В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Представление о том, что могут дать эти соотношения, читатель получит из следующего заключительного пункта этого параграфа, д! 4. Волновое уравнение. Рассмотрим теперь движение среды, соответствующее распространению в ней звуковой волны. Ясно, что такое двяжение тоже Подчиняется уравнеяшо (14), но благодаря специфике явления это уравнение в данном случае можно упростить. Звук есть чередующиеся.
состояния разрежения и уплотнения среды, причем отклонения давления от его среднего значения в звуковой волне очень малы — порядка 1%. Поэтому звуковое ° движение состоит в малых отклонениях элементов объема среды от положения равновесия, совершаемых с малыми скоростями. Однако скорость распространения возбуждения (волны) по среде соизмерима со средней скоростью движения молекул среды и обычно значительно превышает скорость теплообмена между различными частями рассматриваемой среды.
Таким образом, звуко. все движение объема газа можно рассматривать как малые колеба. ния около положения равновесия, совершаемые без теплообмена (адиабатический процесс). Ввиду малости самих макроскопических скоростей..е, прене. брегая в уравнении движения П4) членом (е Ч) О, получаем равенство др Если по той же причине пренебречь членом вида — О, то 'последнее равенство приводится к уравнению ,— д(1 )=р~ — Чр. Применив к нему оператор Ч (по координатам х, у, з), полу. -'чим дг(Ч'ре)=Ч'Р~ Ьр д Используя уравнение неразрывности (8') и введя обозначение 11Ч ргт= — Ол, приходим к уравнению ж. = б'+ Ьр' (15) — Если влиянием внешних полей можно пренебречь, то' уравне:ние (15) сводится к соотношению дгл =ЬР (16) ,,"'между плотностью и давлением в звучащей среде.
Поскольку . Процесс адиабатический, уравнение состояйия 7(р, р, Т) =О ''сводится к некоторому соотношению р=ф(р), из которого сле:дует, что †, ф'(р) †; + ф (р) ~ †) . Ввиду малости колебания ',давления в звуковой волне можно считать, что ф'(р)ммф'(рл), для г г в'и :-Где р,— равновесное давление. ТоФа $'=О и,~~. ф (Р) дп ° ',:Учитывая это, из (16) получаем окончательно -~~ — ал Ьр, (17) "где а=(ф" (рл))-'". Это уравнение описывает изменение давления ;:.й среде,' находящейся в состоянии звукового движения. Урав,".Йение (17) описывает простейший волновой процесс в сплошной -':среде. Оно называется однородным волновым уравнением. Вели-'чина а имеет простой физический смысл; это скорость распро- странения звукового возбуждения в данной среде, т.
е. скорость "звука в ней (см. задачу 4). В случае вынужденных колебаний, когда на каждый элемент , обьема среды действуют некоторые силы, объемная плотность . распределения которых задана, уравнение (17) заменяется соот":Мтствующим уравнению (15) соотношением — Р=алЬр+7, которое при ~=„йО называют неоднородным волновым уравнением.
$ К ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ 302 Гл. Х!У. ЕЕКТОРНЫИ АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ Задачи и упражнения П Пусть поле скоростей а движущейся сплошной среды потенциаль о. П ка о жите, что если среда несжимаема, то потенциал ф поля о является гармон й ьно. ническйй функцией, т. е. Аф= 0 (см. (9)), 2. а. Покажите, что уравнение Эйлера (!4) можно переписать в виде — +угад ! г- н') — охго( и=  — — йгай р Р (см. задачу 1 к 4 1). Ь. П . Проверьте, исходя из полученного в а уравнения, что безвихревое тече- ние (го1 о=О) однородкой несжимаемой жидкости возможно только в потенциаль- ном ноле р.
с. Оказываегся (теорема Лагранжа), если в какой-то момент. течение в потенциальном поле Р=йгай(7 было безвихревым. то оно было и будет безвихревым всегда. Такое течение, следовательно, по крайней мере локально потенциально, т е. н=йгзд ф. Проверьте, что для потенциального течения однородной несжимаемой жидкости, происходящего в потенциальном поле г, в каждый момент времени выполняется соотношение (дф и', р йгад ( — + — ' + — — О) =.— О. (д( 2 р й.
Выведите из полученного равенства так называемый ингпгграл Коши дф нй р —, + — + -- О-(О (1) — соотношение, утверждающее независимость левой его части от простран- ственных коорлинат. е. Покажите, что если течение к тому же и установившееся, т. е. иоле и не зависит от времени, то имеет место соотношение, ий р — + — — О = соп51, 2 называемое интегралам Бернулли 3. Течение, поле скоростей й(оторого имеет вид н=(о„, а„, 0), естественно назвать пласкопараллгльиым нли проста плоским течением. а. Понажите, что условия дш о=О, го( а=О несжимаемости и потенциальности для плоского течения имеют соответственно следующий вид: дх ду' ' ду дх Ь.
Покажите, что эти уравнения по крайней мере локально гарантиауют существование функций ф (х, у) и ф (х, у) таких, что ( — о„,'о,) — — йга1) ф и пэ) =угад 'Р. с. Проверьте, что линии уровня ф=гг, ф=сй этих функций ортогональны и покажите, что в установившемся потоке линии ф=с совпадают с траекториями движущихся частиц среды. Именно поэтому функцию ф называют функ.
Нигй тока, в отличие от функции ф-потенциала скоростей, й. Покажите, з предположении достаточной гладкости функций ф, ф, что обе онн являются гармоническими функциями и удовлетворяют системе ураенгчий Коши — Римана: дфр дф дф дф дх ду' ду дх' Гармонические функции, удовлетворяющие системе Каши — Римана, называют гапрлжглпими гармоническими Ч' упнцилми е, Проверьте, что функция ) (х) =(ф+ ну) (х, у), гле г=х+!у, является днфференцнруемой функцией комплексного переменного г. Это и определяет ;евязэ плоских задач гилромеханики с теорией функций комплексного перемен° НОГО. 4.
Рассмотрим простейший вариант — а' — Ъолнового уравнения (173 дйр дйр др дхй :Это случай плоской волны, в которой давление эависцт только ог координаты "х точки (х, у, г) пространсгвж а, Сделав замену переменных и=х — а1, а=х+а1, приведите это уравнедйр ,. еие к виду —.=0 и покажите, что общий вид решения исходного уравнения ди до "таков". р=)(х+а))+й(х — а1), где ), й — произвольные функции класса Сй'. Ь, Истолкуйте полученное решение как лве волны 1(х) и 'й(х), 'распро:шраняющнеся соответственно влево и вправо вдоль оси Ох со скоростью а с.
Считая; что в в общем случае (17) величина а есть скорость распро. ,. странения возбуждения, н учитывая соогношейие а=(ф (р,)), найдите, -'1 гй : 'вслед за Ньютоном, скорЪсть с, звука в воздухе, полагая, что температур а 'в звуковой волне постоянна, т. е. полагая, что процесс звуковых колебаний - является изотерми ческ им . ( Уравнение состояния р = — — ; )7 = 8,3 1 —— рр Дж ВТ ' ' град моль г ',универсальная газовая постоянная; р =28,8 — — молекулярный вес воздуха моль ;";.Расчет проведите для воздухз, находящегося при температуре 0'Сй т. е. Т= ' = 273 К. Ньютон нашел; что сд, —— 280 м/с) . й. Считая процесс звуковых колебаний адиабатическим, найдите, вслед ' эа Лапласом, скорость с звука в воздухе и уточните тем самым результат с 'Ньютона. (При адиабатическом процессе р=срт Это формула Пуассона нз .-задачи 6 к 4 1 гл, ХП! Покажите, что если с, = ~, —, то с =у йу .
° / р г р ;Для воздуха у=!,4 Лаплас пател с =830 мгс, что превосходно согласуется е опытом ) 5. Используя скалярный и векторный потенциалы, систему уравнений -';"'й(аксвелла ((12) 4 1) можьо свести к волновому уравнению (точнее, к несколь' ким однотипным волновым уравнениям) Решив эту задачу, вы убедитесь .;в сказанном. в.
Из уравнения у В=О вытекает, что, по крайней мере локально, В = ,";~ фэ('А, гле поле А в векторный потенциал поля В.' дВ Ь. Эная, что В=ух А, покажите, что нз уравнения ухЕ= — — следует, д( , что, по крайней мере локально, найдется скалярная функция ф такая, что дА — тф — —. д( ' дА с. Проверьте, что поля Š— уф — — и В= ух А ве изменятся, если д( вместо пары ф, А взять другую пару потенциалов ф, А, такую, что ф=ф— дф ' '- ш-, 4='А+уф, где ф — произвольная функция класса с'йч д б. Из уравневия у Е = — вытекает первое соотношение — г7йф — — ф ' А= дг р = — между потенциалами ф и А. ей Гл.
Х!Ч.. ВЕКТОРНЫН АНАЛИЗ И ТЕОРИЯ ПОЛЯ е. Из уравнения сер х — —, = — вытекает второе соотношение дЕ / дЕ ео слрзА+сер (Ч А) (- — Ч>р -(- — =— д д~А / д1 д>> ее между потенциалами >р и А. (. Используя с, покажите, что, решив вспомогательное волновое уравне. ) д'ф ние а>Р= — —, не меняя полей Е и В, можно выбрать потенциалы Ч> и А сл ди' так, чтобы онн удовлетворяли дополнительному (так называемому калибровочному) условию Р. А= — — —.
1 др с> дт' Ф Покажите, что если потенциалы >р и А выбраны так, как сказано в Ь то из б и е получаются искомые неоднородные волновые уравнения » >р рса д>А — =садр+ —, — =с>АА+— дм иа потенциалы >р и А. Найдя >р и А, найдем н поля Е=чф, В=чхА. З(Р ГЛАВА ХЧ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ ' .
- НА МНОГООБРАЗИЯХ й 1. Некоторые напоминания из линейной алгебры 1. Алгебра форм. Пусть Х -линейное пространство, а Рь>— ';:Хв;-» Р— вещественнозначная - й-формВ на Х. Если е„..., е„— вбазис в Х, а ха =х>>е,, ..., ха= х>ае> — разложение векторов >' "'' а 'йтта, ..., хаев Х по этому базису, то в силу линейности Р» по ,зкаждому аргументу л1ед(х„..., ха) =ра(х"е;,, ...,-хае> ) = =ра(е>,, ..., ег,) хг> ... х>а а1, >„хг> ° ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
