В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (522404), страница 73
Текст из файла (страница 73)
покажнте, что на Рг асе структуры одананоной гладкости наоморфны Ь. Проверьте высказанные з примере !! утверждения н выясните, не протнзоречат лн онн задаче а. с. Покажите, что на окружности 51 (одномерной сфере) любые дне С""-структуры нзоморфны, Отметим, что зто утверждение остается з сале н для сфер, размерность которых не превосходят 6, а уже нг ЯД как показал Мялнор "), сущестауют нензоморфные Сконструхтуры.
4. Пусть 5 — подмножество и-мерного многообоазня М такое, что для любой точки хг!н5 аайдется такая карта х3 ф(!) многообразия М, район 6 дейсганя которой содержит хг, а множеству ЗО!7 а области параметров 1= =(Р, ..., !к) карты ф отвечает й-мерная поверхность, задаваемая соотноше- ') Л Мнлнор (!93!) — один аз наиболее крупных современных амерннанскнх математякоз; основные работы относятся к алгебраической топологии н топология многообразнй.
з28 Гл. ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 4 Ц ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 329 нвямн Г" э О; ..., М=О: В этом случае 5 называется й-мерным кодмногообразием многообразия М. а. Покажите, что на 5 естественным образом возннкаег структура Л-мер. ного многообразна, нндуцнрованная структурой многообразия М н имеющая ту же гладкость, что н гладкость структуры многообразия М. Ь.
Убедитесь в том. что А-мерные поверхйостн 5 в Пл в точности н являются А-мернымн подмногообразнямн 11л. с. Покажите, что прв гладком гомеоморфном отображеннн й Пь-ь Тэ пря. мой Пэ в тор Тэ образ 1((ег) может быть всюду плотным подмножесгром Т' и в этом случае не-будет одномерным полмногообразнем тора, хотя в будет абстрактным одномерным многообразнем. й. Проверьте, что обьем понятия лподмногообразиеэ не нзменнтся, если считать 5шМ А мерным подмногообразнем н-мерного многообразия М в том случае, когда для любой точки хэгм 5 найдется локальная карта многообразия М, район У действня которой содержит хь, а множестну 5 П У в области параметров карты отвечает некоторая А-мерная поверхность пространства Р'.
б. Пусть Х вЂ” хаусдорфово топологнческое пространство (многообразие), а С вЂ груп гомеоморфных преобразований пространства Х. Группа 6 называется дискретной группой лргобраэогакий нространстга Х, если для любых (быть может, и совпадающих) точек к„хэ еа Х найдутся такие их окрестно. стн У„Уэ вютветственно, что множество (у се 6) й (Уь) Д У, -„ь (()) — конечно.
а. Отсюда следует, что орбита (й(к) ееХ )йсе О) любой точки к ем Х днскретна, а стабилизатор 6„=(йгц О ~у(к)=х) любой точки х гц Х ко. нечен. Ь. Пронерьте, что если 0 †груп нзометрнй метрнческого пространства Х, обладающая двумя указанными в а свойствами, то 0 †дискретн группа преобразованнй Х. с.
Введите естественную структуру топологнческого пространства (много. образня) на множестве Х/6 орбит днскретной группы 6. й, Замкнутое подмножество р топологнческого пространства (многообра. зня) Х с дискретной группой О преобразований называют фундаментальной областью грунин 6, если оно является замыканием открытого подмножестна Х н если множества й(Р), где й ен О, не имеют попарно обшнх внутренних точек н образуют локально конечное покрытне пространства Х. Покажнте на приведенных в основном тексте примерах 8 — 10 как фактор-пространство Х/О (орбит) группы 0 получается нз Р ескленваниемэ некоторых граничных точек.
6. а. Йспользуя конструкцнн примеров 12, !3. постройте л-мерное вешест. венное проектнвное пространство 13Ре. Ь. Покажите, что (ч(эе ориентнруемо, есля л йечетно, н неорневтнруема, еслн и четно. с. Проверьте, что многообразия 50 (3, (ч) в (2(зэ гомеоморфны. 7. Пуоверьте, что построенное в прнмере 14 многообразие действительно гомеоморфно листу Мебиуса. 6. а. Группа Ли е) — зто группа 6, наделенная структурой аналнтнческого многообразна так, что отображение (й,, йэ) г йэ.йэ явлются аналитическим отображением СхО в О.
Покажнте, что рассмотренные в йрнмерах 6, 7 мно. гообразня являются группамн Лн. Ь. Топологичккая грунин (нлн нгиргрменая,грунка)-это группа С, наделенная.структурой топологнческого пространства так, что групповые операпнн умножения н перехода к обратному элементу непрерывны как отобрав(синя ОзСС-е 6, О -ьО в рассматриваемой топологнн О. На примере группы (() ра- «) С М. Лн (1642 —.1899) — выданицнйся норвежский математик, родоначальник теорнн непрерывных групй (групп Лн), которая имеет теперь фундаментальбое,значеняе в' геометрия, топологии н матИйтнчесинх методах физики; однн нэ лауреатов Международной премнн нменв Лобачевского (награжден в 1697 г. за работу по прнмененню теорнн групп н обоснованию гео.
метрнн). цяональных чисел покажнте, что не всякая топологическая группа является группой Ли. с. Покажите, что каждая группа Лн является топологической группой в смысле данного в Ь определения. й. Доказано* ), что любая' топологнческая группа О, являюшаяся много образнем, есть группа Лн (т, е. 0 как многообразие допускает аналитическую структуру, в которой группа становятся группой Лн). Покажете, что любое групповое мяогообразне (т. е. любая группа Лн) является орнентнруемым мно.
гоаб аэнем. . Система подмножеств топологнческого пространства называется локально конечной, если наждая точка пространства имеет окрестность, пересекаюшуюся лишь с конечным чнслом множеств системы В частности, можно говорить о локально конечном покрытии пространства. Одна система множеств называется вписанной в другую, есле любое множество первой системы содержнтся по крайней мере в одном нз множеств вто. рой системы. В частности, можно говорить о том, что одно покрытне некоторого множества вписано в другое такое покрытие.
а. Покажите, что в любве открытое покрытие Пе можно впнсать открытое локально конечное покрытие (сл, Ь. Решите задачу а с заменой Пл произвольным многообразием М. с. Покажнте, что на (ке существует разбненне единицы, подчиненное лю. баму наперед заданному открытому покрытию Пл. . й. Проверьте, что утверждение с остается в силе для произвольного многообразна $3. Дийзфереициальиые формы и их интегрирование иа многообразиях 1. Касательиое пространство к многообразию в точке. Напомним, что каждому гладкому пути Яэ( х(() э(с" (движению в (с"), проходящему е некоторый момент 1, через точку х, = = Х((Е) ЕЕ ~", МЫ СОПОСтаВИЛИ ВЕКтОр $ = ($', ..., $е) МГНОВЕННОЙ скорости; $=х(1)=(х', ..., х")((о).
Совокупность таких векторое $, свезенных с точкой х, ее (с", естественно отождествляется с нрифметическям пространством (ч" и обозначается символом ТК, (или Т,ф")). В Т~, вводятся те же линейные операции ннд элементами $еетК„что и иад соответствующими элементами линейного пространства (ч". Тзк возникает линейное пространство ТЙ„"„называемое касательным пространсглло.и к ээ" в точке хо э зс ° Забыв мотивировки и наводящие соображения, можно теперь сказать, что фоРмалгно ТЯ есть паРа (хэ, Р"), состоЯщаЯ из точки х,ее~" и связанного с иею экземпляра линейного про.странства й".
Пусть теперь М вЂ” гладкое н-мерное многообразие с атласом А класса гладкости не ниже, чем С1". Мы хотим определить касательный вектор й и касательное пространстео ТМР к многообразию М в точке р, э М. ') Это ответ на так называемую пятую проблему Гнльберта. ззо Гл, ХУ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЪ|Х ФОРМ Воспользуемся для этого указанной выше интерпретацией касательного вектора как мгновенной скорости движения.. Возьмем т гладкий путь Р=-э( р(()енМ на многообразии М, проходящий в момент 1, через точку р,=р(1,)~М. Параметры карт (т.
е. локальные координаты) многообразия М будем здесь обозначать буквой х, снабжая их снизу индексом соответствующей карты, а сверху номером координаты. Итак, в области параметров каждой карты (0о |р;), район (У| действия которой содержит точку рь, 7| пути у отвечает свой путь( |р|' ° р(1)=х,(() ен Р" (О"), который является гладким по определению гладкого отображения Р:-э =эь р(1) яМ. Таким образом, в области параметров карты (0Н йч), где йч есть отображение р=гр|(х;), возникает точка х|((,)=|р,'(р,) и вектоР $;=-х|((ь)~ТЙ„",(,,). В дРУгой такой каРте (Ун Р|) это будут соответственно точка х| ((л) = |р) (ро) и вектор $| = х| (гь) ЕН ен Т|м", (, ). Естественно считать, что это координатные выражения л| л' в различных картах того, что мы хотели бы назвать касательным вектором $ к многообразию М в 'точке р, ~ М.
Между координатами хь х| действуют гладкие взаимно обрат. ные функции перехода х|=|рд(х|), х|= рц(х,), (1) в результате чего пары (х,(1,), $,), (х,((ь), $|) оказываются связанными соотношениями х; ((ь) = |рп (х| ((ь)), хр((л) = |рц (х, (Еь)), (2) $|=Ч~т(~|( ))з;, Ь~=яч (; .))з (3) Равенства (3), очевидно, вытекают из формул х; (() = гь'э (х; (()) . х| (1), х| (() = |Р|; (х; (()) х, ((), получающихся из (1) в результате дифференпнрования. Определение 1. Будем говорить, что задан вектор $, касаи|ельный к многообразию М в и|очке реп М, если в каждом пространстве ТК,, касательном к Р" в точке хн отвечающей точке р в области параметров карты (Уь ~р|), где (У|=э р, фиксирован вектор $Н причем так, что выполняются соотношения (3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
