В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 71
Текст из файла (страница 71)
хт. интвгенеовлние диФФвевицилльных Фоем получается удалением из йР одной точки. Если интерпретировать РР как круг с отождествленными диаметрально противоположными точками граничной окружности, то, выколов центр круга, мы с явчностью до гомеоморфизма получим кольцо, внеш. няя окружность которого склеивается по диаметрально противо. положным точкам.
Простым разрезанием легко показать, что при этом получается не что иное, как знакомый лист Мебиуса. Определение 9. Пусть М и Ф вЂ” гладкие многообразия класса С'ю. Отображение ~: М вЂ” Фназывается 1-гладким (класса С<н), если локальные координаты точки /(х) ~ М являются функциями класса Сги от локальных координат точки х е= М, .Приведенное определение имеет смысл и корректно .(не зависит от-выбора локальной карты), если 1 ~й. В частности, гладкие отображения М в Р— это гладкие функ'цни на М, а гладкие отображения Р (или промежутка Р) в М— это гладкие пути на М. Итак, степень гладкости функции ~: М-+-Р на многообразии М не может превышать степени гладкости самого многообразия. 3. Ориентация многообразия н его края.
Оп реде лен ие 1О. Две нарты гладкого многообразия называются согласованными, если переход от локальных координат одной карты к локальным' координатам другой карты в их общей области действия осуществляется диффеоморфиэмом, имеющим всюду положительный якобиан. В 'частности, если районы действия локальных карт имеют пустое пересечение, то такие карты признаются согласованными. ' Опред.елен не 11. Атлас А гладкого многообразия (М, А) называется ориентирующим атласом многообразия М, если он -состоит нз попарно согласованных карт. ' Оп реде ление 12. Многообразие называется оривнтируемым, если оно обладает ориентирующим 'атласом.
В противном случае ~ мнопюбразие называется нгоригнтиругмым. Два ориентнрующнх атласа многообразия будем считать эквивалентными (в смысле рассматриваемого сейчас вопроса об ориентации многообразия), если их объединение также является ориентирующим атласом этого многообразия. Легко видеть, что введенное отношение действительно является отношением эквивалентности. Определение 13. Класс эквивалентности ориентирующих атласов многообразия по указанному отношению эквивалентности называется классом ориентации атласов многообразия или ориентацией многообразия. О п р еде л е н и е 14.
Ориентированным многообразием называется многообразие с указанным классом ориентации его атласов, т. е. с фиксированной на многообразии ориентацией. 3 х многоовглзив Значит, . ориентировать многообразие — это указать на нем ' (тем или иным способом) определенный класс ориентации его атласов. Для этого, например, достаточно указать любой конкрет- ный ориентирующий атлас данного класса ориентации. Различные используемые на практике способы задания ориен- ' тации на лежащих в К" многообразиях описаны в Я 2, 3 гл. ХП. Утвержден не 3. Связное многообразие либо нгоригнтиругмо, либо допускает две ориентации.
4 Пусть А и А — два ориентирующих атласа данного много- . образия М с диффеоморфными переходами от локальных коорди- нат карт одного из них к другому. Предположим, что нашлась точка р, еп М и такие две карты этих атласов, районы Уи, Уи действия которых содержат р„а якобиан преобразования коор- динат этих нарт в соответствующих точке рг точках областей параметров положителен. Покажем, что тогда- для любой точки р~ М и любых карт атласов А; А, районы действия которых.
содержат точку р, якобиан преобразования координат в соответ- ствующих координатных точках тоже будет положителен. Сделаем прежде всего очевидное наблюдение, что если в точке 'р~М якобиан преобразования положителен (отрицателен) для какой-то пары включающих р карт из атласов А и А, то он в р положителен (отрицателен) для любой такой пары март, поскольку в пределах одного атласа преобразования координат происходят с положительным якобианом, а якобиан композиции отображений равен, произведению их якобианов.
Пусть теперь Š— подмножество М, состоящее из тех точек р ы М, в которых преобразования координат от карт одного атласа к картам другого происходят с положительным якобианом, Множества Е непусто, так как р, Й Е. Множество Е открыто в М. Действительно, для любой точки реп Е.найдутся содержа- щие р районы Уь У~ некоторых карт атласов А и А. Множества Уп Уз открыты в М, поэтому открыто в М н множество У~Ядр На содержащей р связной компоненте множества У~п Ум явля- кацейся открытым в У;П У~ и в М множеством, якобиаи преобра- 'зования не может менять знак, не обращаясь в нуль;-То есть в некоторой окрестности точки р якобиан остается положитель- ным, что и доказывает открытость множества Е.
Но множество Е еще и замкнуто в М. Это следует из непрерывности якобиана диффеоморфизма и того обстоятельства, что якобиан диффеомор- 'фнзма не обращается в нуль. Итак, Š— непустое открыто-замкнутое подмножество связного множества М. Значит, Е М и атласы А, А задают на М одну и ту же ориентацию, Заменив во всех картах атласа А одну нз координат, напри- мер Р на — Р, получим ориентирующий атлас — А, принадлец В. А. Зорич, ю и 322 г . хч. интеггиеовхние диеееэенцилльных еогм 323 Э Х МНОГООБРАЗИЕ жащий другому классу ориентации. Поскольку якобиан преобра- зования 'координат из произвольной карты в карты атласов А и — А имеет противоположный знак, то на М любой ориентирую- щий М атлас эквивалентен либо А, либо — А.
Оп ре делен не 15. Конечную последовательность карт дан- ного атласа назовем цепочкой карт, если районы действия любой нары карт с соседними номерами имеют непустое пересечение ((7,() им,М ф). О н р е д е л е н и е 16. Цепочка карт называется и ротиворечи- вой или дезориентирующей, если якобиан преобразования коор- динат от любой карты цепочки к следующей ее карте положи- телен, районы действия первой -и последней карт цепочки пере- секаются, но преобразование координат от последней карты к первой имеет отрицательные значения якобиана. У т в е р ж де н и е 4. Многообразие ориентируемо тогда и только тогда, когда на нем не существует противоречивой цепочки карт.
4 Поскольку любое многообразие распадается на связные компоненты, ориентация которых задается независимо, достаточно доказать утверждение 4 для связного многообразия М. Необходимость. Пусть связное многообразие М ориен- тируемо и А — задающий ориентацию М, атлас. По доказанному в утверждении 3 любая' гладко связанная с картами атласа А локальная карта многообразия М либо согласована со всеми картами атласа А, либо согласована со всеми картами атласа — А.
Это легко усмотреть из самого утверждения 3, если сузить карты атласа А на район действия взятой карты, который можно рас- сматривать как связное ориентированное одной картой многообра- зие. Отсюда следует, что противоречивой цепочки карт на много- образии' М не существует. До с т а т о ч н ос т ь. Из определения 1 следует, что на много- Образии существует атлас из конечного или счетного числа карт. Возьмем такой атлас А и занумеруем его карты. Рассмотрим карту (Ум ф1) и,любую карту ((7ь ф;) такую, что (/„Д(1;~ ф.
Тогда якобиан преобразований координат' фи, фп либо всюду отрицателен, либо всюду в области определения преобразований, положителен. Он не может иметь значения разных знаков, пос- кольку иначе в множестве У,() УГ можно было бы указать свя- зные подмножества отрицательности и положительности якобиана У, (7+ и цепочка карт (()„ф„),.(У+, ф~), ((7ь фс), ((7, ф;) оказалась бы противоречивой., Итак, меняя, если потребуется, знак одной из координат в карте ((7ь ®), можно получить карту с тем же районом действия 11ь согласованную с картой (Ум ф1). После описанной процедуры две карты (Уп ф;)г((7м ф~) такие, что (7ГД(7~Фф (71П(7~чьО. (7~П(7~Ф ф, сами окажутся согласованными: иначе мы построили бы противоречивую цепочку из трех карт.
Таким образом, все,карты атласа, районы действия которых пересекаются с (7м уже можно считать согласованными между собой. Принимая теперь каждую из этих карт за эталон, можно согласовать с нею новые, не охваченные на первом этайе карты атласа. Противоречивых ситуаций при этом не возникнет, поскольку противоречивых цепочек на многообразии по условию не существует. Продолжая этот процесс и учитывая связность многообразия, мы построим на нем атлас, состоящий из попарно согласованных карт, что и доказывает ориентируемость данного многообразия. Полученный критерий ориентируемости многообразия, как, впрочем, и соображения, используемые при его доказательстве, можно с успехом применять при исследовании конкретных многообразий.
Так, рассмотренное в примере 12 многообразие (чР ориентируемо. Из указанного там атласа легко получить ориентирующий атлас РР Для этого достаточно изменить знак локальной координаты одной из двух построенных там карт. Впрочем, ориентируемость проективной прямой РР, очевидно, следует также из того, что многообразие РР гомеоморфно окружности. Проективная плоскость РР неориентируема: любая пара карт построенного в примере 13 атласа (кР такова, что преобразования координат в пределах пары имеют как области положи'тельности, так и области отрицательности якобиана'. Как мы видели при. доказательстве утверждения 4, отсюда следует суще' ствование противоречивой цепочки карт на РР По той же причине неориентируемо и рассмотренное в примере 14 многообразие, которое, кстати, как отмечалось, гомеоморфно листу Мебиуса. Утверждение 5. Край ориентируемого гладкого п-мерного многообразия является ориентируемым (п — 1)-мерным многообразием, допускакнцим структуру той же гладкости, что и исходное многообразие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
