' И Но м = ~ <о л + ~ <ол — ~ <ил — ~ <о'л = ~ <о'л — ~ <о'л. Уи Зи 7 З 7 Ъ О и р е д е л е н и е 5. Область называется одиоселзиои, если любой замкнутый путь в ней гомотопен точке (т. е. постоянному пути), Итак, именно в односвязной области любой замкнутый путь можно стянуть ц точку. Утверждение 4.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
7,39 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6553
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее